Дискриминант квадратного уравнения: формула и пример

Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ встречается в ЕГЭ по математике в заданиях 5, 12 и как вспомогательный шаг почти в каждом уравнении части 2. Дискриминант — первое, что нужно посчитать. Разбираем формулу, три случая и ошибки, которые стоят баллов.

Формула дискриминанта

$D = b^2 - 4ac$

Здесь $a$, $b$, $c$ — коэффициенты уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$).

Как запомнить: «бэ в квадрате минус четыре эй цэ». Эта формула произносится вслух при каждом решении — через 20 повторений запоминается автоматически.

Три случая

Случай 1: D > 0 — два различных корня

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Пример. $x^2 - 5x + 6 = 0$

$a = 1$, $b = -5$, $c = 6$

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$

$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$, $x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Проверка теоремой Виета: $x_1 + x_2 = 5 = -b/a$, $x_1 \cdot x_2 = 6 = c/a$. Верно.

Случай 2: D = 0 — один корень (кратный)

$x = \frac{-b}{2a}$

Пример. $x^2 - 6x + 9 = 0$

$D = 36 - 36 = 0$

$x = \frac{6}{2} = 3$

Уравнение имеет один корень $x = 3$ (или два совпадающих корня — это одно и то же в контексте ЕГЭ).

Случай 3: D < 0 — нет вещественных корней

Пример. $x^2 + 2x + 5 = 0$

$D = 4 - 20 = -16 < 0$

Вещественных корней нет. На ЕГЭ профильной математики в ответе пишешь «нет корней» или «нет решений».

Формула для удобного случая: чётное $b$

Если коэффициент $b$ чётный ($b = 2k$), вычисления упрощаются:

$D' = k^2 - ac, \quad x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D'}}{a}$

Пример. $3x^2 - 4x - 4 = 0$, здесь $b = -4$, значит $k = -2$.

$D' = (-2)^2 - 3 \cdot (-4) = 4 + 12 = 16$

$x_1 = \frac{2 + 4}{3} = 2$, $x_2 = \frac{2 - 4}{3} = -\frac{2}{3}$

Это вдвое меньше арифметики по сравнению с полной формулой.

Типичные ошибки при вычислении дискриминанта

Ошибка 1: не учитывать знак коэффициента $b$. Если $b = -5$, то $b^2 = (-5)^2 = 25$, а не $-25$. Квадрат всегда положителен — независимо от знака основания.

Ошибка 2: неверный порядок в $-4ac$. Пишут $4ac$ вместо $4ac$ с правильным знаком. При $c < 0$ слагаемое $-4ac$ становится положительным: $-4 \cdot 1 \cdot (-3) = +12$.

Ошибка 3: забыть привести к стандартному виду. Уравнение $2x^2 = 3x - 1$ нужно сначала записать как $2x^2 - 3x + 1 = 0$. Только тогда правильно выделять $a$, $b$, $c$.

Ошибка 4: потерять $a$ в знаменателе формулы корня. Формула $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ — в знаменателе $2a$, а не просто 2. При $a \neq 1$ ошибка даёт неверный ответ.

Ошибка 5: перепутать «один корень» и «нет корней». При $D = 0$ уравнение имеет корень ($x = -b/2a$). При $D < 0$ — не имеет. Не путай нулевой дискриминант с отрицательным.

Связь с теоремой Виета

По теореме Виета для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$:

$x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = q$

Это удобно для проверки: посчитал корни через дискриминант → быстро проверил сумму и произведение.

Также теорема Виета позволяет решать уравнения без дискриминанта — для «красивых» случаев. Подробнее — в статье теорема Виета для приведённого уравнения.

Дискриминант в задачах с параметром

Дискриминант — ключевой инструмент для задач с параметром типа «при каких $a$ уравнение имеет два корня». Ищешь $D > 0$ по параметру:

Пример. $x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$. При каких $a$ уравнение имеет два различных корня?

$D = 4a^2 - 4(a^2 - 1) = 4a^2 - 4a^2 + 4 = 4 > 0$

Дискриминант всегда положителен — уравнение имеет два корня при любом $a$.

Это полезно также для задач с параметром на ЕГЭ.

Частые вопросы о дискриминанте

Для каких уравнений работает дискриминант?

Только для квадратных — то есть уравнений второй степени вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. Для линейных, кубических и других формула не применяется.

Что если получился дискриминант — дробное число?

Ничего страшного. Если $D = 1/4$, то $\sqrt{D} = 1/2$, и корни будут дробными. Дробный дискриминант — не ошибка.

Можно ли решать квадратные уравнения без дискриминанта?

Да — теоремой Виета (для приведённых уравнений с целыми корнями), выделением полного квадрата, разложением на множители. Но дискриминант — универсален и работает всегда.

Нужно ли доказывать формулу на экзамене?

Нет. Формула дискриминанта — стандартный инструмент, её можно применять без вывода. Главное — правильно выписать коэффициенты.

Как быстро проверить вычисление дискриминанта?

Подставь найденные корни в исходное уравнение и проверь, что равенство выполняется. Это занимает 15–20 секунд и страхует от арифметических ошибок.

Источники

1. ФИПИ. Спецификация ЕГЭ по математике (профильный уровень), 2026.
2. ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ, задания 5, 12, ege.fipi.ru.