Что такое факториал?

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$, произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. По соглашению $0! = 1$. Факториал быстро растёт: $5! = 120$, $10! = 3\,628\,800$.

В чём разница между перестановками, размещениями и сочетаниями?

Перестановки — упорядоченный набор из всех $n$ элементов: $P_n = n!$. Размещения — упорядоченный набор из $k$ элементов из $n$: $A_n^k$. Сочетания — неупорядоченный набор из $k$ из $n$: $C_n^k$. Ключ — важен ли порядок.

Когда применять сочетания, а когда размещения?

Если важен порядок выбора (например, кто пришёл первым, вторым, третьим в забеге) — размещения. Если порядок не важен (например, какие три человека вошли в команду, без распределения ролей) — сочетания.

Чему равно число сочетаний $C_n^k$?

$C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$. Это число способов выбрать $k$ предметов из $n$ без учёта порядка.

Почему $C_n^k = C_n^{n-k}$?

Потому что выбрать $k$ предметов «взять» — то же самое, что выбрать $n-k$ предметов «не взять». Это симметрия числа сочетаний, удобна при больших $k$: например, $C_{10}^8 = C_{10}^2 = 45$.

Комбинаторика для ЕГЭ: правило умножения, факториал, перестановки

Q: Что такое правило умножения в комбинаторике?

Если первое действие можно сделать $n_1$ способами, после него второе — $n_2$ способами, и так далее, то общее число способов выполнить всю последовательность: $n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$. Это базовый принцип, из которого выводятся все остальные формулы.

В задаче «сколько различных трёхбуквенных слов можно составить из букв А, Б, В, Г» нужна комбинаторика. Базовых формул немного — правило умножения, факториал, перестановки, размещения, сочетания. Но без чёткого понимания «когда что применять» в задачах 4 и 5 ЕГЭ делают типичную ошибку — путают сочетания и размещения. Разберём все формулы и научимся выбирать правильную.

Правило умножения

Главный принцип всей комбинаторики:

Если действие 1 можно сделать $n_1$ способами, после него действие 2 — $n_2$ способами, ..., действие $k$ — $n_k$ способами, то общее число способов выполнить всю последовательность: $n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$ .

Пример: в меню 3 первых блюда, 4 вторых, 2 десерта. Сколько различных обедов можно составить?

Первое можно выбрать 3 способами, второе — 4, десерт — 2. По правилу умножения: $3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ .

Это правило лежит в основе всех остальных формул. Если запутался в том, какую формулу применять, всегда можно вернуться к умножению по шагам.

Факториал

Факториал числа $n$ — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ :

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n

По соглашению $0! = 1$ (это удобно для формул).

Несколько значений:

$1! = 1$
$2! = 2$
$3! = 6$
$4! = 24$
$5! = 120$
$6! = 720$
$7! = 5\,040$
$10! = 3\,628\,800$

Факториал растёт очень быстро. В задачах ЕГЭ редко встречаются числа больше $7! = 5\,040$ .

Полезное упрощение: при делении факториалов часто можно сократить.

\frac{10!}{8!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{8!} = 10 \cdot 9 = 90

Не считай весь $10!$ — сократи $8!$ .

Перестановки

Перестановка — это способ упорядочить $n$ различных предметов. Сколько перестановок?

P_n = n!

Пример: сколькими способами 5 человек могут встать в очередь?

На первое место — 5 вариантов, на второе — 4 (остался 4 человека), на третье — 3, на четвёртое — 2, на пятое — 1. По правилу умножения: $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 = 5!$ .

То есть $P_5 = 5! = 120$ .

Размещения

Размещение — упорядоченный выбор $k$ предметов из $n$ (порядок важен).

A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)

То есть $k$ множителей, начиная с $n$ и убывая.

Пример: в группе 10 человек, нужно выбрать председателя, секретаря и казначея (роли разные). Сколько вариантов?

Здесь порядок важен: «Иван председатель, Маша секретарь, Петя казначей» — другой расклад, чем «Маша председатель, Иван секретарь, Петя казначей».

A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720

Альтернативно: $A_{10}^3 = \dfrac{10!}{7!} = \dfrac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ .

Сочетания

Сочетание — неупорядоченный выбор $k$ предметов из $n$ (порядок не важен).

C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Пример: в группе 10 человек, нужно выбрать команду из 3 (без распределения ролей). Сколько команд?

Здесь порядок не важен: команда «Иван, Маша, Петя» — это та же команда, что «Маша, Петя, Иван».

C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120

Заметь связь: $C_{10}^3 = \dfrac{A_{10}^3}{3!}$ . Это потому что любая команда из 3 имеет $3!$ вариантов упорядочивания, и в размещениях каждая команда посчитана 6 раз, а в сочетаниях — 1 раз.

Связь сочетаний и размещений

C_n^k = \frac{A_n^k}{k!}

Логика: чтобы получить упорядоченный набор из $k$ предметов, можно сначала выбрать команду из $k$ ( $C_n^k$ способов), а потом её упорядочить ( $k!$ способов). Произведение: $A_n^k = C_n^k \cdot k!$ .

Симметрия сочетаний

C_n^k = C_n^{n-k}

Это сильная симметрия. Например:

$C_{10}^8 = C_{10}^2 = 45$ (а не $C_{10}^8 = \dfrac{10!}{8! \cdot 2!}$ — тот же результат, но дольше).
$C_{20}^{17} = C_{20}^3 = 1140$ .

Когда $k$ близко к $n$ , переходи к $C_n^{n-k}$ — это сильно сокращает счёт.

Пример 1: меню (правило умножения)

Условие. В кафе 5 видов бутербродов, 4 напитка, 3 десерта. Сколько комбинаций «бутерброд + напиток + десерт»?

Решение. $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ .

Ответ: $60$ .

Пример 2: цифровой код

Условие. Цифровой код состоит из 4 цифр (от 0 до 9, могут повторяться). Сколько различных кодов?

Решение. Каждую из 4 позиций можно заполнить 10 цифрами. По правилу умножения: $10^4 = 10\,000$ .

Ответ: $10\,000$ .

Если бы цифры не повторялись, было бы $A_{10}^4 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5\,040$ .

Пример 3: команда

Условие. В классе 25 учеников. Тренер выбирает 4-х в команду (без распределения позиций). Сколько вариантов?

Решение. Порядок не важен — это сочетания.

C_{25}^4 = \frac{25!}{4! \cdot 21!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{303\,600}{24} = 12\,650

Ответ: $12\,650$ .

Пример 4: чемпионат

Условие. В чемпионате 8 команд. Сколько вариантов распределения призовых мест (1, 2, 3)?

Решение. Порядок важен (1 место — золото, 2 — серебро, 3 — бронза). Это размещения.

A_8^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336

Ответ: $336$ .

Пример 5: вероятностная задача с сочетаниями

Условие. В коробке 10 шаров: 4 белых и 6 чёрных. Достают 3 шара одновременно. Найди вероятность, что ровно 2 белых.

Решение. Это классическая вероятность через сочетания.

Всего способов выбрать 3 шара из 10: $C_{10}^3 = 120$ .

Благоприятные: выбрали 2 белых из 4 ( $C_4^2 = 6$ способов) и 1 чёрный из 6 ( $C_6^1 = 6$ ). По правилу умножения: $6 \cdot 6 = 36$ .

P = \frac{36}{120} = 0{,}3

Ответ: $0{,}3$ .

Пример 6: переставить буквы

Условие. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «МАМА»?

Решение. Если бы все буквы были разными, было бы $4! = 24$ . Но буквы «М» и «А» повторяются дважды каждая.

Формула для перестановок с повторениями:

P = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!}

где $n_i$ — количество повторений $i$ -й буквы.

В нашем случае: $\dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{24}{4} = 6$ .

Ответ: 6 слов: МАМА, ММАА, МААМ, АМАМ, АММА, ААММ.

Как выбрать формулу: алгоритм

Сколько предметов выбираем? Если все $n$ — это перестановки. Если $k$ из $n$ — размещения или сочетания.
Важен ли порядок?
- Да → размещения $A_n^k$ .
- Нет → сочетания $C_n^k$ .
Можно ли повторять предметы?
- Да → правило умножения $n^k$ (для упорядоченного выбора с повторами).
- Нет → стандартные $A_n^k$ или $C_n^k$ .

Простой проверочный вопрос: «Если поменять местами выбранные предметы, считается ли это другим вариантом?». Если да — порядок важен (размещения). Если нет — порядок не важен (сочетания).

Частые ошибки

Ошибка 1: путают сочетания и размещения. В задаче «сколько комитетов из 3 человек можно составить из 10» это $C_{10}^3 = 120$ , а в задаче «сколько способов распределить три должности (президент, вице-президент, секретарь) среди 10 кандидатов» это $A_{10}^3 = 720$ . Слова «команда / комитет / группа» обычно сочетания. «Распределить роли / места / должности» — размещения.

Ошибка 2: не учитывают повторения. «Сколько паролей из 4 цифр» с повторениями $10^4$ , без повторений $A_{10}^4$ . Внимательно читай условие.

Ошибка 3: ошибка в формуле факториала. $0! = 1$ , не 0. Это нужно для согласованности формул.

Ошибка 4: считают $C_n^n$ как $n!$ . Нет: $C_n^n = 1$ (один способ выбрать всех). Это видно из формулы: $C_n^n = \dfrac{n!}{n! \cdot 0!} = 1$ .

Когда комбинаторика в ЕГЭ

В заданиях 4 и 5 ЕГЭ комбинаторика появляется в двух типах задач:

Прямая комбинаторика: «Сколько способов / вариантов / комбинаций?». Решается по выбору правильной формулы.
Вероятность через комбинаторику: «Какова вероятность $X$ ?». Решается как $P = \dfrac{\text{число благоприятных}}{\text{общее число}}$ , где оба числа — комбинаторные.

Большинство задач №4 — второй тип: «достали $k$ шаров из $n$ , найти вероятность определённого состава» — это сочетания и классическая вероятность.

Реши 25 типичных задач №4 на комбинаторику и вероятность с пошаговым разбором. Адаптивная траектория Сот сама определит уровень и подстроится.

Попробовать бесплатно

Что запомнить

Правило умножения — основа всей комбинаторики: $n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$ .
Факториал: $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$ , $0! = 1$ .
Перестановки $n$ элементов: $P_n = n!$ .
Размещения $k$ из $n$ (порядок важен): $A_n^k = n!/(n-k)!$ .
Сочетания $k$ из $n$ (порядок не важен): $C_n^k = n!/(k!(n-k)!)$ .
Симметрия: $C_n^k = C_n^{n-k}$ — экономит при больших $k$ .
Главный вопрос: важен ли порядок? От этого зависит выбор формулы.

Основы комбинаторики для ЕГЭ