Задание 3 ЕГЭ: все типы задач по стереометрии

Задание 3 ЕГЭ профиль — это один первичный балл за объём или площадь поверхности тела в пространстве. Восемь типов, каждый закрывается одной формулой. Если знаешь формулы — задача за 2-3 минуты, без знания — потеряешь 5-10 минут на чертёж и попытки вспомнить.

Восемь типов тел задания 3 ЕГЭ: куб, призма, пирамида, параллелепипед, цилиндр, конус, шар, усечённая пирамида

1. Куб

Куб — параллелепипед с равными рёбрами. Все формулы:

V = a^{3}, S_{полн} = 6 a^{2}

Диагональ грани: $a 2$ . Пространственная диагональ: $a 3$ .

Простейший тип — обычно один из двух базовых параметров известен напрямую.

2. Прямоугольный параллелепипед

С рёбрами $a$ , $b$ , $c$ :

V = ab c, S_{полн} = 2 (ab + b c + a c)

Пространственная диагональ: $d = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ (трёхмерная теорема Пифагора).

Если в задаче рёбра 3, 4, 12 — диагональ 13, объём 144.

3. Призма

Призма — два параллельных равных основания и боковые грани-параллелограммы (для прямой призмы — прямоугольники).

V = S_{осн} \cdot h

Боковая поверхность прямой призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$ .

Площадь основания зависит от формы:

Треугольное основание: формула треугольника (Герона, или $\frac{1}{2} ab sin C$ , или $\frac{a ^{2} 3}{4}$ для равностороннего).
Шестиугольное (правильное): $\frac{3 a ^{2} 3}{2}$ .

4. Пирамида

V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h

Главное отличие от призмы — множитель $\frac{1}{3}$ . Это самая частая ошибка в №3: забыть «делить на 3».

Боковая поверхность правильной пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$ (где $l$ — апофема, высота боковой грани).

Для частных случаев:

Правильная четырёхугольная: $V = \frac{a ^{2} h}{3}$ .
Правильная треугольная: $V = \frac{a ^{2} h 3}{12}$ .
Правильная шестиугольная: $V = \frac{a ^{2} h 3}{2}$ .

5. Цилиндр

V = π R^{2} h

Боковая поверхность: $S_{бок} = 2 π R h$ (это «развёртка» — прямоугольник высотой $h$ и длиной $2 π R$ ).

Полная поверхность: $S_{полн} = 2 π R h + 2 π R^{2} = 2 π R (h + R)$ .

В типичной задаче дано $R$ и $h$ напрямую — прямая подстановка.

6. Конус

V = \frac{1}{3} π R^{2} h

Боковая поверхность: $S_{бок} = π R l$ (где $l$ — образующая).

Полная: $S_{полн} = π R l + π R^{2} = π R (l + R)$ .

Связь $h$ , $R$ , $l$ : $l^{2} = h^{2} + R^{2}$ (Пифагор в осевом сечении).

7. Сфера и шар

V_{шара} = \frac{4}{3} π R^{3}, S_{сферы} = 4 π R^{2}

В №3 ЕГЭ обычно дают радиус, нужно посчитать объём или поверхность напрямую.

Полезные следствия:

Если $V$ известен, $R = 3 \frac{3 V}{4 π}$ .
Если $S$ известна, $R = \frac{S}{4 π}$ .

8. Усечённые тела

Усечённая пирамида с площадями оснований $S_{1}$ и $S_{2}$ , высотой $h$ :

V = \frac{h}{3} (S_{1} + S_{2} + S_{1} S_{2})

Усечённый конус с радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$ , высотой $h$ :

V = \frac{π h}{3} (R_{1}^{2} + R_{2}^{2} + R_{1} R_{2})

В обеих формулах есть «лишний» множитель — корень или произведение, многие забывают, и ответ получается заниженный.

Осевые сечения усечённой пирамиды и усечённого конуса с размерными подписями

Разбор типичной №3

Условие. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 6 и высотой 8.

Решение. Сторона основания 6, площадь основания $S = 6^{2} = 36$ . Объём:

V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 96

Ответ: $96$ .

Время решения — 30 секунд при знании формулы.

Разбор задачи с подвохом

Условие. В прямоугольный параллелепипед с рёбрами 3, 4, 12 вписан шар (касается всех граней). Найди объём шара.

Решение. Стоп. Шар, вписанный в прямоугольный параллелепипед, должен касаться всех 6 граней. Это возможно только если расстояния от центра до пар противоположных граней равны: $a = b = c$ . То есть только если параллелепипед — куб.

В нашем случае рёбра 3, 4, 12 — не куб. Шар вписать невозможно.

Ответ: задача поставлена некорректно (или, если в условии «вписан в основание» — нужно перечитать).

Этот пример показывает: внимательно читай условие, чтобы не делать вычисления для невозможной конфигурации.

Какие формулы знать наизусть

Тело	Объём	Площадь поверхности
Куб	$a^{3}$	$6 a^{2}$
Параллелепипед	$ab c$	$2 (ab + b c + a c)$
Призма	$S \cdot h$	$P \cdot h + 2 S$
Пирамида	$\frac{1}{3} S h$	$\frac{1}{2} P l + S$
Цилиндр	$π R^{2} h$	$2 π R (h + R)$
Конус	$\frac{1}{3} π R^{2} h$	$π R (l + R)$
Шар	$\frac{4}{3} π R^{3}$	$4 π R^{2}$
Усечённая пир.	$\frac{h}{3} (S_{1} + S_{2} + S_{1} S_{2})$	$\frac{1}{2} (P_{1} + P_{2}) l + S_{1} + S_{2}$

Эта таблица — обязательный минимум для №3 на экзамене.

Алгоритм работы с №3

Определи тип тела (за 5 секунд по тексту).
Запиши формулу — общую и в частном случае.
Подставь известные значения.
Получи ответ. Округли по требованию задачи.

При уверенном знании формул №3 решается за 2-3 минуты — экономишь время на №16 или №18.

Разбор: когда параметр спрятан

Иногда в условии нет нужного значения напрямую, и его приходится достать через теорему Пифагора в осевом сечении. Это самый частый «усложнённый» вариант №3, и боятся его зря.

Условие. В цилиндре диагональ осевого сечения равна десяти, а высота равна шести. Найди объём.

Решение. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами «диаметр основания» и «высота». Диагональ этого прямоугольника соединяет противоположные углы и равна десяти, а одна из сторон (высота) равна шести. По теореме Пифагора вторая сторона прямоугольника — диаметр основания — равна корню из разности квадратов: получается восемь. Значит, радиус основания вдвое меньше диаметра, то есть четыре.

Дальше работает обычная формула объёма цилиндра: радиус в квадрате умножаем на высоту и на число пи. Радиус в квадрате — шестнадцать, умножаем на высоту шесть, получаем девяносто шесть, и весь объём равен девяноста шести пи.

$V = π \cdot 4^{2} \cdot 6 = 96 π$

Логика здесь всегда одна: если в задаче дана диагональ, образующая или угол наклона, переведи фигуру в плоское осевое сечение, найди недостающий линейный размер по Пифагору, а потом подставляй в стандартную формулу. Эта связка «осевое сечение плюс Пифагор» закрывает почти все «трудные» варианты задания 3.

Частые ошибки

Ошибка 1: забывают $\frac{1}{3}$ в формуле пирамиды и конуса. Получают объём призмы / цилиндра.

Ошибка 2: путают $h$ (высоту) и $l$ (апофему / образующую). Это разные величины. Высота — перпендикуляр в пространстве, апофема / образующая — наклонный отрезок.

Ошибка 3: для шестиугольной пирамиды считают $S = a^{2}$ . Шестиугольник: $S = \frac{3 a ^{2} 3}{2}$ .

Ошибка 4: в усечённой пирамиде забывают $S_{1} S_{2}$ . Получают «средний слой» вместо объёма.

Ресурсы

Учебник Сот: Объём правильной пирамиды, Площадь поверхности пирамиды, Цилиндр, Конус, Сфера и шар.
Сборник задач: ФИПИ профиль №3 за 2024–2025 — 30 задач с ответами.

Что в итоге

Задание 3 — самое стабильное для подготовки. Восемь типов, известные формулы, обычно прямая подстановка. За неделю с практикой по 5 задач в день закрывается на 100%. Получаешь 1 первичный балл (примерно 3 вторичных) с минимальными усилиями.

Удачи на экзамене.

Задание 3 ЕГЭ — стереометрия: все типы задач и формулы