В чём разница между сочетаниями и размещениями?

Размещения учитывают порядок: «выбрали Иван-Маша-Петя» и «Маша-Иван-Петя» — разные размещения. Сочетания не учитывают порядок: то же трио — это одно сочетание. Формулы: $A_n^k = n!/(n-k)!$, $C_n^k = n!/(k!(n-k)!)$.

Когда задача про сочетания, а когда про размещения?

Если в условии «команда / группа / комитет / выборка» — обычно сочетания. Если «распределить роли / места / должности», или «один за другим / по очереди» — размещения. Главный вопрос: имеет ли значение порядок?

Почему $A_n^k = C_n^k \cdot k!$?

Любое сочетание из $k$ элементов можно упорядочить $k!$ способами. То есть размещений в $k!$ раз больше, чем сочетаний. Поэтому $A_n^k = C_n^k \cdot k!$.

Что такое $C_n^0$?

$C_n^0 = 1$. Это число способов «не выбрать ни одного» — ровно один такой способ (пустое подмножество).

Как считать $C_n^k$ без калькулятора?

Раскрыть как $\dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}$. Например, $C_8^3 = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3!} = \dfrac{336}{6} = 56$. Главное — не считать $n!$ и $(n-k)!$ полностью, а сократить.

Что такое сочетания с повторениями?

Когда выбираем $k$ предметов из $n$ типов, причём один и тот же тип можно брать многократно. Формула: $\bar{C}_n^k = C_{n+k-1}^k$. В ЕГЭ профиль встречается реже стандартных $C_n^k$.

Сочетания и размещения: разница и формулы

В задаче «выбрать команду из 5 человек» порядок не важен — это сочетания. В задаче «распределить золото, серебро, бронзу среди 5 финалистов» — важен. Это размещения. Простое отличие, но в задачах ЕГЭ его регулярно путают, и ответ оказывается в 6 (или больше) раз неверным. Разберём по шагам, как никогда не ошибаться.

Главный вопрос: важен ли порядок?

В задачах на выбор $k$ предметов из $n$ всё сводится к одному:

Меняется ли результат, если поменять выбранные предметы местами?

Да, меняется → размещения. Каждый порядок — новый вариант.
Нет, не меняется → сочетания. Все порядки одного набора — один вариант.

Если ответ «да» — формула:

A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)

Если ответ «нет» — формула:

C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Связь: $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ (потому что любое сочетание упорядочивается $k!$ способами).

Откуда берутся формулы

Размещения

«Выбираем $k$ предметов из $n$ , порядок важен.» Думаем по шагам:

На первое место — $n$ вариантов.
На второе место — $n - 1$ (один уже занят).
На третье место — $n - 2$ .
...
На $k$ -е место — $n - k + 1$ .

По правилу умножения:

A_{n}^{k} = n (n - 1) (n - 2) \dots (n - k + 1)

Это $k$ множителей, начиная с $n$ , каждый на 1 меньше предыдущего.

В компактной форме: $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ — потому что числитель = $n!$ , а в нём есть лишний хвост $(n - k)!$ , который нужно сократить.

Сочетания

«Выбираем $k$ предметов из $n$ , порядок не важен.»

Если бы порядок был важен, было бы $A_{n}^{k}$ способов. Но любое одно «сочетание» (один набор без порядка) встречается среди размещений ровно $k!$ раз — столько способов упорядочить $k$ предметов. Делим:

C_{n}^{k} = \frac{A _{n}^{k}}{k !} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Таблица сравнения

Свойство	Размещения $A_{n}^{k}$	Сочетания $C_{n}^{k}$
Порядок важен?	Да	Нет
Формула	$\frac{n !}{( n - k )!}$	$\frac{n !}{k ! ( n - k )!}$
Связь	$A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$	$C_{n}^{k} = A_{n}^{k} / k!$
Маркеры в задаче	«распределить роли», «по очереди», «занять места», «по порядку»	«выбрать команду / группу / комитет», «выборка», «вытащить $k$ шаров»

Пример 1: команда vs распределение ролей

Условие. В классе 12 учеников. Сравним два случая: (а) Сколько способов выбрать команду из 4 человек для соревнования? (б) Сколько способов распределить 4 роли (капитан, нападающий, защитник, вратарь) среди этих 12?

Решение.

(а) Команда — порядок не важен. Сочетания.

C_{12}^{4} = \frac{12 !}{4 ! \cdot 8 !} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 !} = \frac{11 880}{24} = 495

(б) Роли — порядок важен. Размещения.

A_{12}^{4} = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 = 11880

Заметь: $A_{12}^{4} = C_{12}^{4} \cdot 4! = 495 \cdot 24 = 11880$ . Связь работает.

Ответы: (а) $495$ , (б) $11880$ .

Пример 2: вытащили шары

Условие. В коробке 20 шаров: 10 белых и 10 чёрных. Сколько способов вытащить 3 шара одновременно?

Решение. «Одновременно» — порядок не важен. Сочетания.

C_{20}^{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6} = \frac{6 840}{6} = 1140

Ответ: $1140$ .

Пример 3: сколько вариантов из колоды

Условие. Из колоды 36 карт по очереди достают 4 карты. Сколько различных последовательностей?

Решение. «По очереди» — порядок важен. Размещения.

A_{36}^{4} = 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 = 1413720

Ответ: $1413720$ .

Пример 4: вероятность через сочетания

Условие. В коробке 8 шаров: 5 белых и 3 чёрных. Достают 3 шара одновременно. Найди вероятность, что среди них ровно 2 белых.

Решение.

Общее число способов выбрать 3 шара из 8: $C_{8}^{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56$ .

Благоприятные: 2 белых из 5 ( $C_{5}^{2} = 10$ ) и 1 чёрный из 3 ( $C_{3}^{1} = 3$ ). По правилу умножения: $10 \cdot 3 = 30$ .

P = \frac{30}{56} = \frac{15}{28} \approx 0, 536

Ответ: $\frac{15}{28}$ .

Здесь сочетания работают и в числителе, и в знаменателе — так как «достать 3 шара одновременно» не различает порядок ни в общем числе, ни в благоприятных. Если бы выбирали по очереди (с учётом порядка), пришлось бы и числитель, и знаменатель пересчитывать через размещения — но ответ был бы тот же (множители $3!$ сократятся).

Пример 5: расписание

Условие. В расписании выходного дня нужно выбрать 5 фильмов из 12 имеющихся, причём порядок показа важен. Сколько вариантов расписания?

Решение. Порядок важен — размещения.

A_{12}^{5} = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 = 95040

Ответ: $95040$ .

Пример 6: «капкан» с двумя задачами

Условие. Из 7 дозоров надо выбрать 3 для патрулирования участков А, Б и В (каждый дозор в одном участке). Сколько вариантов?

Решение. Тут важно то, что участки разные. Если бы выбрали троих и направили «куда-то» — было бы $C_{7}^{3} = 35$ (сочетания). Но тут мы их ещё распределяем по участкам, и распределение важно.

Можно решить двумя способами.

Способ 1. Сразу размещения: 7 вариантов на участок А, 6 на Б, 5 на В.

A_{7}^{3} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210

Способ 2. Сначала команду, потом распределение: $C_{7}^{3} \cdot 3! = 35 \cdot 6 = 210$ .

Оба способа дают одинаковый ответ. Ответ: $210$ .

Этот пример показывает: когда роли/места различаются — это размещения, даже если на первом шаге формулировка похожа на «выбрать команду».

Алгоритм выбора формулы

Прочитай условие, выпиши $n$ (всего предметов) и $k$ (выбираем).
Спроси себя: «Если поменять местами выбранные, считается ли это другим вариантом?».
- Да → $A_{n}^{k}$ .
- Нет → $C_{n}^{k}$ .
Подставь в формулу. Сократи факториалы.

Если в условии явно сказано «без учёта порядка», «команда», «группа» — сочетания. Если «распределить роли / места / должности», «по порядку», «один за другим с конкретными местами» — размещения.

Перестановки как частный случай

Перестановки — это размещения «всех из всех», то есть $A_{n}^{n}$ :

A_{n}^{n} = \frac{n !}{0 !} = n! = P_{n}

То есть «упорядочить все $n$ предметов» = размещения, где $k = n$ .

Частые ошибки

Ошибка 1: используют $C_{n}^{k}$ когда нужно $A_{n}^{k}$ . Получается ответ в $k!$ раз меньше. Особенно опасно при $k = 3, 4$ — ответ занижен в 6 или 24 раза.

Ошибка 2: считают факториалы целиком. Например, $C_{20}^{3}$ считают через $20!$ (это огромное число). Нужно сразу сокращать: $\frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6}$ .

Ошибка 3: забывают учесть «без возврата» в задачах с шарами. Если шары достают по очереди и не возвращают — каждый следующий из меньшего числа. Если возвращают — каждый раз из всех (это правило умножения $n^{k}$ , не размещения).

Ошибка 4: применяют $C_{n}^{k}$ к задаче с разными ролями. «Президент, вице-президент, секретарь» — это $A$ , не $C$ . Роли различны.

Когда в ЕГЭ

В заданиях 4 и 5 ЕГЭ профиль:

Сочетания — почти всегда в задачах про шары/детали без учёта порядка извлечения.
Размещения — реже; обычно «распределить $k$ ролей среди $n$ » или «выстроить в очередь $k$ из $n$ ».
Перестановки — иногда «сколько слов из букв», «сколько способов рассадить $n$ человек».

В большинстве задач на вероятность решение строится через сочетания (потому что «выбрали $k$ шаров» по умолчанию без порядка).

Прокачай задание 4 ЕГЭ — задачи на вероятность через комбинаторику. В Сотах разбор каждой задачи по 7 принципам решения.

Попробовать бесплатно

Что запомнить

Размещения учитывают порядок: $A_{n}^{k} = n! / (n - k)!$ .
Сочетания не учитывают: $C_{n}^{k} = n! / (k! (n - k)!)$ .
Связь: $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ .
Главный вопрос: «Важен ли порядок?». Маркеры роль / место / по очереди → $A$ . Команда / группа / выборка → $C$ .
Симметрия $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ — экономит счёт при больших $k$ .
При сокращении факториалов писать развёрнуто: $\frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{k !}$ , не считать $n!$ и $(n - k)!$ отдельно.

Сочетания и размещения: как не путать