Объёмы тел вращения: цилиндр, конус, шар, усечённый конус

В задании 3 ЕГЭ профиль тела вращения — одна из четырёх основных тем (наряду с пирамидой, призмой и параллелепипедом). Формул немного, и они интуитивны, если знать связи через осевое сечение. Разбираем.

Какие тела вращения

Тело вращения — это тело, образованное вращением плоской фигуры вокруг оси.

Формулы объёмов

Где $R$ — радиус основания, $h$ — высота, $R_1, R_2$ — радиусы оснований усечённого конуса.

Формулы поверхностей

Где $l$ — образующая (для конуса: $l = \sqrt{h^2 + R^2}$).

Осевые сечения — упрощают понимание

Цилиндр: осевое сечение — прямоугольник $2R \times h$. Площадь сечения: $2Rh$.

Конус: осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием $2R$ и высотой $h$. Площадь сечения: $Rh$ (а не $2Rh$, потому что это треугольник, не прямоугольник).

Шар: осевое сечение — круг радиуса $R$. Площадь: $\pi R^2$ (большой круг шара).

Через осевое сечение часто проще «увидеть» геометрию задачи. В частности, для конуса связь $l^2 = h^2 + R^2$ — это теорема Пифагора в равнобедренном треугольнике осевого сечения.

Задача 1: объём цилиндра

Условие. Цилиндр имеет радиус 3 и высоту 5. Найди объём.

Решение. $V = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45 \pi$.

Ответ: $45 \pi \approx 141{,}4$.

Задача 2: объём конуса через образующую

Условие. Конус с радиусом 4 и образующей 5. Найди объём.

Решение. Высота: $h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$.

Ответ: $16 \pi$.

Задача 3: объём шара

Условие. Шар имеет радиус 6. Найди объём.

Решение. $V = \dfrac{4}{3} \pi \cdot 216 = 288 \pi$.

Ответ: $288 \pi$.

Задача 4: радиус шара по объёму

Условие. Объём шара $\dfrac{500\pi}{3}$. Найди радиус.

Решение. $\dfrac{4}{3} \pi R^3 = \dfrac{500\pi}{3} \Rightarrow R^3 = 125 \Rightarrow R = 5$.

Ответ: $R = 5$.

Задача 5: усечённый конус

Условие. Сосуд имеет форму усечённого конуса. Радиусы оснований 4 и 2, высота 6. Найди объём.

Решение.

Ответ: $56 \pi$.

Задача 6: «двойной» вопрос

Условие. Цилиндр и конус имеют одинаковые основания (радиус 3) и одинаковую высоту (4). Во сколько раз объём цилиндра больше объёма конуса?

Решение. Из формулы: $V_{цил} = 3 V_{кон}$ всегда, при одинаковом основании и высоте. Множитель $\dfrac{1}{3}$ в формуле конуса даёт ответ.

Ответ: в 3 раза.

Связи $h$, $R$, $l$ для конуса

Используется когда даны два из трёх, нужно найти третий.

• $h$ дано, $R$ дано → $l = \sqrt{h^2 + R^2}$.
• $l$ дано, $R$ дано → $h = \sqrt{l^2 - R^2}$.
• $l$ дано, $h$ дано → $R = \sqrt{l^2 - h^2}$.

Когда тело вписано / описано

Шар, вписанный в куб с ребром $a$: касается всех 6 граней, радиус $R = a/2$.

Шар, описанный вокруг куба: проходит через все 8 вершин, радиус $R = a\sqrt{3}/2$ (половина пространственной диагонали).

Шар, вписанный в цилиндр: касается обоих оснований и боковой поверхности. Возможно если $h = 2R$ (квадратное осевое сечение). Радиус шара = $R$ цилиндра.

Шар, описанный вокруг конуса: требует специального построения, формулы зависят от типа конуса.

Алгоритм работы с №3 на тела вращения

1. Определи тело (цилиндр / конус / шар / усечённый).
2. Запиши известные параметры.
3. Если нужно объём — прямая подстановка в формулу.
4. Если параметр не дан — используй $l^2 = h^2 + R^2$ или другие связи.
5. Если задача про осевое сечение — переведи в плоскую геометрию.

Типичные ошибки

Ошибка 1: забывают $\pi$ в формулах. Все тела вращения содержат $\pi$. Без него ответ в разы меньше.

Ошибка 2: путают $R$ и $d$ (диаметр). Если дан диаметр, надо его пополам, прежде чем подставить как $R$.

Ошибка 3: для конуса считают $V = \pi R^2 h$. Это формула цилиндра. Конус: $V = \dfrac{\pi R^2 h}{3}$.

Ошибка 4: путают образующую $l$ и высоту $h$. Это разные величины! $l > h$ всегда (кроме вырожденного случая, когда $R = 0$, конус — это «отрезок»).

Ошибка 5: для шара считают $S = \pi R^2$. Это площадь большого круга. Площадь сферы: $S = 4\pi R^2$.

Почему у конуса именно «деление на три»

Множитель одна треть в формуле конуса смущает многих: цилиндр и конус с одинаковым основанием и высотой выглядят похоже, а объёмы различаются втрое. Запомнить это легче, если понять, откуда берётся тройка.

Представь цилиндр и вписанный в него конус с тем же основанием и той же высотой. Конус как будто «срезан» от полного цилиндра к одной точке — вершине. Интуитивно ясно, что он занимает меньше места, чем цилиндр, но насколько именно — на глаз не угадаешь. Точное соотношение «ровно в три раза меньше» доказывается в курсе стереометрии и одинаково для любого конуса, независимо от размеров.

Эта же тройка работает в паре «призма и пирамида»: пирамида с тем же основанием и высотой, что у призмы, имеет втрое меньший объём. Связь не случайна — конус это, по сути, пирамида с круглым основанием, а цилиндр — призма с круглым основанием. Поэтому, если ты запомнил одну пару, вторую можно не заучивать отдельно: правило «тело с наклонными к одной вершине боками в три раза меньше тела с прямыми боками» едино для всей стереометрии.

Держа это в голове, ты никогда не перепутаешь, где ставить одну треть, а где нет: у цилиндра и призмы (прямые бока) множителя нет, у конуса и пирамиды (сходятся в вершину) — есть.

Ресурсы

• Учебник Сот: Цилиндр, Конус, Сфера и шар, Объём шара, Осевое сечение конуса и цилиндра.
• Сборник задач: ФИПИ профиль №3 за 2024–2025 — задачи на тела вращения.

Что в итоге

Тела вращения — стабильная часть №3 ЕГЭ. Четыре главные формулы и связь $l^2 = h^2 + R^2$ для конуса закрывают почти все задачи. За неделю при ежедневной практике эта тема даёт уверенный 1 первичный балл.

Удачи на экзамене.