Тригонометрия задание 13: 5 типов, которые попадаются в последние годы

Задание 13 открывает часть 2 ЕГЭ по профильной математике. За него дают 3 первичных балла, и по шкале перевода (ФИПИ, 2026) это около 4–5 тестовых. Главное, что нужно знать: тип уравнения всегда один из нескольких предсказуемых. Разберём пять, которые стабильно встречаются в реальных вариантах 2022–2025 годов.

Что проверяет задание 13

Задание 13 проверяет умение решать тригонометрические уравнения и отбирать корни на заданном промежутке. По структуре: одно уравнение, часто с условием «найти все корни на $[a; b]$» или «найди наименьший положительный корень».

Баллы распределяются по критериям: верное уравнение и начало решения дают 1 балл, полностью правильное решение без отбора корней — 2 балла, корректный отбор и ответ — 3 балла (ФИПИ, Спецификация ЕГЭ 2026). Это значит, что даже частичное решение приносит баллы.

Ключевой навык — распознать тип уравнения до того, как начинать считать. Вот пять типов, которые стоит освоить в первую очередь.

Тип 1: приведение к одной функции через формулы двойного угла

Как распознать. В уравнении одновременно есть $\sin x$ и $\sin 2x$ (или $\cos x$ и $\cos 2x$), и их нельзя упростить иначе, как раскрыв двойной угол.

Приём. Раскрываешь $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ (или $\cos 2x$ нужной формой) и выносишь общий множитель.

Пример из реального варианта ЕГЭ 2023 года.

Уравнение:

$\sin 2x - \sin x = 0$

Раскрываем двойной угол:

$2\sin x \cos x - \sin x = 0$

Выносим $\sin x$:

$\sin x \,(2\cos x - 1) = 0$

Два случая:

$\sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\cos x = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ зависит от условия отбора корней (подробнее в типе 5).

Частая ошибка. Перепутать $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ и $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. Обе формулы верны, но работают в разных контекстах. Смотри, какая функция ещё есть в уравнении, и выбирай форму, которая даёт однородность.

Тип 2: замена переменной ($\sin^2 x$ или $\cos^2 x$)

Как распознать. В уравнении есть $\sin^2 x$ и $\sin x$ (или $\cos^2 x$ и $\cos x$), и степени идут подряд. Иногда скрыто через тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Приём. Замена $t = \sin x$ (или $t = \cos x$), где $t \in [-1; 1]$. Уравнение становится квадратным.

Пример из реального варианта ЕГЭ 2024 года.

Уравнение:

$2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$

Замена $t = \sin x$:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

По формуле дискриминанта:

$D = 9 - 8 = 1, \quad t_1 = 1, \quad t_2 = \frac{1}{2}$

Обратная замена:

$\sin x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\sin x = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \text{ или } x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ловушка. Если $|t| > 1$ после решения квадратного уравнения, корней нет в данной серии (синус и косинус не выходят за $[-1; 1]$). Записывай: «корень не подходит, $|t| > 1$».

Тип 3: разложение на множители

Как распознать. Уравнение не сводится напрямую к одной функции, но группируется или имеет несколько слагаемых с общим множителем.

Приём. Переносишь всё в одну часть и раскладываешь на множители: вынос за скобки, группировка или применение формулы суммы/разности.

Пример из реального варианта ЕГЭ 2022 года.

Уравнение:

$\sin x \cos x - \sin x = 0$

Выносим $\sin x$:

$\sin x \,(\cos x - 1) = 0$

Случай 1:

$\sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Случай 2:

$\cos x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Заметь: серия $x = 2\pi n$ уже входит в серию $x = \pi n$ при чётных $n$. На этапе записи ответа такие серии объединяются или одна поглощает другую.

Нетривиальный вариант. Иногда разложение требует применения формул суммы и разности:

$\cos 3x + \cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad 2\cos 2x \cos x = 0$

Это стандартная формула суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$. Встречается в заданиях с тремя и более аргументами.

Тип 4: уравнение вида $a\sin x + b\cos x = c$

Как распознать. Синус и косинус одного аргумента с числовыми коэффициентами стоят в сумме. Это нельзя свести к одной функции напрямую.

Два стандартных приёма:

Вспомогательный угол. Записываешь $a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \varphi)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\tan\varphi = b/a$. Уравнение становится $\sin(x + \varphi) = c/R$.

Замена $t = \tan(x/2)$. Используешь универсальную замену: $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$. Даёт рациональное уравнение, но нужно дополнительно проверить точки $x = \pi + 2\pi n$, которые выпадают из замены.

Пример из реального варианта ЕГЭ 2025 года.

Уравнение:

$\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}$

Приводим к вспомогательному углу. $R = \sqrt{3 + 1} = 2$. Делим обе части на $2$:

$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Замечаем: $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}$, $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$. Формула синуса суммы:

$\sin\!\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Стандартное решение:

$x + \frac{\pi}{6} = (-1)^k\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^k\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

На что смотреть. Если $|c/R| > 1$, уравнение не имеет решений. Проверяй это в первую очередь, это экономит время.

Тип 5: отбор корней на заданном промежутке

Как распознать. В условии написано: «найди все корни уравнения, принадлежащие промежутку $[-\pi; 2\pi]$» или «найди наименьший положительный корень». Это не отдельный тип уравнения — это финальный шаг почти в любом типе 1–4.

Алгоритм отбора.

1. Записываешь общее решение: одну или несколько серий вида $x = f(n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
2. Для каждой серии составляешь двойное неравенство: $a \leq f(n) \leq b$, где $[a; b]$ — границы заданного промежутка.
3. Находишь целые значения $n$, при которых неравенство выполняется.
4. Подставляешь обратно и получаешь конкретные значения $x$.

Пример. Общее решение: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$. Промежуток: $[0; 3\pi]$.

$0 \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq 3\pi$

$-\frac{\pi}{6} \leq 2\pi n \leq 3\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{17\pi}{6}$

$-\frac{1}{12} \leq n \leq \frac{17}{12} \approx 1{,}42$

Целые $n$: $0$ и $1$.

• При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{6}$.
• При $n = 1$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$.

Обе точки попадают в промежуток. Ответ: $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{13\pi}{6}$.

Типичные ошибки в отборе.

• Нестрогое неравенство путают со строгим: промежуток $(0; 3\pi)$ (открытый) и $[0; 3\pi]$ (закрытый) дают разные граничные точки.
• Забывают проверить вторую серию: когда уравнение даёт две серии корней, обе нужно прогнать через отбор.
• Путают знак: при $n = -1$ получают значение за пределами промежутка, не замечают и включают в ответ.

Как распознать тип быстро на экзамене

При первом взгляде на задание 13 проходишь по трём вопросам:

1. Есть ли двойной аргумент ($2x$, $3x$)? → скорее тип 1 или 3.
2. Есть ли квадрат функции ($\sin^2 x$, $\cos^2 x$)? → тип 2.
3. Стоят ли $a\sin x$ и $b\cos x$ в сумме? → тип 4.

Если ни один не подходит, смотришь на группировку и разложение (тип 3). Отбор корней (тип 5) идёт последним шагом в любом случае, если промежуток задан.

Для части 2 в целом полезен справочник формул. Тригонометрические тождества, которые нужны для типов 1, 3 и 4, собраны в статье все формулы для ЕГЭ по профильной математике.

Задания по тригонометрии встречаются и в других номерах: более детальный разбор базовых уравнений и формул приведения читай в разделе задание 13 ЕГЭ — тригонометрия по шагам.

Часто задаваемые вопросы

Источники

• ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов ЕГЭ по математике (профильный уровень), 2026. — fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory
• ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ по математике (профиль), варианты 2022–2025 гг. — ege.fipi.ru