Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения

Теорема Виета — это способ решать квадратные уравнения без вычисления дискриминанта. Быстро и без арифметических ошибок при вычислении корней, если коэффициенты «красивые». Разберём, когда её применять, как не перепутать формулы и зачем она нужна на ЕГЭ.

Приведённое квадратное уравнение

Приведённое — квадратное уравнение с коэффициентом $a = 1$:

$x^2 + px + q = 0$

Это частный случай общего уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если $a \neq 1$, делим обе части на $a$ и получаем приведённое.

Теорема Виета: формулировка

Если $x_1$ и $x_2$ — корни приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$, то:

$x_1 + x_2 = -p$ $x_1 \cdot x_2 = q$

Запомнить просто: сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, произведение корней равно свободному члену.

Пример. $x^2 - 7x + 12 = 0$.

$p = -7$, $q = 12$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 7$, $x_1 \cdot x_2 = 12$.

Ищем два числа, сумма которых 7 и произведение 12. Это 3 и 4.

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = 4$.

Проверка: $3 + 4 = 7$, $3 \cdot 4 = 12$. Верно.

Для общего уравнения

Для $ax^2 + bx + c = 0$ (не обязательно приведённого):

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Пример. $2x^2 - 10x + 12 = 0$.

$x_1 + x_2 = \frac{10}{2} = 5$, $x_1 \cdot x_2 = \frac{12}{2} = 6$.

Числа с суммой 5 и произведением 6: это 2 и 3.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Обратная теорема Виета

Если известно, что $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 \cdot x_2 = q$, то $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Применение: составить уравнение по заданным корням.

Пример. Составь квадратное уравнение с корнями $x_1 = -2$ и $x_2 = 5$.

$p = -(x_1 + x_2) = -(-2 + 5) = -3$

$q = x_1 \cdot x_2 = -2 \cdot 5 = -10$

Уравнение: $x^2 - 3x - 10 = 0$.

Когда теорема Виета быстрее дискриминанта

Теорема Виета удобна, когда коэффициенты $p$ и $q$ целые и небольшие. Тогда подбор пары чисел занимает несколько секунд.

Теорема Виета в задачах с параметром

Если нужно найти значение параметра, при котором сумма или произведение корней равны заданному числу, — подставляешь формулы Виета напрямую.

Пример. При каком $a$ сумма корней уравнения $x^2 - (a+1)x + 2a = 0$ равна 4?

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = a + 1$.

Условие: $a + 1 = 4 \Rightarrow a = 3$.

Проверка: при $a = 3$ уравнение $x^2 - 4x + 6 = 0$, $D = 16 - 24 = -8 < 0$ — корней нет. Значит, условие задачи не выполняется.

Это ловушка: нужно дополнительно проверить, что при найденном $a$ уравнение вообще имеет корни ($D \geq 0$).

Вывод: при $a = 3$ уравнение корней не имеет — задача не имеет решения при данном условии.

Признаки, когда теорема Виета не применяется напрямую

• $D < 0$ — уравнение не имеет вещественных корней. Теорема Виета справедлива, но корни комплексные — на ЕГЭ не нужно.
• $a = 0$ — не квадратное уравнение, теорема не применяется.
• Уравнение не приведено к стандартному виду — сначала преобразуй.

Для расширения темы смотри дискриминант квадратного уравнения и все формулы ЕГЭ.

Как быстро подбирать корни: техника устного перебора

Главный навык в теореме Виета — быстро находить два числа по их сумме и произведению. Многие застревают именно здесь, потому что перебирают наугад. Есть удобный порядок действий, который превращает подбор в механику.

Начинай всегда с произведения, а не с суммы. Произведение задаёт, какие пары вообще возможны: ты раскладываешь свободный член на множители. Сумма потом просто отсеивает нужную пару.

Разберём на примере $x^2 - 9x + 20 = 0$. По теореме Виета сумма корней равна $9$, произведение — $20$. Раскладываем $20$ на пары множителей: $1 \cdot 20$, $2 \cdot 10$, $4 \cdot 5$. Теперь смотрим на сумму каждой пары: $1 + 20 = 21$, $2 + 10 = 12$, $4 + 5 = 9$. Подходит последняя — значит, корни $4$ и $5$.

Если свободный член отрицательный, корни разных знаков. Возьмём $x^2 - 2x - 15 = 0$: произведение $-15$, сумма $2$. Раз произведение отрицательно, один корень положительный, второй отрицательный, и по модулю они различаются на величину суммы. Пары для $15$: $1$ и $15$, $3$ и $5$. Чтобы разность дала $2$, берём $3$ и $5$, а знаки расставляем так, чтобы сумма была $+2$: больший по модулю корень положительный. Получаем $5$ и $-3$. Проверка: $5 + (-3) = 2$, $5 \cdot (-3) = -15$. Верно.

Эта техника работает за несколько секунд, когда коэффициенты целые. Именно поэтому на простых квадратных уравнениях ЕГЭ теорема Виета почти всегда быстрее дискриминанта — ты не тратишь время на извлечение корня и деление, а сразу видишь ответ.

Анализ корней без их вычисления

У теоремы Виета есть приём, который выручает в задачах с параметром: по сумме и произведению можно определить знаки корней, даже не находя сами корни. Это экономит время и часто оказывается единственным аккуратным путём к ответу.

Логика простая. Произведение корней говорит, одного они знака или разных. Если произведение положительно, корни одного знака — оба плюс или оба минус. Если произведение отрицательно, корни разных знаков. А дальше сумма уточняет картину: при положительном произведении знак суммы совпадает со знаком обоих корней.

Разберём словами. Пусть произведение корней положительно, а сумма отрицательна. Раз произведение положительно — корни одного знака. Раз сумма отрицательна — этот общий знак минус. Значит, оба корня отрицательны, и мы выяснили это, не решая уравнение вовсе.

На ЕГЭ такой анализ встречается в формулировках вроде «при каких значениях параметра оба корня положительны». Ты переводишь условие в систему: дискриминант неотрицателен (корни существуют), сумма имеет нужный знак, произведение положительно. Решаешь систему относительно параметра — и получаешь ответ. Без теоремы Виета пришлось бы выписывать громоздкие формулы корней и анализировать их по отдельности.

Частая ловушка: проверка существования корней

Теорема Виета даёт сумму и произведение для любого уравнения, даже когда вещественных корней нет. Это и есть скрытая ловушка многих задач с параметром: ты формально находишь параметр из условия на сумму, но забываешь проверить, что при этом параметре корни вообще существуют.

Поэтому правило такое: всякий раз, когда ты использовал формулы Виета для нахождения параметра, в конце обязательно проверь дискриминант. Если при найденном значении параметра дискриминант оказался отрицательным, значит корней нет, и формальный ответ не годится — задача либо не имеет решения, либо требует другого значения. Эта проверка отделяет полное решение от того, что выглядит правильным, но теряет баллы.

Частые вопросы о теореме Виета

Почему сумма корней равна $-p$, а не $p$?

Потому что в приведённом уравнении $x^2 + px + q = 0$ коэффициент при $x$ — это $p$, а формула Виета даёт $x_1 + x_2 = -b/a = -p/1 = -p$. Минус — из формулы корней через дискриминант.

Что если оба корня отрицательные?

Сумма будет отрицательной ($x_1 + x_2 < 0$ значит $-p < 0$, то есть $p > 0$), произведение — положительным ($x_1 \cdot x_2 > 0$ значит $q > 0$). Можно проверять характер корней ещё до их вычисления.

Работает ли теорема Виета для уравнений степени выше 2?

Да, есть обобщение — формулы Виета для многочленов любой степени. Но на профильном ЕГЭ обобщённые формулы не нужны.

Можно ли решить уравнение $x^2 + 5x - 6 = 0$ теоремой Виета?

Да: ищем числа с суммой $-5$ и произведением $-6$. Это $1$ и $-6$: $1 + (-6) = -5$, $1 \cdot (-6) = -6$. Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -6$.

Обязательно ли подставлять корни для проверки?

На экзамене — желательно, особенно если задание в части 2. Проверка занимает 20 секунд и страхует от ошибки в знаке.

Источники

1. ФИПИ. Спецификация ЕГЭ по математике (профильный уровень), 2026.
2. ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ, задания 5, 12, ege.fipi.ru.