Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения

Теорема Виета — это способ решать квадратные уравнения без вычисления дискриминанта. Быстро и без арифметических ошибок при вычислении корней, если коэффициенты «красивые». Разберём, когда её применять, как не перепутать формулы и зачем она нужна на ЕГЭ.

Приведённое квадратное уравнение

Приведённое — квадратное уравнение с коэффициентом $a = 1$ :

$x^{2} + p x + q = 0$

Это частный случай общего уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ . Если $a \neq = 1$ , делим обе части на $a$ и получаем приведённое.

Теорема Виета: формулировка

Если $x_{1}$ и $x_{2}$ — корни приведённого уравнения $x^{2} + p x + q = 0$ , то:

$x_{1} + x_{2} = - p$ $x_{1} \cdot x_{2} = q$

Запомнить просто: сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, произведение корней равно свободному члену.

Пример. $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ .

$p = - 7$ , $q = 12$ .

По теореме Виета: $x_{1} + x_{2} = 7$ , $x_{1} \cdot x_{2} = 12$ .

Ищем два числа, сумма которых 7 и произведение 12. Это 3 и 4.

Ответ: $x_{1} = 3$ , $x_{2} = 4$ .

Проверка: $3 + 4 = 7$ , $3 \cdot 4 = 12$ . Верно.

Для общего уравнения

Для $a x^{2} + b x + c = 0$ (не обязательно приведённого):

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Пример. $2 x^{2} - 10 x + 12 = 0$ .

$x_{1} + x_{2} = \frac{10}{2} = 5$ , $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{12}{2} = 6$ .

Числа с суммой 5 и произведением 6: это 2 и 3.

Ответ: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 3$ .

Хочешь прорешать задания 5 и 12 на квадратные уравнения?

Соты подбирают задачи по теме — от простых уравнений до уравнений с параметром.

Начать тренировку

Обратная теорема Виета

Если известно, что $x_{1} + x_{2} = - p$ и $x_{1} \cdot x_{2} = q$ , то $x_{1}$ и $x_{2}$ — корни уравнения $x^{2} + p x + q = 0$ .

Применение: составить уравнение по заданным корням.

Пример. Составь квадратное уравнение с корнями $x_{1} = - 2$ и $x_{2} = 5$ .

$p = - (x_{1} + x_{2}) = - (- 2 + 5) = - 3$

$q = x_{1} \cdot x_{2} = - 2 \cdot 5 = - 10$

Уравнение: $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ .

Когда теорема Виета быстрее дискриминанта

Теорема Виета удобна, когда коэффициенты $p$ и $q$ целые и небольшие. Тогда подбор пары чисел занимает несколько секунд.

Ситуация	Метод
Целые небольшие коэффициенты	Теорема Виета (подбор)
Дробные или большие коэффициенты	Дискриминант
Нужно проверить корни	Теорема Виета как проверка
Задача с параметром	Теорема Виета для условий на корни

Теорема Виета в задачах с параметром

Если нужно найти значение параметра, при котором сумма или произведение корней равны заданному числу, — подставляешь формулы Виета напрямую.

Пример. При каком $a$ сумма корней уравнения $x^{2} - (a + 1) x + 2 a = 0$ равна 4?

По теореме Виета: $x_{1} + x_{2} = a + 1$ .

Условие: $a + 1 = 4 \Rightarrow a = 3$ .

Проверка: при $a = 3$ уравнение $x^{2} - 4 x + 6 = 0$ , $D = 16 - 24 = - 8 < 0$ — корней нет. Значит, условие задачи не выполняется.

Это ловушка: нужно дополнительно проверить, что при найденном $a$ уравнение вообще имеет корни ( $D \geq 0$ ).

Вывод: при $a = 3$ уравнение корней не имеет — задача не имеет решения при данном условии.

Признаки, когда теорема Виета не применяется напрямую

$D < 0$ — уравнение не имеет вещественных корней. Теорема Виета справедлива, но корни комплексные — на ЕГЭ не нужно.
$a = 0$ — не квадратное уравнение, теорема не применяется.
Уравнение не приведено к стандартному виду — сначала преобразуй.

Для расширения темы смотри дискриминант квадратного уравнения и все формулы ЕГЭ.

Как быстро подбирать корни: техника устного перебора

Главный навык в теореме Виета — быстро находить два числа по их сумме и произведению. Многие застревают именно здесь, потому что перебирают наугад. Есть удобный порядок действий, который превращает подбор в механику.

Начинай всегда с произведения, а не с суммы. Произведение задаёт, какие пары вообще возможны: ты раскладываешь свободный член на множители. Сумма потом просто отсеивает нужную пару.

Разберём на примере $x^{2} - 9 x + 20 = 0$ . По теореме Виета сумма корней равна $9$ , произведение — $20$ . Раскладываем $20$ на пары множителей: $1 \cdot 20$ , $2 \cdot 10$ , $4 \cdot 5$ . Теперь смотрим на сумму каждой пары: $1 + 20 = 21$ , $2 + 10 = 12$ , $4 + 5 = 9$ . Подходит последняя — значит, корни $4$ и $5$ .

Если свободный член отрицательный, корни разных знаков. Возьмём $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ : произведение $- 15$ , сумма $2$ . Раз произведение отрицательно, один корень положительный, второй отрицательный, и по модулю они различаются на величину суммы. Пары для $15$ : $1$ и $15$ , $3$ и $5$ . Чтобы разность дала $2$ , берём $3$ и $5$ , а знаки расставляем так, чтобы сумма была $+ 2$ : больший по модулю корень положительный. Получаем $5$ и $- 3$ . Проверка: $5 + (- 3) = 2$ , $5 \cdot (- 3) = - 15$ . Верно.

Эта техника работает за несколько секунд, когда коэффициенты целые. Именно поэтому на простых квадратных уравнениях ЕГЭ теорема Виета почти всегда быстрее дискриминанта — ты не тратишь время на извлечение корня и деление, а сразу видишь ответ.

Анализ корней без их вычисления

У теоремы Виета есть приём, который выручает в задачах с параметром: по сумме и произведению можно определить знаки корней, даже не находя сами корни. Это экономит время и часто оказывается единственным аккуратным путём к ответу.

Логика простая. Произведение корней говорит, одного они знака или разных. Если произведение положительно, корни одного знака — оба плюс или оба минус. Если произведение отрицательно, корни разных знаков. А дальше сумма уточняет картину: при положительном произведении знак суммы совпадает со знаком обоих корней.

Разберём словами. Пусть произведение корней положительно, а сумма отрицательна. Раз произведение положительно — корни одного знака. Раз сумма отрицательна — этот общий знак минус. Значит, оба корня отрицательны, и мы выяснили это, не решая уравнение вовсе.

На ЕГЭ такой анализ встречается в формулировках вроде «при каких значениях параметра оба корня положительны». Ты переводишь условие в систему: дискриминант неотрицателен (корни существуют), сумма имеет нужный знак, произведение положительно. Решаешь систему относительно параметра — и получаешь ответ. Без теоремы Виета пришлось бы выписывать громоздкие формулы корней и анализировать их по отдельности.

Частая ловушка: проверка существования корней

Теорема Виета даёт сумму и произведение для любого уравнения, даже когда вещественных корней нет. Это и есть скрытая ловушка многих задач с параметром: ты формально находишь параметр из условия на сумму, но забываешь проверить, что при этом параметре корни вообще существуют.

Поэтому правило такое: всякий раз, когда ты использовал формулы Виета для нахождения параметра, в конце обязательно проверь дискриминант. Если при найденном значении параметра дискриминант оказался отрицательным, значит корней нет, и формальный ответ не годится — задача либо не имеет решения, либо требует другого значения. Эта проверка отделяет полное решение от того, что выглядит правильным, но теряет баллы.

Частые вопросы о теореме Виета

Почему сумма корней равна $- p$ , а не $p$ ?

Потому что в приведённом уравнении $x^{2} + p x + q = 0$ коэффициент при $x$ — это $p$ , а формула Виета даёт $x_{1} + x_{2} = - b / a = - p /1 = - p$ . Минус — из формулы корней через дискриминант.

Что если оба корня отрицательные?

Сумма будет отрицательной ( $x_{1} + x_{2} < 0$ значит $- p < 0$ , то есть $p > 0$ ), произведение — положительным ( $x_{1} \cdot x_{2} > 0$ значит $q > 0$ ). Можно проверять характер корней ещё до их вычисления.

Работает ли теорема Виета для уравнений степени выше 2?

Да, есть обобщение — формулы Виета для многочленов любой степени. Но на профильном ЕГЭ обобщённые формулы не нужны.

Можно ли решить уравнение $x^{2} + 5 x - 6 = 0$ теоремой Виета?

Да: ищем числа с суммой $- 5$ и произведением $- 6$ . Это $1$ и $- 6$ : $1 + (- 6) = - 5$ , $1 \cdot (- 6) = - 6$ . Ответ: $x_{1} = 1$ , $x_{2} = - 6$ .

Обязательно ли подставлять корни для проверки?

На экзамене — желательно, особенно если задание в части 2. Проверка занимает 20 секунд и страхует от ошибки в знаке.

Источники

ФИПИ. Спецификация ЕГЭ по математике (профильный уровень), 2026.
ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ, задания 5, 12, ege.fipi.ru.