Диаграммы Эйлера: пересечение, объединение, дополнение событий

В задаче «среди 30 учеников 18 любят математику, 15 — физику, 8 — оба предмета. Сколько любят хотя бы один?» интуиция подсказывает $18 + 15 = 33$. Но 33 больше 30, что-то не так. Проблема в том, что учеников, которые любят оба, мы посчитали дважды. Правильный ответ — $18 + 15 - 8 = 25$. Это и есть формула включений-исключений, и проще всего её увидеть на диаграмме Эйлера.

Что такое диаграмма Эйлера

Диаграмма Эйлера (часто называют «диаграммой Эйлера-Венна») — это способ нарисовать события. Прямоугольник представляет всё пространство исходов $\Omega$. Внутри — кружки, каждый кружок = одно событие.

Если в эксперименте выпал исход, он либо попал в кружок (событие произошло), либо нет (не произошло). Пересечения, объединения, разности событий легко видеть как геометрические операции.

Объединение, пересечение, разность

Объединение $A \cup B$

«$A$ или $B$ (или оба)» — на диаграмме всё, что закрыто хотя бы одним из двух кружков.

Пересечение $A \cap B$

«$A$ и $B$ одновременно» — общая часть двух кружков, центральный «лепесток».

Разность $A \setminus B$

«$A$ произошло, $B$ не произошло» — кружок $A$ без той части, что пересекается с $B$.

Дополнение $\bar{A}$

«$A$ не произошло» — всё, что вне кружка $A$ (но внутри прямоугольника $\Omega$).

Формула включений-исключений (для двух событий)

Логика: если просто сложить $P(A)$ и $P(B)$, центральный лепесток (где $A$ и $B$ оба) посчитается дважды. Чтобы исправить — вычитаем $P(A \cap B)$ один раз.

Графически: «весь $A$» + «весь $B$» — «общая часть» = «всё, покрытое хотя бы одним».

Пример 1: ученики и предметы

Условие. В классе 30 учеников. 18 любят математику, 15 — физику, 8 — оба предмета. Найди вероятность, что случайно выбранный ученик любит хотя бы один из этих предметов.

Решение. $A$ — любит математику, $P(A) = 18/30$. $B$ — любит физику, $P(B) = 15/30$. $P(A \cap B) = 8/30$.

Ответ: $\dfrac{5}{6}$.

Пример 2: проверка несовместных

Условие. Бросают кубик. $A$ — выпало чётное число. $B$ — выпало 1 или 3. Найди $P(A \cup B)$.

Решение. $A = \{2, 4, 6\}$, $P(A) = 3/6 = 0{,}5$. $B = \{1, 3\}$, $P(B) = 2/6$. Пересечение пусто (чётных нечётных не бывает), $P(A \cap B) = 0$.

Прямой проверкой: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$ — пять исходов из шести, $5/6$. ✓

Пример 3: пропущенный $P(A \cap B)$

Условие. В партии 20% деталей с дефектом А, 15% с дефектом Б, 5% с обоими дефектами одновременно. Найди вероятность, что случайно выбранная деталь имеет хотя бы один дефект.

Решение. $P(A) = 0{,}2$, $P(B) = 0{,}15$, $P(A \cap B) = 0{,}05$.

Ответ: $0{,}3$.

Если бы забыли вычесть $P(A \cap B)$, получили бы 0,35 — на 0,05 больше. Это типичная ошибка.

Формула для трёх событий

Для трёх событий формула усложняется:

Логика та же: одиночные посчитали по разу, парные пересечения дважды (нужно вычесть), тройное — три раза в сумме одиночных и три раза в парных пересечениях, итого ноль (нужно один раз прибавить).

В ЕГЭ профиль формула на три события встречается реже, но иногда появляется в задаче 4. Если есть ощущение, что формула слишком запутанная, можно нарисовать диаграмму с тремя кружками и аккуратно выписать ту область, что нужна.

Пример 4: три кружка

Условие. В магазине 100 покупателей за день. 60 купили хлеб, 40 — молоко, 30 — масло. 25 купили хлеб и молоко, 20 — хлеб и масло, 15 — молоко и масло, 10 — все три продукта. Сколько покупателей купили хотя бы один из трёх товаров?

Решение. По формуле включений-исключений:

То есть 80 человек из 100 купили хотя бы один из товаров. Если требуется вероятность: $P = 80/100 = 0{,}8$.

Ответ: 80 покупателей, $P = 0{,}8$.

Пример 5: разность событий

Условие. В коробке 10 шаров: 4 красных, 3 синих, 3 жёлтых. Достают один шар. $A$ — «не жёлтый», $B$ — «не синий». Найди $P(A \cap B)$.

Решение. $A \cap B$ — «не жёлтый И не синий» = «красный».

$P(A \cap B) = 4/10 = 0{,}4$.

Это пример решения через диаграмму: $A$ — все шары кроме жёлтых = красные + синие. $B$ — все кроме синих = красные + жёлтые. Их пересечение — то, что есть и в $A$, и в $B$ — это только красные.

Ответ: $0{,}4$.

Пример 6: вероятность через диаграмму

Условие. $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$, $P(A \cup B) = 0{,}7$. Найди $P(A \cap B)$ и $P(A \setminus B)$.

Решение. Из формулы:

Ответ: $P(A \cap B) = 0{,}2$, $P(A \setminus B) = 0{,}3$.

Связь с другими темами

Противоположное событие. $\bar{A}$ — это всё пространство $\Omega$ минус $A$. На диаграмме — всё, что вне кружка.

Несовместность. Кружки не пересекаются, $A \cap B = \varnothing$.

Полная группа. Кружки покрывают весь прямоугольник без пересечений (как пирог из взаимоисключающих кусков).

Условная вероятность. $P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ — берём «лепесток пересечения», делим на весь $B$.

Частые ошибки

Ошибка 1: забывают вычесть пересечение. Считают $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ — получают завышенный ответ. Особенно если $P(A) + P(B) > 1$, это очевидный сигнал ошибки.

Ошибка 2: путают «и» и «или». «А и Б одновременно» — пересечение. «А или Б (хотя бы одно)» — объединение. Внимательно читай условие.

Ошибка 3: применяют формулу включений-исключений к независимым событиям без проверки $P(A \cap B)$. Если события независимы, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Это нужно подставить, а не «убирать» как лишнее.

Ошибка 4: для трёх событий складывают только одиночные и парные. Без $+P(A \cap B \cap C)$ результат заниженный.

Когда диаграммы в ЕГЭ

В заданиях 4 ЕГЭ профиль диаграммы Эйлера полезны:

• Когда событие задаётся через «и/или/не» комбинацию.
• Когда даны вероятности одиночных и пересечений, нужно найти объединение.
• В задачах с двумя признаками (любит математику / физику; купил хлеб / молоко).

В большинстве случаев формула $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ закрывает почти всё. Если задача про три события — рисуй диаграмму с тремя кружками и аккуратно идентифицируй область.

Что запомнить

• Диаграмма Эйлера — прямоугольник $\Omega$ с кружками-событиями внутри.
• Объединение «или» — все закрытые области; пересечение «и» — общая часть.
• Формула включений-исключений: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
• Для несовместных $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ (пересечение пусто).
• Разность $P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B)$.
• Формула «суммой» для трёх: $+ + + - - - +$ (одиночные плюс, парные минус, тройное плюс).