Задачи на проценты — формулы и алгоритмы для ЕГЭ

Проценты — фундамент задания 9 и любой финансовой задачи. Один процент — это одна сотая часть числа. Разберём все типы: от базового «найди 15% от 200» до сложных смесей и наращения капитала.

Что такое процент

$1\% = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$. Это просто удобная единица измерения долей: вместо «$0{,}37$» говорят «37%».

Из определения сразу вытекает основная формула:

$p\% \text{ от числа } a = \frac{p \cdot a}{100}$

Здесь $p$ — значение процента (например, 15), $a$ — число, от которого берут процент.

Пример: $15\%$ от $200$ равно $\dfrac{15 \cdot 200}{100} = 30$.

Заметь: можно не делить на 100, а сразу умножать на десятичную дробь. $15\% = 0{,}15$, значит $200 \cdot 0{,}15 = 30$. Это быстрее при вычислениях на экзамене.

Три базовых типа задач

Все задачи на проценты сводятся к трём типам. Разберём каждый с формулой.

Тип 1. Найти $p\%$ от числа $a$.

$\text{Результат} = a \cdot \frac{p}{100}$

Пример: «Скидка 20% от цены 1 500 ₽» — считаем $1500 \cdot 0{,}20 = 300$ ₽ скидка.

Тип 2. Найти число $a$, если $p\%$ от него равно $b$.

$a = \frac{b \cdot 100}{p}$

Пример: «30% от числа равно 60». Находим: $a = \dfrac{60 \cdot 100}{30} = 200$.

Тип 3. Найти, сколько процентов составляет $b$ от $a$.

$p = \frac{b}{a} \cdot 100\%$

Пример: «30 — это сколько процентов от 200?» Ответ: $\dfrac{30}{200} \cdot 100 = 15\%$.

Эти три формулы — одно равенство $\dfrac{p}{100} = \dfrac{b}{a}$, просто решённое для разных неизвестных. Если запомнил одно — восстановишь остальные.

Цена после скидки 25% стала 750 ₽. Какой была исходная цена?

Изменение на процент

Если что-то увеличили на $p\%$ — умножь на $(1 + \dfrac{p}{100})$.

Если уменьшили на $p\%$ — умножь на $(1 - \dfrac{p}{100})$.

Примеры:

• Цена выросла на 30%: $a \cdot 1{,}30$
• Цена упала на 12%: $a \cdot 0{,}88$
• Стало $n\%$ от исходного: $a \cdot \dfrac{n}{100}$

Увеличить на 50%, затем уменьшить на 50% — это не возврат к исходному числу. После роста на 50% число стало $1{,}5a$, после снижения на 50% — $1{,}5a \cdot 0{,}5 = 0{,}75a$. Потеряли 25% от исходного. Проценты считаются каждый раз от текущего, а не от исходного значения.

Число последовательно уменьшили на 20%, а потом увеличили на 20%. Стало больше или меньше исходного?

Сложные проценты: формула наращения

Когда проценты начисляются не на исходную сумму, а на уже накопленную — это сложные проценты (капитализация). Формула:

$S = a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

Здесь:

• $a$ — начальная сумма;
• $p$ — ставка за один период (обычно год), в процентах;
• $n$ — количество периодов (лет);
• $S$ — итоговая сумма.

Сравни с простыми процентами, где прибавляют одно и то же каждый год:

$S_{\text{прост}} = a \cdot \left(1 + \frac{p \cdot n}{100}\right)$

При $a = 50000$ ₽, $p = 8\%$, $n = 3$ года:

• Простые проценты: $50000 \cdot (1 + 0{,}08 \cdot 3) = 50000 \cdot 1{,}24 = 62000$ ₽
• Сложные проценты: $50000 \cdot 1{,}08^3 = 50000 \cdot 1{,}259712 = 62985{,}6$ ₽

Разница небольшая при $n = 3$, но растёт с каждым годом — это и есть сила капитализации.

Вклад 10 000 ₽ под 10% годовых на 2 года (сложные проценты). Сколько будет на счёте?

Задачи на концентрацию (смеси и сплавы)

Концентрация — доля растворённого вещества (или компонента сплава) в общей массе смеси:

$C = \frac{m_{\text{вещ}}}{m_{\text{смеси}}}$

Здесь $C$ обычно записывают в долях (от 0 до 1) или в процентах. «30%-ный раствор» означает $C = 0{,}30$.

Уравнение баланса при смешивании двух растворов:

$m_1 C_1 + m_2 C_2 = (m_1 + m_2) \cdot C$

Расшифровка: масса вещества в первом растворе плюс масса вещества во втором равна массе вещества в итоговом растворе.

При добавлении чистой воды к раствору: $C_2 = 0$, уравнение упрощается до $m_1 C_1 = (m_1 + m_2) \cdot C$. При добавлении чистого вещества: $C_2 = 1$.

К 100 г 40%-ного раствора добавили 100 г воды. Какая концентрация получилась?

Ответ: 100 г воды.

Типичная ошибка. Написать новую массу раствора как $200 \cdot 0{,}20 = 40$ г — это масса соли при 20%, не масса раствора. Уравнение нужно составлять через баланс вещества, а не умножать общую массу на новую концентрацию.

Пример 3 (уровень В, faded — 2 шага свёрнуты). Вклад 50 000 ₽ открыли под 8% годовых (сложные проценты) на 3 года. Какая сумма окажется на счёте?

Решение. Используем формулу наращения $S = a \cdot (1 + p/100)^n$.

Шаг 1. Запиши данные и множитель за год.

$a = 50000$, $p = 8$, $n = 3$. Попробуй сам: чему равен множитель $\left(1 + \dfrac{8}{100}\right)$?

Шаг 2. Вычисли множитель за 3 года.

Попробуй сам: чему равно $1{,}08^3$? Считай последовательно: $1{,}08^2 = 1{,}1664$, затем $1{,}1664 \cdot 1{,}08$.

Шаг 3. Итоговая проверка.

$S = 50000 \cdot 1{,}259712 = 62985{,}6 \text{ ₽}$

Ответ: 62 985,60 ₽.

Типичная ошибка. Посчитать по формуле простых процентов: $50000 + 50000 \cdot 0{,}08 \cdot 3 = 62000$ ₽. Разница $985{,}6$ ₽ — это и есть «доход от дохода», который даёт капитализация.

Типичные ошибки

1. Считать процент от неправильного основания. Если цена упала на 12%, то 12% берутся от исходной цены, а не от новой. Всегда явно пиши, от чего считается процент.

2. Складывать проценты напрямую. «Скидка 20%, потом ещё 10%» — это не 30% от исходного. Правильно: $a \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}90 = 0{,}72a$, то есть суммарная скидка — 28%, а не 30%.

3. Путать концентрацию и массу вещества. Концентрация — это доля, число от 0 до 1 (или %). Масса вещества — это граммы. При составлении уравнения баланса нужна именно масса: $m_{\text{смеси}} \cdot C$.

4. Применять формулу сложных процентов к задаче с простыми. Если в условии написано «начисляются проценты на начальную сумму» — это простые проценты, используй $S = a(1 + pn/100)$.

5. Не переводить проценты в доли перед подстановкой в формулу. В формуле наращения стоит $p/100$, а не $p$. Если вставить $p = 8$ вместо $0{,}08$ — получишь множитель $9$, что абсурдно.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, fully worked). Цена товара снизилась на 12% и стала 1320 ₽. Найди исходную цену.

Решение. Снижение на 12% означает умножение на $(1 - 0{,}12) = 0{,}88$. Обозначим исходную цену $a$ ₽:

$a \cdot 0{,}88 = 1320$

Делим обе части на $0{,}88$:

$a = \frac{1320}{0{,}88} = 1500$

Проверка: $1500 \cdot 0{,}88 = 1320$. Верно.

Ответ: 1500 ₽.

Типичная ошибка. Прибавить к 1320 число $1320 \cdot 0{,}12 = 158{,}4$ и получить 1478,4 ₽. Это неверно: 12% нужно считать от исходной цены (1500 ₽), а не от сниженной.

Пример 2 (уровень Б, faded — 1 шаг свёрнут). К 200 г 30%-ного раствора соли добавили воду. Концентрация стала 20%. Сколько воды добавили?

Решение. Используем уравнение баланса вещества. Масса соли не меняется при добавлении воды. Считаем её:

$m_{\text{соль}} = 200 \cdot 0{,}30 = 60 \text{ г}$

Обозначим добавленную воду $x$ г. Итоговая масса раствора: $200 + x$ г. По определению концентрации:

$\frac{60}{200 + x} = 0{,}20$

Попробуй сам решить это уравнение: выразить $200 + x$, затем $x$. Ответ ниже.

Связь с другими темами

Задачи на проценты — не изолированная тема. Они пересекаются с двумя смежными блоками:

Финансовые задачи ЕГЭ — задание 17, где сложные проценты встречаются в модели аннуитетного кредита и вкладов с капитализацией. Там та же формула наращения, но в рекуррентной форме.

Задачи на движение — часто в условии одновременно фигурируют расстояния и изменение скорости «на столько-то процентов». Умение быстро пересчитывать изменение через множитель экономит время.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 9 (профиль) — текстовая задача на практическое применение математики. Это основная «прописка» задач на проценты в КИМ. Формулировки разные: расчёт скидки, изменение цены, задача на концентрацию раствора, наращение вклада. Все сводятся к одному из разобранных типов.

Подробный разбор форматов задания 9 и банк задач: задание 10 ЕГЭ профильная математика.