Задание 3 ЕГЭ: все типы задач по стереометрии

Задание 3 ЕГЭ профиль — это один первичный балл за объём или площадь поверхности тела в пространстве. Восемь типов, каждый закрывается одной формулой. Если знаешь формулы — задача за 2-3 минуты, без знания — потеряешь 5-10 минут на чертёж и попытки вспомнить.

Восемь типов тел задания 3 ЕГЭ: куб, призма, пирамида, параллелепипед, цилиндр, конус, шар, усечённая пирамида

1. Куб

Куб — параллелепипед с равными рёбрами. Все формулы:

V = a^3, \quad S_{полн} = 6 a^2

Диагональ грани: $a\sqrt{2}$ . Пространственная диагональ: $a\sqrt{3}$ .

Простейший тип — обычно один из двух базовых параметров известен напрямую.

2. Прямоугольный параллелепипед

С рёбрами $a$ , $b$ , $c$ :

V = abc, \quad S_{полн} = 2(ab + bc + ac)

Пространственная диагональ: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ (трёхмерная теорема Пифагора).

Если в задаче рёбра 3, 4, 12 — диагональ 13, объём 144.

3. Призма

Призма — два параллельных равных основания и боковые грани-параллелограммы (для прямой призмы — прямоугольники).

V = S_{осн} \cdot h

Боковая поверхность прямой призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$ .

Площадь основания зависит от формы:

Треугольное основание: формула треугольника (Герона, или $\dfrac{1}{2} ab \sin C$ , или $\dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ для равностороннего).
Шестиугольное (правильное): $\dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}$ .

4. Пирамида

V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h

Главное отличие от призмы — множитель $\dfrac{1}{3}$ . Это самая частая ошибка в №3: забыть «делить на 3».

Боковая поверхность правильной пирамиды: $S_{бок} = \dfrac{1}{2} P_{осн} \cdot l$ (где $l$ — апофема, высота боковой грани).

Для частных случаев:

Правильная четырёхугольная: $V = \dfrac{a^2 h}{3}$ .
Правильная треугольная: $V = \dfrac{a^2 h \sqrt{3}}{12}$ .
Правильная шестиугольная: $V = \dfrac{a^2 h \sqrt{3}}{2}$ .

5. Цилиндр

V = \pi R^2 h

Боковая поверхность: $S_{бок} = 2\pi R h$ (это «развёртка» — прямоугольник высотой $h$ и длиной $2\pi R$ ).

Полная поверхность: $S_{полн} = 2\pi R h + 2 \pi R^2 = 2\pi R(h + R)$ .

В типичной задаче дано $R$ и $h$ напрямую — прямая подстановка.

6. Конус

V = \frac{1}{3} \pi R^2 h

Боковая поверхность: $S_{бок} = \pi R l$ (где $l$ — образующая).

Полная: $S_{полн} = \pi R l + \pi R^2 = \pi R(l + R)$ .

Связь $h$ , $R$ , $l$ : $l^2 = h^2 + R^2$ (Пифагор в осевом сечении).

7. Сфера и шар

V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3, \quad S_{сферы} = 4 \pi R^2

В №3 ЕГЭ обычно дают радиус, нужно посчитать объём или поверхность напрямую.

Полезные следствия:

Если $V$ известен, $R = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}$ .
Если $S$ известна, $R = \sqrt{\dfrac{S}{4\pi}}$ .

8. Усечённые тела

Усечённая пирамида с площадями оснований $S_1$ и $S_2$ , высотой $h$ :

V = \frac{h}{3}\left(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}\right)

Усечённый конус с радиусами $R_1$ и $R_2$ , высотой $h$ :

V = \frac{\pi h}{3}\left(R_1^2 + R_2^2 + R_1 R_2\right)

В обеих формулах есть «лишний» множитель — корень или произведение, многие забывают, и ответ получается заниженный.

Осевые сечения усечённой пирамиды и усечённого конуса с размерными подписями

Разбор типичной №3

Условие. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 6 и высотой 8.

Решение. Сторона основания 6, площадь основания $S = 6^2 = 36$ . Объём:

V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 96

Ответ: $96$ .

Время решения — 30 секунд при знании формулы.

Разбор задачи с подвохом

Условие. В прямоугольный параллелепипед с рёбрами 3, 4, 12 вписан шар (касается всех граней). Найди объём шара.

Решение. Стоп. Шар, вписанный в прямоугольный параллелепипед, должен касаться всех 6 граней. Это возможно только если расстояния от центра до пар противоположных граней равны: $a = b = c$ . То есть только если параллелепипед — куб.

В нашем случае рёбра 3, 4, 12 — не куб. Шар вписать невозможно.

Ответ: задача поставлена некорректно (или, если в условии «вписан в основание» — нужно перечитать).

Этот пример показывает: внимательно читай условие, чтобы не делать вычисления для невозможной конфигурации.

Какие формулы знать наизусть

Тело	Объём	Площадь поверхности
Куб	$a^3$	$6a^2$
Параллелепипед	$abc$	$2(ab+bc+ac)$
Призма	$S \cdot h$	$P \cdot h + 2S$
Пирамида	$\dfrac{1}{3} S h$	$\dfrac{1}{2} P l + S$
Цилиндр	$\pi R^2 h$	$2\pi R(h+R)$
Конус	$\dfrac{1}{3} \pi R^2 h$	$\pi R(l+R)$
Шар	$\dfrac{4}{3} \pi R^3$	$4\pi R^2$
Усечённая пир.	$\dfrac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1 S_2})$	$\dfrac{1}{2}(P_1+P_2)l + S_1 + S_2$

Эта таблица — обязательный минимум для №3 на экзамене.

Алгоритм работы с №3

Определи тип тела (за 5 секунд по тексту).
Запиши формулу — общую и в частном случае.
Подставь известные значения.
Получи ответ. Округли по требованию задачи.

При уверенном знании формул №3 решается за 2-3 минуты — экономишь время на №16 или №18.

Частые ошибки

Ошибка 1: забывают $\dfrac{1}{3}$ в формуле пирамиды и конуса. Получают объём призмы / цилиндра.

Ошибка 2: путают $h$ (высоту) и $l$ (апофему / образующую). Это разные величины. Высота — перпендикуляр в пространстве, апофема / образующая — наклонный отрезок.

Ошибка 3: для шестиугольной пирамиды считают $S = a^2$ . Шестиугольник: $S = \dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{2}$ .

Ошибка 4: в усечённой пирамиде забывают $\sqrt{S_1 S_2}$ . Получают «средний слой» вместо объёма.

Ресурсы

Учебник Сот: Объём правильной пирамиды, Площадь поверхности пирамиды, Цилиндр, Конус, Сфера и шар.
Сборник задач: ФИПИ профиль №3 за 2024–2025 — 30 задач с ответами.

Что в итоге

Задание 3 — самое стабильное для подготовки. Восемь типов, известные формулы, обычно прямая подстановка. За неделю с практикой по 5 задач в день закрывается на 100%. Получаешь 1 первичный балл (примерно 3 вторичных) с минимальными усилиями.

Удачи на экзамене.

Задание 3 ЕГЭ — стереометрия: все типы задач и формулы