Производная и её применение на ЕГЭ: полный гайд

Производная — один из главных инструментов профильного ЕГЭ. Задание 7 напрямую проверяет знание правил дифференцирования, задание 9 — физический смысл, задание 11 — исследование функции. Суммарно три задания за правильное применение производной дают 3 первичных балла в части 1. А задание 17 в части 2, где нужно найти экстремум или доказать монотонность, — ещё 4. Разберём полностью.

Что такое производная: смысл без зубрёжки

Производная $f^{\prime }(x)$ — это скорость изменения функции $f(x)$ в точке $x$.

Геометрически: $f^{\prime }(x_0)$ — угловой коэффициент касательной к графику $y=f(x)$ в точке $(x_0,f(x_0))$.

Физически: если $s(t)$ — путь как функция времени, то $s^{\prime }(t)=v(t)$ — мгновенная скорость. Если $v(t)$ — скорость, то $v^{\prime }(t)=a(t)$ — ускорение.

Именно физический смысл проверяет задание 9: «найти скорость в момент $t=2$» или «найти момент времени, когда ускорение равно нулю».

Таблица производных: что нужно знать наизусть

Эта таблица — основа задания 7. Плюс нужно знать три правила.

Правила дифференцирования

Линейность

$(cf{)}^{\prime }=c\cdot f^{\prime },(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$

$(\alpha f+\beta g{)}^{\prime }=\alpha f^{\prime }+\beta g^{\prime }$

Пример. $(3x^2-5x+7{)}^{\prime }=6x-5$.

Произведение

$(f\cdot g{)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }$

Пример. $(x^2\cdot e^x{)}^{\prime }=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x=e^x(2x+x^2)$.

Частное

${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }\cdot g-f\cdot g^{\prime }}{g^2}$

Пример. ${\left(\frac{x}{x+1}\right)}^{\prime }=\frac{1\cdot (x+1)-x\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x+1{)}^2}$.

Сложная функция (цепное правило)

$(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

Пример. $(\sin (3x^2){)}^{\prime }=\cos (3x^2)\cdot 6x=6x\cos (3x^2)$.

Задание 7 почти всегда — это одно из трёх: производная суммы, произведения или сложной функции. Иногда комбинация.

Задание 7: как решать за 60 секунд

Задание 7 — найти производную в точке или найти значение, при котором производная равна нулю / заданному числу.

Алгоритм:

1. Найти $f^{\prime }(x)$ по правилам.
2. Подставить нужное $x$ или решить уравнение $f^{\prime }(x)=k$.

Пример. Найти значение производной функции $f(x)=2x^3-3x^2+1$ в точке $x=2$.

$f^{\prime }(x)=6x^2-6x$

$f^{\prime }(2)=6\cdot 4-6\cdot 2=24-12=12$.

Ответ: 12.

Задание 9: физический смысл

Задание 9 — стандартный физический контекст. Чаще всего: движение точки по прямой, закон $s(t)$. Спрашивают скорость или ускорение в момент $t=t_0$, или момент, когда скорость равна нулю, или направление движения.

Стратегия:

• Скорость: $v(t)=s^{\prime }(t)$
• Ускорение: $a(t)=v^{\prime }(t)=s^{\prime \prime }(t)$
• Скорость равна нулю: решить $s^{\prime }(t)=0$
• Тело движется вправо: $s^{\prime }(t)>0$; влево: $s^{\prime }(t)<0$

Пример. Закон движения: $s(t)=t^3-6t^2+9t$. В какой момент времени тело остановилось?

$v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-12t+9$

$3t^2-12t+9=0\Rightarrow t^2-4t+3=0$

$t=1$ или $t=3$.

Ответ: в моменты $t=1$ с и $t=3$ с.

Задание 11: исследование функции

Задание 11 — самое объёмное из трёх. Нужно исследовать функцию на монотонность, найти экстремумы по графику или аналитически.

Монотонность

• $f^{\prime }(x)>0$ на интервале → функция возрастает
• $f^{\prime }(x)<0$ на интервале → функция убывает

Алгоритм:

1. Найти $f^{\prime }(x)$.
2. Найти нули $f^{\prime }(x)=0$.
3. Определить знак $f^{\prime }(x)$ на каждом промежутке (таблица знаков).
4. Написать промежутки возрастания и убывания.

Пример. Найти промежутки монотонности функции $f(x)=x^3-3x$.

$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$

Нули: $x=-1$ и $x=1$.

Таблица знаков:

• $x<-1$: оба множителя отрицательные → $f^{\prime }(x)>0$ → возрастает
• $-1<x<1$: первый отрицательный, второй положительный → $f^{\prime }(x)<0$ → убывает
• $x>1$: оба положительные → $f^{\prime }(x)>0$ → возрастает

Экстремумы

Необходимое условие: в точке экстремума $f^{\prime }(x_0)=0$ (или $f^{\prime }(x_0)$ не существует).

Достаточное условие (первый признак): если $f^{\prime }(x)$ меняет знак с «+» на «−» при переходе через $x_0$ → минимум. С «−» на «+» → максимум.

Из примера выше:

• $x=-1$: знак $f^{\prime }$ меняется с «+» на «−» → максимум. $f(-1)=-1+3=2$.
• $x=1$: знак $f^{\prime }$ меняется с «−» на «+» → минимум. $f(1)=1-3=-2$.

Вторая производная и задание 11

Иногда задание 11 требует найти точки перегиба или определить характер экстремума через вторую производную.

Второй признак экстремума: если $f^{\prime }(x_0)=0$ и $f^{\prime \prime }(x_0)>0$ → минимум; если $f^{\prime \prime }(x_0)<0$ → максимум.

Точки перегиба: где $f^{\prime \prime }(x)=0$ и знак $f^{\prime \prime }$ меняется.

Это нужнее для задания 17 в части 2, но иногда всплывает и в задании 11.

Производная в задании 17: стратегия

Задание 17 — «найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке».

Алгоритм:

1. Найти $f^{\prime }(x)$.
2. Решить $f^{\prime }(x)=0$ — найти критические точки на отрезке $[a;b]$.
3. Вычислить $f$ в критических точках и на концах отрезка ($f(a)$ и $f(b)$).
4. Наибольшее/наименьшее — среди этих значений.

Важно: не забыть проверить концы отрезка. Ошибка «забыл про концы» — одна из самых частых в задании 17 (ФИПИ, 2025).

Уравнение касательной к графику

Касательная к графику $y=f(x)$ в точке $x_0$ — прямая вида:

$y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

Задание 7 иногда формулируется именно так: «найти уравнение касательной» или «найти точку, в которой касательная параллельна прямой $y=kx+b$».

Алгоритм:

1. Найти $f^{\prime }(x)$.
2. Условие параллельности: $f^{\prime }(x_0)=k$ (угловые коэффициенты равны).
3. Решить уравнение относительно $x_0$.
4. Найти $f(x_0)$.
5. Подставить в формулу касательной.

Пример. Найти точку на графике $f(x)=x^3-3x$, в которой касательная параллельна прямой $y=9x-1$.

$f^{\prime }(x)=3x^2-3=9\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$

При $x=2$: $f(2)=8-6=2$. При $x=-2$: $f(-2)=-8+6=-2$.

Касательные: $y=9(x-2)+2=9x-16$ и $y=9(x+2)-2=9x+16$.

Типичные ошибки

Ошибка 1: забыть производную сложной функции. $(\sin (3x){)}^{\prime }\ne \cos (3x)$. Правильно: $3\cos (3x)$. Внешняя производная умножается на внутреннюю.

Ошибка 2: знак при производной косинуса. $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$, не $\sin x$. Минус — важен.

Ошибка 3: пропустить критические точки на границах ОДЗ. Если $f^{\prime }(x)$ не существует в какой-то точке (например, $x=0$ для $\sqrt{x}$) — эта точка тоже может быть экстремумом.

Ошибка 4: не проверить знак производной, а взять вторую производную «наудачу». Второй признак не работает при $f^{\prime \prime }(x_0)=0$. В этом случае нужен первый признак.

Ошибка 5: перепутать максимум и минимум по таблице знаков. Минимум — когда производная меняет знак с «минус» на «плюс» (функция переставала убывать и начала возрастать). Максимум — с «плюс» на «минус».

Смотри также задание 13: тригонометрия и все формулы ЕГЭ.

Частые вопросы о производной на ЕГЭ

Нужно ли доказывать формулу производной на экзамене?

Нет. Все формулы из таблицы производных принимаются без доказательства. Записываешь сразу результат.

Можно ли пользоваться справочником с формулами производных на ЕГЭ?

Да, в ЕГЭ выдают справочные материалы, но производные в них не включены. Нужно знать наизусть — особенно тригонометрические и показательно-логарифмические (ФИПИ, 2026).

Что делать, если производная в задании 11 не берётся?

Перепроверь порядок применения правил: сначала суммы, потом произведения, потом цепочки. Часто ошибка — в знаке при раскрытии скобок или в порядке правила частного.

Как запомнить таблицу производных?

Лучше всего — через регулярную практику. Пиши производную «на автомате» при каждом решении задачи. Через 30–40 задач таблица запомнится без специальной зубрёжки.

Влияет ли ошибка в задании 7 на другие задания?

Нет — в части 1 задания независимы. Ошибка в 7 не «тянет» за собой 9 или 11.

Источники

1. ФИПИ. Спецификация ЕГЭ по математике (профильный уровень), 2026.
2. ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ, задания 7, 9, 11, ege.fipi.ru.