Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения

Теорема Виета — это способ решать квадратные уравнения без вычисления дискриминанта. Быстро и без арифметических ошибок при вычислении корней, если коэффициенты «красивые». Разберём, когда её применять, как не перепутать формулы и зачем она нужна на ЕГЭ.

Приведённое квадратное уравнение

Приведённое — квадратное уравнение с коэффициентом $a = 1$:

$x^2 + px + q = 0$

Это частный случай общего уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если $a \neq 1$, делим обе части на $a$ и получаем приведённое.

Теорема Виета: формулировка

Если $x_1$ и $x_2$ — корни приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$, то:

$x_1 + x_2 = -p$ $x_1 \cdot x_2 = q$

Запомнить просто: сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, произведение корней равно свободному члену.

Пример. $x^2 - 7x + 12 = 0$.

$p = -7$, $q = 12$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 7$, $x_1 \cdot x_2 = 12$.

Ищем два числа, сумма которых 7 и произведение 12. Это 3 и 4.

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = 4$.

Проверка: $3 + 4 = 7$, $3 \cdot 4 = 12$. Верно.

Для общего уравнения

Для $ax^2 + bx + c = 0$ (не обязательно приведённого):

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Пример. $2x^2 - 10x + 12 = 0$.

$x_1 + x_2 = \frac{10}{2} = 5$, $x_1 \cdot x_2 = \frac{12}{2} = 6$.

Числа с суммой 5 и произведением 6: это 2 и 3.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Обратная теорема Виета

Если известно, что $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Применение: составить уравнение по заданным корням.

Пример. Составь квадратное уравнение с корнями $x_1 = -2$ и $x_2 = 5$.

$p = -(x_1 + x_2) = -(-2 + 5) = -3$

$q = x_1 \cdot x_2 = -2 \cdot 5 = -10$

Уравнение: $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Когда теорема Виета быстрее дискриминанта

Теорема Виета удобна, когда коэффициенты $p$ и $q$ целые и небольшие. Тогда подбор пары чисел занимает несколько секунд.

Теорема Виета в задачах с параметром

Если нужно найти значение параметра, при котором сумма или произведение корней равны заданному числу, — подставляешь формулы Виета напрямую.

Пример. При каком $a$ сумма корней уравнения $x^2 - (a+1)x + 2a = 0$ равна 4?

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = a + 1$.

Условие: $a + 1 = 4 \Rightarrow a = 3$.

Проверка: при $a = 3$ уравнение $x^2 - 4x + 6 = 0$, $D = 16 - 24 = -8 < 0$ — корней нет. Значит, условие задачи не выполняется.

Это ловушка: нужно дополнительно проверить, что при найденном $a$ уравнение вообще имеет корни ($D \geq 0$).

Вывод: при $a = 3$ уравнение корней не имеет — задача не имеет решения при данном условии.

Признаки, когда теорема Виета не применяется напрямую

• $D < 0$ — уравнение не имеет вещественных корней. Теорема Виета справедлива, но корни комплексные — на ЕГЭ не нужно.
• $a = 0$ — не квадратное уравнение, теорема не применяется.
• Уравнение не приведено к стандартному виду — сначала преобразуй.

Для расширения темы смотри дискриминант квадратного уравнения и все формулы ЕГЭ.

Частые вопросы о теореме Виета

Почему сумма корней равна $-p$, а не $p$?

Потому что в приведённом уравнении $x^2 + px + q = 0$ коэффициент при $x$ — это $p$, а формула Виета даёт $x_1 + x_2 = -b/a = -p/1 = -p$. Минус — из формулы корней через дискриминант.

Что если оба корня отрицательные?

Сумма будет отрицательной ($x_1 + x_2 < 0$ значит $-p < 0$, то есть $p > 0$), произведение — положительным ($x_1 \cdot x_2 > 0$ значит $q > 0$). Можно проверять характер корней ещё до их вычисления.

Работает ли теорема Виета для уравнений степени выше 2?

Да, есть обобщение — формулы Виета для многочленов любой степени. Но на профильном ЕГЭ обобщённые формулы не нужны.

Можно ли решить уравнение $x^2 + 5x - 6 = 0$ теоремой Виета?

Да: ищем числа с суммой $-5$ и произведением $-6$. Это $1$ и $-6$: $1 + (-6) = -5$, $1 \cdot (-6) = -6$. Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -6$.

Обязательно ли подставлять корни для проверки?

На экзамене — желательно, особенно если задание в части 2. Проверка занимает 20 секунд и страхует от ошибки в знаке.

Источники

1. ФИПИ. Спецификация ЕГЭ по математике (профильный уровень), 2026.
2. ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ, задания 5, 12, ege.fipi.ru.