Сфера и шар — формулы объёма и площади для ЕГЭ

Шар — самое «округлое» тело в стереометрии. Две формулы: объём $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ и площадь поверхности $S = 4\pi r^2$. Освоить их несложно — важно не путать радиус с диаметром и понять, как работают вписанная и описанная сферы.

Сфера и шар — в чём разница

Сфера — это поверхность, множество всех точек пространства, равноудалённых от центра на расстояние $r$ (радиус). Она двумерная: у неё есть только площадь поверхности.

Шар — это тело, ограниченное сферой. Он занимает объём.

На практике в задачах ЕГЭ это разграничение почти не важно: «объём шара» и «объём сферы» означают одно и то же, «площадь поверхности шара» = «площадь сферы». Главное — знать формулы.

Формулы объёма и площади поверхности

Где $r$ — радиус шара (расстояние от центра до поверхности).

Как запомнить. Формула объёма шара содержит $r^3$ — три измерения, как у любого тела. Коэффициент $\frac{4}{3}$ — это уникальный «шаровой» множитель. Формула площади содержит $r^2$ — как у любой поверхности.

Частая ошибка: в условии дан диаметр $d$, а не радиус. Тогда $r = d/2$. Не подставляй $d$ вместо $r$ — ответ будет в $2^3 = 8$ раз больше нужного для объёма и в $4$ раза для площади.

Пример 1 (уровень А) — прямое применение формул

Условие. Радиус шара равен 6. Найди объём и площадь поверхности.

Решение.

Объём: $V = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = \frac{864\pi}{3} = 288\pi$

Площадь поверхности: $S = 4\pi \cdot 6^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi$

Ответ: $V = 288\pi$, $S = 144\pi$.

В задании 3 ЕГЭ формат ответа обычно числовой. Если нет уточнений — оставляй $\pi$ в ответе.

Вписанная и описанная сфера

Это ключевые понятия для задания 14. Разбираем на примере куба — самого частого в ЕГЭ.

Шар, вписанный в куб

Вписанный шар касается всех шести граней куба изнутри. Расстояние между двумя параллельными гранями равно стороне куба $a$. Значит, это диаметр шара:

$d = a \quad \Rightarrow \quad r = \frac{a}{2}$

Сфера, описанная около куба

Описанная сфера проходит через все 8 вершин куба. Её диаметр равен пространственной диагонали куба:

$d = a\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Пример 2 (уровень Б) — вписанная сфера

Условие. Шар вписан в куб со стороной 10. Найди объём шара.

Решение.

Радиус вписанного шара: $r = \dfrac{10}{2} = 5$

Объём: $V = \frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500\pi}{3}$

Ответ: $\dfrac{500\pi}{3}$

Пример 3 (уровень В) — описанная сфера

Условие. Сфера описана около куба со стороной 4. Найди площадь сферы.

Решение.

Пространственная диагональ куба: $d = 4\sqrt{3}$

Радиус описанной сферы: $R = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

Площадь поверхности: $S = 4\pi \cdot (2\sqrt{3})^2 = 4\pi \cdot 4 \cdot 3 = 48\pi$

Ответ: $48\pi$

Типичные ошибки

1. Путаница r и d. Самая частая. Если в условии «диаметр 12» — радиус равен 6, а не 12.

2. Ошибка при возведении в куб. $6^3 = 216$, не $18$ и не $36$. Считай внимательно: $6 \cdot 6 = 36$, $36 \cdot 6 = 216$.

3. Перепутал вписанную и описанную. Вписанная сфера — внутри многогранника (меньше). Описанная — снаружи, через вершины (больше).

4. Забыл умножить на 4/3. Формула объёма шара — $\frac{4}{3}\pi r^3$, а не $\pi r^3$ (это объём цилиндра с $h = r$) и не $\frac{1}{3}\pi r^3$ (это объём конуса).

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 3 (часть 1, 1 первичный балл) — как правило, простое: дан радиус или диаметр, найди объём или площадь поверхности. Задача на прямое применение формулы. Главная ловушка — диаметр вместо радиуса.

Задание 14 (часть 2, 3 первичных балла) — сложнее: нужно найти радиус вписанной или описанной сферы в многогранник, а потом вычислить объём или площадь. Требует понимания геометрии многогранника и правильного нахождения радиуса.

Суммарно задание 3 + задание 14 дают 4 первичных балла. Задание 3 — «дешёвый» и надёжный балл. Задание 14 — стоит брать, если уверенно знаешь стереометрию.