Производная и её применение на ЕГЭ: полный гайд

Производная — один из главных инструментов профильного ЕГЭ. Задание 7 напрямую проверяет знание правил дифференцирования, задание 9 — физический смысл, задание 11 — исследование функции. Суммарно три задания за правильное применение производной дают 3 первичных балла в части 1. А задание 17 в части 2, где нужно найти экстремум или доказать монотонность, — ещё 4. Разберём полностью.

Что такое производная: смысл без зубрёжки

Производная $f'(x)$ — это скорость изменения функции $f(x)$ в точке $x$.

Геометрически: $f'(x_0)$ — угловой коэффициент касательной к графику $y = f(x)$ в точке $(x_0, f(x_0))$.

Физически: если $s(t)$ — путь как функция времени, то $s'(t) = v(t)$ — мгновенная скорость. Если $v(t)$ — скорость, то $v'(t) = a(t)$ — ускорение.

Именно физический смысл проверяет задание 9: «найти скорость в момент $t = 2$» или «найти момент времени, когда ускорение равно нулю».

Таблица производных: что нужно знать наизусть

Эта таблица — основа задания 7. Плюс нужно знать три правила.

Правила дифференцирования

Линейность

$(cf)' = c \cdot f', \quad (f + g)' = f' + g'$

$(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g'$

Пример. $(3x^2 - 5x + 7)' = 6x - 5$.

Произведение

$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$

Пример. $(x^2 \cdot e^x)' = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x(2x + x^2)$.

Частное

$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$

Пример. $\left(\frac{x}{x+1}\right)' = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.

Сложная функция (цепное правило)

$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Пример. $(\sin(3x^2))' = \cos(3x^2) \cdot 6x = 6x\cos(3x^2)$.

Задание 7 почти всегда — это одно из трёх: производная суммы, произведения или сложной функции. Иногда комбинация.

Задание 7: как решать за 60 секунд

Задание 7 — найти производную в точке или найти значение, при котором производная равна нулю / заданному числу.

Алгоритм:

1. Найти $f'(x)$ по правилам.
2. Подставить нужное $x$ или решить уравнение $f'(x) = k$.

Пример. Найти значение производной функции $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$ в точке $x = 2$.

$f'(x) = 6x^2 - 6x$

$f'(2) = 6 \cdot 4 - 6 \cdot 2 = 24 - 12 = 12$.

Ответ: 12.

Задание 9: физический смысл

Задание 9 — стандартный физический контекст. Чаще всего: движение точки по прямой, закон $s(t)$. Спрашивают скорость или ускорение в момент $t = t_0$, или момент, когда скорость равна нулю, или направление движения.

Стратегия:

• Скорость: $v(t) = s'(t)$
• Ускорение: $a(t) = v'(t) = s''(t)$
• Скорость равна нулю: решить $s'(t) = 0$
• Тело движется вправо: $s'(t) > 0$; влево: $s'(t) < 0$

Пример. Закон движения: $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$. В какой момент времени тело остановилось?

$v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$

$3t^2 - 12t + 9 = 0 \Rightarrow t^2 - 4t + 3 = 0$

$t = 1$ или $t = 3$.

Ответ: в моменты $t = 1$ с и $t = 3$ с.

Задание 11: исследование функции

Задание 11 — самое объёмное из трёх. Нужно исследовать функцию на монотонность, найти экстремумы по графику или аналитически.

Монотонность

• $f'(x) > 0$ на интервале → функция возрастает
• $f'(x) < 0$ на интервале → функция убывает

Алгоритм:

1. Найти $f'(x)$.
2. Найти нули $f'(x) = 0$.
3. Определить знак $f'(x)$ на каждом промежутке (таблица знаков).
4. Написать промежутки возрастания и убывания.

Пример. Найти промежутки монотонности функции $f(x) = x^3 - 3x$.

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

Нули: $x = -1$ и $x = 1$.

Таблица знаков:

• $x < -1$: оба множителя отрицательные → $f'(x) > 0$ → возрастает
• $-1 < x < 1$: первый отрицательный, второй положительный → $f'(x) < 0$ → убывает
• $x > 1$: оба положительные → $f'(x) > 0$ → возрастает

Экстремумы

Необходимое условие: в точке экстремума $f'(x_0) = 0$ (или $f'(x_0)$ не существует).

Достаточное условие (первый признак): если $f'(x)$ меняет знак с «+» на «−» при переходе через $x_0$ → минимум. С «−» на «+» → максимум.

Из примера выше:

• $x = -1$: знак $f'$ меняется с «+» на «−» → максимум. $f(-1) = -1 + 3 = 2$.
• $x = 1$: знак $f'$ меняется с «−» на «+» → минимум. $f(1) = 1 - 3 = -2$.

Вторая производная и задание 11

Иногда задание 11 требует найти точки перегиба или определить характер экстремума через вторую производную.

Второй признак экстремума: если $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0) > 0$ → минимум; если $f''(x_0) < 0$ → максимум.

Точки перегиба: где $f''(x) = 0$ и знак $f''$ меняется.

Это нужнее для задания 17 в части 2, но иногда всплывает и в задании 11.

Производная в задании 17: стратегия

Задание 17 — «найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке».

Алгоритм:

1. Найти $f'(x)$.
2. Решить $f'(x) = 0$ — найти критические точки на отрезке $[a; b]$.
3. Вычислить $f$ в критических точках и на концах отрезка ($f(a)$ и $f(b)$).
4. Наибольшее/наименьшее — среди этих значений.

Важно: не забыть проверить концы отрезка. Ошибка «забыл про концы» — одна из самых частых в задании 17 (ФИПИ, 2025).

Уравнение касательной к графику

Касательная к графику $y = f(x)$ в точке $x_0$ — прямая вида:

$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$

Задание 7 иногда формулируется именно так: «найти уравнение касательной» или «найти точку, в которой касательная параллельна прямой $y = kx + b$».

Алгоритм:

1. Найти $f'(x)$.
2. Условие параллельности: $f'(x_0) = k$ (угловые коэффициенты равны).
3. Решить уравнение относительно $x_0$.
4. Найти $f(x_0)$.
5. Подставить в формулу касательной.

Пример. Найти точку на графике $f(x) = x^3 - 3x$, в которой касательная параллельна прямой $y = 9x - 1$.

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 9 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

При $x = 2$: $f(2) = 8 - 6 = 2$. При $x = -2$: $f(-2) = -8 + 6 = -2$.

Касательные: $y = 9(x - 2) + 2 = 9x - 16$ и $y = 9(x + 2) - 2 = 9x + 16$.

Типичные ошибки

Ошибка 1: забыть производную сложной функции. $(\sin(3x))' \neq \cos(3x)$. Правильно: $3\cos(3x)$. Внешняя производная умножается на внутреннюю.

Ошибка 2: знак при производной косинуса. $(\cos x)' = -\sin x$, не $\sin x$. Минус — важен.

Ошибка 3: пропустить критические точки на границах ОДЗ. Если $f'(x)$ не существует в какой-то точке (например, $x = 0$ для $\sqrt{x}$) — эта точка тоже может быть экстремумом.

Ошибка 4: не проверить знак производной, а взять вторую производную «наудачу». Второй признак не работает при $f''(x_0) = 0$. В этом случае нужен первый признак.

Ошибка 5: перепутать максимум и минимум по таблице знаков. Минимум — когда производная меняет знак с «минус» на «плюс» (функция переставала убывать и начала возрастать). Максимум — с «плюс» на «минус».

Смотри также задание 13: тригонометрия и все формулы ЕГЭ.

Частые вопросы о производной на ЕГЭ

Нужно ли доказывать формулу производной на экзамене?

Нет. Все формулы из таблицы производных принимаются без доказательства. Записываешь сразу результат.

Можно ли пользоваться справочником с формулами производных на ЕГЭ?

Да, в ЕГЭ выдают справочные материалы, но производные в них не включены. Нужно знать наизусть — особенно тригонометрические и показательно-логарифмические (ФИПИ, 2026).

Что делать, если производная в задании 11 не берётся?

Перепроверь порядок применения правил: сначала суммы, потом произведения, потом цепочки. Часто ошибка — в знаке при раскрытии скобок или в порядке правила частного.

Как запомнить таблицу производных?

Лучше всего — через регулярную практику. Пиши производную «на автомате» при каждом решении задачи. Через 30–40 задач таблица запомнится без специальной зубрёжки.

Влияет ли ошибка в задании 7 на другие задания?

Нет — в части 1 задания независимы. Ошибка в 7 не «тянет» за собой 9 или 11.

Источники

1. ФИПИ. Спецификация ЕГЭ по математике (профильный уровень), 2026.
2. ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ, задания 7, 9, 11, ege.fipi.ru.