Дискриминант квадратного уравнения: формула и пример

Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ встречается в ЕГЭ по математике в заданиях 5, 12 и как вспомогательный шаг почти в каждом уравнении части 2. Дискриминант — первое, что нужно посчитать. Разбираем формулу, три случая и ошибки, которые стоят баллов.

Формула дискриминанта

$D = b^2 - 4ac$

Здесь $a$, $b$, $c$ — коэффициенты уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$).

Как запомнить: «бэ в квадрате минус четыре эй цэ». Эта формула произносится вслух при каждом решении — через 20 повторений запоминается автоматически.

Три случая

Случай 1: D > 0 — два различных корня

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Пример. $x^2 - 5x + 6 = 0$

$a = 1$, $b = -5$, $c = 6$

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$

$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$, $x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Проверка теоремой Виета: $x_1 + x_2 = 5 = -b/a$, $x_1 \cdot x_2 = 6 = c/a$. Верно.

Случай 2: D = 0 — один корень (кратный)

$x = \frac{-b}{2a}$

Пример. $x^2 - 6x + 9 = 0$

$D = 36 - 36 = 0$

$x = \frac{6}{2} = 3$

Уравнение имеет один корень $x = 3$ (или два совпадающих корня — это одно и то же в контексте ЕГЭ).

Случай 3: D < 0 — нет вещественных корней

Пример. $x^2 + 2x + 5 = 0$

$D = 4 - 20 = -16 < 0$

Вещественных корней нет. На ЕГЭ профильной математики в ответе пишешь «нет корней» или «нет решений».

Формула для удобного случая: чётное $b$

Если коэффициент $b$ чётный ($b = 2k$), вычисления упрощаются:

$D' = k^2 - ac, \quad x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D'}}{a}$

Пример. $3x^2 - 4x - 4 = 0$, здесь $b = -4$, значит $k = -2$.

$D' = (-2)^2 - 3 \cdot (-4) = 4 + 12 = 16$

$x_1 = \frac{2 + 4}{3} = 2$, $x_2 = \frac{2 - 4}{3} = -\frac{2}{3}$

Это вдвое меньше арифметики по сравнению с полной формулой.

Типичные ошибки при вычислении дискриминанта

Ошибка 1: не учитывать знак коэффициента $b$. Если $b = -5$, то $b^2 = (-5)^2 = 25$, а не $-25$. Квадрат всегда положителен — независимо от знака основания.

Ошибка 2: неверный порядок в $-4ac$. Пишут $4ac$ вместо $4ac$ с правильным знаком. При $c < 0$ слагаемое $-4ac$ становится положительным: $-4 \cdot 1 \cdot (-3) = +12$.

Ошибка 3: забыть привести к стандартному виду. Уравнение $2x^2 = 3x - 1$ нужно сначала записать как $2x^2 - 3x + 1 = 0$. Только тогда правильно выделять $a$, $b$, $c$.

Ошибка 4: потерять $a$ в знаменателе формулы корня. Формула $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ — в знаменателе $2a$, а не просто 2. При $a \neq 1$ ошибка даёт неверный ответ.

Ошибка 5: перепутать «один корень» и «нет корней». При $D = 0$ уравнение имеет корень ($x = -b/2a$). При $D < 0$ — не имеет. Не путай нулевой дискриминант с отрицательным.

Связь с теоремой Виета

По теореме Виета для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$:

$x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = q$

Это удобно для проверки: посчитал корни через дискриминант → быстро проверил сумму и произведение.

Также теорема Виета позволяет решать уравнения без дискриминанта — для «красивых» случаев. Подробнее — в статье теорема Виета для приведённого уравнения.

Дискриминант в задачах с параметром

Дискриминант — ключевой инструмент для задач с параметром типа «при каких $a$ уравнение имеет два корня». Ищешь $D > 0$ по параметру:

Пример. $x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$. При каких $a$ уравнение имеет два различных корня?

$D = 4a^2 - 4(a^2 - 1) = 4a^2 - 4a^2 + 4 = 4 > 0$

Дискриминант всегда положителен — уравнение имеет два корня при любом $a$.

Это полезно также для задач с параметром на ЕГЭ.

Полный разбор: от уравнения до проверки

Покажем, как выглядит аккуратное решение от первой до последней строки. Возьмём уравнение, которое на первый взгляд кажется неудобным: $5x^2 + 3x - 2 = 0$.

Сначала выпиши коэффициенты — это первый шаг, на котором теряют баллы из-за невнимательности. Здесь $a = 5$, $b = 3$, $c = -2$. Обрати внимание на знак свободного члена: он отрицательный, и это важно для дальнейшего счёта.

Считаем дискриминант, проговаривая каждое действие вслух: «бэ в квадрате» — это $9$; «минус четыре эй цэ» — это $-4 \cdot 5 \cdot (-2)$. Перемножение трёх чисел с одним минусом даёт плюс: $-4 \cdot 5 \cdot (-2) = +40$. Складываем:

$D = 9 + 40 = 49$

Корень из дискриминанта извлекается нацело: $\sqrt{49} = 7$. Это хороший знак — авторы заданий обычно подбирают коэффициенты так, чтобы корень был «красивым». Если корень получается некрасивым, перепроверь арифметику в дискриминанте: скорее всего там потерян знак.

Подставляем в формулу корней. В знаменателе стоит $2a = 10$:

$x_1 = \frac{-3 + 7}{10} = \frac{4}{10} = 0{,}4, \qquad x_2 = \frac{-3 - 7}{10} = \frac{-10}{10} = -1$

Теперь обязательная проверка через теорему Виета: сумма корней должна равняться $-b/a = -3/5 = -0{,}6$, и действительно $0{,}4 + (-1) = -0{,}6$. Произведение должно равняться $c/a = -2/5 = -0{,}4$, и $0{,}4 \cdot (-1) = -0{,}4$. Оба условия выполнены — значит, корни найдены верно.

Этот ритуал из четырёх шагов (выписал коэффициенты, посчитал дискриминант, нашёл корни, проверил Виетой) занимает на экзамене около минуты, но он практически исключает арифметическую ошибку. Когда отработаешь его до автоматизма, перестанешь бояться квадратных уравнений в любой части ЕГЭ.

Где квадратные уравнения встречаются в части 2

Дискриминант полезен далеко за пределами простого задания «реши уравнение». Он всплывает как промежуточный шаг почти в каждой развёрнутой задаче, и именно там его недооценивают.

В уравнениях задания 12 после замены переменной (например, показательной или тригонометрической) часто получается обычное квадратное уравнение относительно новой переменной. Решаешь его через дискриминант, находишь значения замены, а потом возвращаешься к исходной переменной. Без уверенного навыка квадратных уравнений этот шаг тормозит всё решение.

В задачах с параметром (задание 18) дискриминант — главный инструмент анализа. Условие «уравнение имеет ровно два корня» переводится в неравенство $D > 0$ относительно параметра, «ровно один корень» — в $D = 0$, «корней нет» — в $D < 0$. Умея бегло работать с дискриминантом, ты превращаешь словесное условие в понятное неравенство и дальше решаешь его как обычно.

Даже в геометрических и текстовых задачах квадратное уравнение нередко появляется на финальном шаге — когда из условия получается равенство со второй степенью неизвестного. Поэтому навык быстро и без ошибок считать дискриминант окупается на всём экзамене, а не только в одном задании.

Как не потерять корень при некрасивом дискриминанте

Отдельная история — когда дискриминант не извлекается нацело. Многие в этот момент решают, что ошиблись, и начинают пересчитывать заново, теряя время. На самом деле некрасивый корень — частая и нормальная ситуация.

Сначала убедись, что арифметика в дискриминанте верна: чаще всего «странный» результат связан с потерянным знаком в слагаемом $-4ac$. Если всё посчитано правильно, а под корнем стоит, скажем, число $20$, спокойно выноси множитель: корень из двадцати — это два корня из пяти. Ответ просто останется в виде выражения с корнем, и это абсолютно допустимо для ЕГЭ.

Главное — не округляй преждевременно. Если запишешь приближённое десятичное значение в середине решения, накопится погрешность, и финальный ответ может не совпасть с эталоном. Держи корень в точном виде до самого конца, а к десятичной записи переходи только если этого прямо требует условие задачи.

Частые вопросы о дискриминанте

Для каких уравнений работает дискриминант?

Только для квадратных — то есть уравнений второй степени вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. Для линейных, кубических и других формула не применяется.

Что если получился дискриминант — дробное число?

Ничего страшного. Если $D = 1/4$, то $\sqrt{D} = 1/2$, и корни будут дробными. Дробный дискриминант — не ошибка.

Можно ли решать квадратные уравнения без дискриминанта?

Да — теоремой Виета (для приведённых уравнений с целыми корнями), выделением полного квадрата, разложением на множители. Но дискриминант — универсален и работает всегда.

Нужно ли доказывать формулу на экзамене?

Нет. Формула дискриминанта — стандартный инструмент, её можно применять без вывода. Главное — правильно выписать коэффициенты.

Как быстро проверить вычисление дискриминанта?

Подставь найденные корни в исходное уравнение и проверь, что равенство выполняется. Это занимает 15–20 секунд и страхует от арифметических ошибок.

Источники

1. ФИПИ. Спецификация ЕГЭ по математике (профильный уровень), 2026.
2. ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ, задания 5, 12, ege.fipi.ru.