Теория вероятностей на ЕГЭ профиль: формулы и разбор задач

В ЕГЭ профиль 2026 года теория вероятностей даёт три задания: №2 (простая, 1 балл), №4 (посложнее, 1 балл) и №5 (условная вероятность или Байес, 1 балл). Это три первичных балла, которые при подготовке за 5–7 дней почти любой школьник может закрыть на 100%. Разберём все формулы и приёмы.

Какие формулы нужны

1. Классическая вероятность

P (A) = \frac{m}{n}

где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — общее число равновозможных. Это базовая формула — почти всё №2 и часть №4 решается через неё.

2. Противоположное событие

P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)

Главный приём: «хотя бы один» через противоположное «ни одного». Если у тебя 5 стрелков, и нужна вероятность «хотя бы один попадёт», проще найти «все промахнулись» ( $q_{1} q_{2} q_{3} q_{4} q_{5}$ ) и вычесть из 1.

3. Сложение вероятностей

Для несовместных: $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Для совместных: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ (включения-исключения).

4. Умножение вероятностей

Для независимых: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .

В общем случае: $P (A \cap B) = P (B) \cdot P (A ∣ B)$ (через условную).

5. Условная вероятность

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

«Вероятность $A$ при условии, что произошло $B$ ». Сразу появляется в задачах вида «дефектная деталь — какова вероятность что от первой фабрики».

6. Формула Бернулли

Если $n$ независимых испытаний с вероятностью успеха $p$ в каждом:

P_{n} (k) = C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

«Стрелок попадает с вероятностью 0,8, делает 5 выстрелов, найти вероятность 3 попаданий» — типичный вопрос.

7. Формула полной вероятности

P (A) = \sum P (B_{i}) \cdot P (A ∣ B_{i})

«Две фабрики, у каждой свой процент брака — найти общий процент брака на сборке».

8. Формула Байеса

P (B_{i} ∣ A) = \frac{P ( B _{i} ) \cdot P ( A ∣ B _{i} )}{P ( A )}

«Деталь оказалась бракованной — какова вероятность что от первой фабрики». Это «обратный» вопрос к полной вероятности.

Разбор №2 — простая вероятность

Условие. В магазине 25 йогуртов, из них 4 с истёкшим сроком. Случайно купили один. Какова вероятность, что он годный?

Решение. Годных $25 - 4 = 21$ . По классической формуле:

P = \frac{21}{25} = 0, 84

Ответ: $0, 84$ .

Задание №2 — почти всегда такая «детская» задача. Проверь себя за 30 секунд, иначе что-то не так.

Разбор №4 — формула Бернулли

Условие. Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,7. Он делает 4 выстрела. Найди вероятность, что попадёт ровно 3 раза.

Решение. $n = 4$ , $k = 3$ , $p = 0, 7$ , $q = 0, 3$ .

P_{4} (3) = C_{4}^{3} \cdot 0, 7^{3} \cdot 0, 3 = 4 \cdot 0, 343 \cdot 0, 3 = 0, 4116

Ответ: $0, 4116$ .

Если не помнишь $C_{4}^{3} = 4$ , считай: $C_{n}^{k} = n! / (k! (n - k)!) = 4! / (3! \cdot 1!) = 4$ .

Разбор №4 — «хотя бы один» через противоположное

Условие. Игральную кость бросают 4 раза. Найти вероятность, что хотя бы раз выпадет шестёрка.

Решение. Через противоположное: «ни разу шестёрка». В одном броске вероятность не-шестёрки $5/6$ . В четырёх независимых: $(5/6)^{4} = 625/1296 \approx 0, 482$ .

$P (хотя бы раз) = 1 - 0, 482 = 0, 518$ .

Ответ: $\approx 0, 518$ .

Разбор №5 — формула Байеса (типичная фабрика)

Условие. Завод закупает у двух фабрик. Фабрика А поставляет 70% деталей с 1% брака. Фабрика Б — 30% деталей с 3% брака. Бракованную деталь нашли на сборке. Какова вероятность, что она с фабрики Б?

Решение. Гипотезы:

$B_{1}$ — деталь от А, $P (B_{1}) = 0, 7$ .
$B_{2}$ — от Б, $P (B_{2}) = 0, 3$ .

Вероятность брака от каждой:

$P (A ∣ B_{1}) = 0, 01$ .
$P (A ∣ B_{2}) = 0, 03$ .

Полная вероятность брака: $P (A) = 0, 7 \cdot 0, 01 + 0, 3 \cdot 0, 03 = 0, 007 + 0, 009 = 0, 016$ .

Байес для Б: $P (B_{2} ∣ A) = \frac{0 , 3 \cdot 0 , 03}{0 , 016} = \frac{0 , 009}{0 , 016} = 0, 5625$ .

Ответ: $0, 5625$ .

До анализа была вероятность 30%, после — 56,25%. Бракованность повышает шанс «фабрики Б», потому что у неё процент брака выше.

Разбор №5 — две урны (полная вероятность)

Условие. В первой урне 4 белых и 6 чёрных шаров, во второй — 1 белый и 4 чёрных. Сначала бросают монету: орёл — берут шар из первой урны, решка — из второй. Найди вероятность вытянуть белый.

Решение. Гипотезы по выбору урны (равновероятно):

$B_{1}$ — первая урна, $P = 0, 5$ .
$B_{2}$ — вторая, $P = 0, 5$ .

Условные:

$P (белый ∣ B_{1}) = 4/10 = 0, 4$ .
$P (белый ∣ B_{2}) = 1/5 = 0, 2$ .

Полная: $P (белый) = 0, 5 \cdot 0, 4 + 0, 5 \cdot 0, 2 = 0, 2 + 0, 1 = 0, 3$ .

Ответ: $0, 3$ .

Что выучить за день перед экзаменом

Если у тебя остался один день, минимальный набор:

Формула классической вероятности $P = m / n$ — для №2.
Формула Бернулли $C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ — для №4.
Прием «через противоположное» — для «хотя бы один».
Полная вероятность $P (A) = \sum P (B_{i}) P (A ∣ B_{i})$ — для №5.
Формула Байеса $P (B_{i} ∣ A) = \frac{P ( B _{i} ) P ( A ∣ B _{i} )}{P ( A )}$ — для «обратного» №5.

Прорешать по 3 задачи каждого типа. Это даёт уверенный 3 балла из 3.

Типичные ошибки

Ошибка 1: путают «хотя бы один» и «ровно один». Это разные вещи.

Ошибка 2: забывают, что испытания должны быть независимы для формулы Бернулли. Если шары достают «без возврата» — это уже не Бернулли.

Ошибка 3: применяют формулу Байеса там, где нужна полная вероятность. «Найти вероятность $A$ » — полная. «При условии $A$ , найти вероятность гипотезы» — Байес.

Ошибка 4: считают $C_{n}^{k}$ через факториалы целиком. Сразу сокращай: $C_{5}^{3} = 5! / (3! \cdot 2!) = (5 \cdot 4) /2 = 10$ .

Ресурсы для подготовки

Учебник Сот: Классическая вероятность, Сложение и умножение, Условная вероятность, Формула Бернулли, Формула Байеса.
Сборник задач ФИПИ: профильные задания №2, 4, 5 за 2024–2025 — отрабатывай по 3 задачи в день.
Адаптивная траектория Сот: автоматически даёт следующее задание по уровню.

Что в итоге

Теория вероятностей — самая «структурированная» тема в ЕГЭ. Семь формул, четыре типа задач, понятная логика. За 5–7 дней при ежедневной практике закрывается на 100%. Главное — не путать «полная vs Байес» и «хотя бы один vs ровно один».

Удачи на экзамене.

Теория вероятностей на ЕГЭ: формулы, типы задач, разборы