Теория вероятностей на ЕГЭ профиль: формулы и разбор задач

В ЕГЭ профиль 2026 года теория вероятностей даёт три задания: №2 (простая, 1 балл), №4 (посложнее, 1 балл) и №5 (условная вероятность или Байес, 1 балл). Это три первичных балла, которые при подготовке за 5–7 дней почти любой школьник может закрыть на 100%. Разберём все формулы и приёмы.

Какие формулы нужны

1. Классическая вероятность

P(A) = \frac{m}{n}

где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — общее число равновозможных. Это базовая формула — почти всё №2 и часть №4 решается через неё.

2. Противоположное событие

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Главный приём: «хотя бы один» через противоположное «ни одного». Если у тебя 5 стрелков, и нужна вероятность «хотя бы один попадёт», проще найти «все промахнулись» ( $q_1 q_2 q_3 q_4 q_5$ ) и вычесть из 1.

3. Сложение вероятностей

Для несовместных: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Для совместных: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ (включения-исключения).

4. Умножение вероятностей

Для независимых: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .

В общем случае: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$ (через условную).

5. Условная вероятность

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

«Вероятность $A$ при условии, что произошло $B$ ». Сразу появляется в задачах вида «дефектная деталь — какова вероятность что от первой фабрики».

6. Формула Бернулли

Если $n$ независимых испытаний с вероятностью успеха $p$ в каждом:

P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

«Стрелок попадает с вероятностью 0,8, делает 5 выстрелов, найти вероятность 3 попаданий» — типичный вопрос.

7. Формула полной вероятности

P(A) = \sum P(B_i) \cdot P(A|B_i)

«Две фабрики, у каждой свой процент брака — найти общий процент брака на сборке».

8. Формула Байеса

P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{P(A)}

«Деталь оказалась бракованной — какова вероятность что от первой фабрики». Это «обратный» вопрос к полной вероятности.

Разбор №2 — простая вероятность

Условие. В магазине 25 йогуртов, из них 4 с истёкшим сроком. Случайно купили один. Какова вероятность, что он годный?

Решение. Годных $25 - 4 = 21$ . По классической формуле:

P = \frac{21}{25} = 0{,}84

Ответ: $0{,}84$ .

Задание №2 — почти всегда такая «детская» задача. Проверь себя за 30 секунд, иначе что-то не так.

Разбор №4 — формула Бернулли

Условие. Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,7. Он делает 4 выстрела. Найди вероятность, что попадёт ровно 3 раза.

Решение. $n = 4$ , $k = 3$ , $p = 0{,}7$ , $q = 0{,}3$ .

P_4(3) = C_4^3 \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3 = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 = 0{,}4116

Ответ: $0{,}4116$ .

Если не помнишь $C_4^3 = 4$ , считай: $C_n^k = n!/(k!(n-k)!) = 4!/(3! \cdot 1!) = 4$ .

Разбор №4 — «хотя бы один» через противоположное

Условие. Игральную кость бросают 4 раза. Найти вероятность, что хотя бы раз выпадет шестёрка.

Решение. Через противоположное: «ни разу шестёрка». В одном броске вероятность не-шестёрки $5/6$ . В четырёх независимых: $(5/6)^4 = 625/1296 \approx 0{,}482$ .

$P(\text{хотя бы раз}) = 1 - 0{,}482 = 0{,}518$ .

Ответ: $\approx 0{,}518$ .

Разбор №5 — формула Байеса (типичная фабрика)

Условие. Завод закупает у двух фабрик. Фабрика А поставляет 70% деталей с 1% брака. Фабрика Б — 30% деталей с 3% брака. Бракованную деталь нашли на сборке. Какова вероятность, что она с фабрики Б?

Решение. Гипотезы:

$B_1$ — деталь от А, $P(B_1) = 0{,}7$ .
$B_2$ — от Б, $P(B_2) = 0{,}3$ .

Вероятность брака от каждой:

$P(A|B_1) = 0{,}01$ .
$P(A|B_2) = 0{,}03$ .

Полная вероятность брака: $P(A) = 0{,}7 \cdot 0{,}01 + 0{,}3 \cdot 0{,}03 = 0{,}007 + 0{,}009 = 0{,}016$ .

Байес для Б: $P(B_2|A) = \dfrac{0{,}3 \cdot 0{,}03}{0{,}016} = \dfrac{0{,}009}{0{,}016} = 0{,}5625$ .

Ответ: $0{,}5625$ .

До анализа была вероятность 30%, после — 56,25%. Бракованность повышает шанс «фабрики Б», потому что у неё процент брака выше.

Разбор №5 — две урны (полная вероятность)

Условие. В первой урне 4 белых и 6 чёрных шаров, во второй — 1 белый и 4 чёрных. Сначала бросают монету: орёл — берут шар из первой урны, решка — из второй. Найди вероятность вытянуть белый.

Решение. Гипотезы по выбору урны (равновероятно):

$B_1$ — первая урна, $P = 0{,}5$ .
$B_2$ — вторая, $P = 0{,}5$ .

Условные:

$P(\text{белый}|B_1) = 4/10 = 0{,}4$ .
$P(\text{белый}|B_2) = 1/5 = 0{,}2$ .

Полная: $P(\text{белый}) = 0{,}5 \cdot 0{,}4 + 0{,}5 \cdot 0{,}2 = 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3$ .

Ответ: $0{,}3$ .

Что выучить за день перед экзаменом

Если у тебя остался один день, минимальный набор:

Формула классической вероятности $P = m/n$ — для №2.
Формула Бернулли $C_n^k p^k q^{n-k}$ — для №4.
Прием «через противоположное» — для «хотя бы один».
Полная вероятность $P(A) = \sum P(B_i) P(A|B_i)$ — для №5.
Формула Байеса $P(B_i|A) = \frac{P(B_i) P(A|B_i)}{P(A)}$ — для «обратного» №5.

Прорешать по 3 задачи каждого типа. Это даёт уверенный 3 балла из 3.

Типичные ошибки

Ошибка 1: путают «хотя бы один» и «ровно один». Это разные вещи.

Ошибка 2: забывают, что испытания должны быть независимы для формулы Бернулли. Если шары достают «без возврата» — это уже не Бернулли.

Ошибка 3: применяют формулу Байеса там, где нужна полная вероятность. «Найти вероятность $A$ » — полная. «При условии $A$ , найти вероятность гипотезы» — Байес.

Ошибка 4: считают $C_n^k$ через факториалы целиком. Сразу сокращай: $C_5^3 = 5!/(3! \cdot 2!) = (5 \cdot 4)/2 = 10$ .

Ресурсы для подготовки

Учебник Сот: Классическая вероятность, Сложение и умножение, Условная вероятность, Формула Бернулли, Формула Байеса.
Сборник задач ФИПИ: профильные задания №2, 4, 5 за 2024–2025 — отрабатывай по 3 задачи в день.
Адаптивная траектория Сот: автоматически даёт следующее задание по уровню.

Что в итоге

Теория вероятностей — самая «структурированная» тема в ЕГЭ. Семь формул, четыре типа задач, понятная логика. За 5–7 дней при ежедневной практике закрывается на 100%. Главное — не путать «полная vs Байес» и «хотя бы один vs ровно один».

Удачи на экзамене.

Теория вероятностей на ЕГЭ: формулы, типы задач, разборы