Задачи на оптимизацию через производную для ЕГЭ

Задача на оптимизацию — это всегда вопрос «при каком значении величина достигает наибольшего или наименьшего значения». В таких задачах требуется найти максимальную площадь, минимальный расход материала, оптимальные размеры коробки или бака. Главная их особенность в том, что функцию, у которой ищется экстремум, не дают готовой — её нужно составить самому из условия. Именно составление функции, а не дифференцирование, оказывается самой трудной частью. Зато как только функция записана, дальше работает стандартный алгоритм: производная, критические точки, проверка. Разберём этот алгоритм по шагам и пройдём типовые сюжеты задания 11.

Стоит сразу настроиться на то, что задача распадается на две неравные половины. Первая половина — перевод условия в формулу: выбрать переменную, выразить через неё нужную величину, найти связь между размерами. Эта часть требует понимания геометрии или физики задачи и именно здесь чаще всего застревают. Вторая половина — техническая: продифференцировать функцию и решить уравнение. Она почти механическая, если знаешь правила дифференцирования. Поэтому, готовясь к таким задачам, основное внимание уделяй первой половине — умению превратить словесное условие в формулу одной переменной.

Алгоритм решения

Любая задача на оптимизацию укладывается в одну последовательность действий. Сначала внимательно прочитай условие и пойми, что именно нужно сделать наибольшим или наименьшим — это и будет целевая величина. Затем выбери переменную: обозначь одну из неизвестных длин, радиус или высоту буквой $x$. После этого вырази целевую величину как функцию этой переменной — здесь обычно используют связь между величинами, заданную условием, например объём или теорему Пифагора. Дальше определи область допустимых значений: переменная почти всегда положительна и часто ограничена сверху физическим смыслом. Найди производную целевой функции и реши уравнение, в котором она равна нулю, — это даст критические точки. И наконец, проверь, что найденная критическая точка действительно даёт нужный экстремум, и запиши ответ с единицами измерения.

Самый важный и самый незаметный шаг здесь — область допустимых значений. Длина не бывает отрицательной, сторона коробки не может превышать размер заготовки, радиус ограничен сверху. Если забыть про ОДЗ, можно получить формально верный корень уравнения, который не имеет физического смысла. Поэтому всегда выписывай границы переменной до того, как берёшь производную.

Полезно с самого начала понять, почему производная вообще помогает искать максимумы и минимумы. В точке, где функция достигает наибольшего или наименьшего значения внутри интервала, касательная к графику горизонтальна, а значит производная там равна нулю. Поэтому корни уравнения «производная равна нулю» — это кандидаты на экстремум. Слово «кандидаты» здесь ключевое: не всякая такая точка обязательно даёт максимум или минимум, поэтому после нахождения корней их обязательно проверяют. Эта связь между горизонтальной касательной и экстремумом — главная идея, на которой держится весь раздел про исследование функций.

Сюжет 1: наибольшая площадь прямоугольника в полукруге

Задача. Прямоугольник вписан в полукруг радиуса $R = 5$ так, что одна его сторона лежит на диаметре. Найди наибольшую площадь прямоугольника.

Обозначим половину ширины прямоугольника буквой $x$, тогда вся ширина равна $2x$. Верхние вершины прямоугольника лежат на полукруге, поэтому их высота связана с $x$ уравнением окружности: $h = \sqrt{25 - x^2}$. Площадь прямоугольника — это произведение ширины на высоту:

$S(x) = 2x \cdot \sqrt{25 - x^2}$

Область допустимых значений: $0 < x < 5$, потому что половина ширины положительна и меньше радиуса. Дифференцировать выражение с корнем неудобно, поэтому применим полезный приём: будем искать максимум не самой площади, а её квадрата. Максимум площади и максимум её квадрата достигаются в одной точке, ведь обе величины положительны и растут вместе. Квадрат площади:

$S^2(x) = 4x^2(25 - x^2)$

Производная этого выражения равна $8x(25 - 2x^2)$, и она обращается в ноль при $x^2 = 12{,}5$, то есть при $x = \dfrac{5}{\sqrt{2}}$. Это значение лежит внутри ОДЗ. Подставляем его в площадь и получаем максимум, равный $25$. На краях интервала, при стремлении $x$ к нулю или к пяти, площадь стремится к нулю, поэтому найденная точка действительно даёт наибольшую площадь. Ответ — наибольшая площадь равна двадцати пяти квадратным единицам.

Интересно, что при оптимальных размерах прямоугольник оказывается почти квадратным: его высота совпадает с шириной половины основания. Это не случайность — во многих задачах на оптимизацию оптимум достигается на «симметричной» фигуре. Такие наблюдения полезно подмечать: они не доказывают ответ сами по себе, но помогают на экзамене быстро прикинуть, в правильную ли сторону ведёт решение, и сразу заметить грубую ошибку, если найденные размеры выглядят неестественно вытянутыми.

Сюжет 2: наименьший расход материала на бак

Задача. Открытый сверху цилиндрический бак объёмом $V = \pi$ кубических метров нужно изготовить с наименьшим расходом материала на дно и боковую поверхность. Найди оптимальный радиус и высоту.

Связь между радиусом и высотой даёт объём: $\pi r^2 h = \pi$, откуда $h = \dfrac{1}{r^2}$. Расход материала — это площадь дна плюс площадь боковой поверхности (крышки нет, бак открытый):

$S(r) = \pi r^2 + 2\pi r h = \pi r^2 + \frac{2\pi}{r}$

Область допустимых значений — все положительные радиусы. Производная равна $S'(r) = 2\pi r - \dfrac{2\pi}{r^2}$, и она обращается в ноль при $r^3 = 1$, то есть при $r = 1$ метр. Тогда высота равна $h = \dfrac{1}{1} = 1$ метр. Получился «кубический» цилиндр, у которого высота совпадает с радиусом. Чтобы убедиться, что это именно минимум, посмотрим на знак производной. При малых радиусах первое слагаемое мало, а вычитаемое велико, поэтому производная отрицательна и функция убывает. При больших радиусах наоборот: первое слагаемое растёт, и производная становится положительной — функция возрастает. Раз слева функция убывает, а справа возрастает, в точке $r = 1$ у неё минимум. Ответ — радиус и высота по одному метру.

Сюжет 3: оптимум на отрезке

В задании 11 чаще встречается «чистая» оптимизация: функция уже дана, и нужно найти её наибольшее или наименьшее значение на отрезке. Здесь сравнивают значения в критических точках и на концах отрезка.

Задача. Найди наименьшее значение функции $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ на отрезке $[0;\ 4]$.

Производная равна $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$, её нули — точки $x = 0$ и $x = 2$. На отрезке внутри лежит критическая точка $x = 2$. Считаем значения функции в трёх точках: на левом конце $f(0) = 1$, в критической точке $f(2) = 8 - 12 + 1 = -3$, на правом конце $f(4) = 64 - 48 + 1 = 17$. Наименьшее из этих чисел — минус три, оно достигается в точке $x = 2$. Ответ — наименьшее значение равно минус трём.

Этот приём подробно разбирает страница про наибольшее и наименьшее значение функции: на отрезке экстремум может оказаться как в критической точке, так и на конце, поэтому сравнивать нужно все кандидаты. Пропустить концы отрезка — частая ошибка: внутри отрезка функция может и не иметь экстремума, и тогда наибольшее значение достигается именно на краю.

Сюжет 4: путь с наименьшим временем

Задача. Человек стоит на берегу реки шириной $1$ км. Прямо напротив, на другом берегу, расположена точка $A$, а вдоль того же берега в $2$ км от $A$ — точка $B$. По воде человек движется со скоростью $2$ км/ч, по берегу — $4$ км/ч. В какую точку берега ему выгоднее переправиться, чтобы дойти до $B$ за наименьшее время?

Обозначим через $x$ расстояние от $A$ до точки переправы вдоль берега, где $0 \le x \le 2$. Длина пути по воде равна $\sqrt{1 + x^2}$ по теореме Пифагора, а оставшийся путь по берегу равен $2 - x$. Время — это путь, делённый на скорость, на каждом участке:

$T(x) = \frac{\sqrt{1 + x^2}}{2} + \frac{2 - x}{4}$

Производная: $T'(x) = \dfrac{x}{2\sqrt{1 + x^2}} - \dfrac{1}{4}$. Приравнивая её к нулю, получаем $2x = \sqrt{1 + x^2}$, откуда после возведения в квадрат $3x^2 = 1$ и $x = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}58$ км. Это значение лежит в допустимом интервале, и оно даёт минимум времени. Точка переправы находится примерно в полукилометре от $A$ в сторону $B$.

Эта задача хорошо показывает, почему оптимизация — не про «плыть напрямую» и не про «идти кратчайшим путём». Плыть строго к точке $A$ невыгодно, потому что потом придётся долго идти по берегу; плыть сразу к $B$ тоже невыгодно, потому что вода медленнее берега и долгий заплыв съедает время. Оптимум — где-то посередине, и найти его без производной на глаз невозможно. Именно поэтому такие задачи и решают через функцию времени: она честно учитывает оба участка пути и их разные скорости, а производная находит точку наилучшего баланса между ними.

Сюжет 5: неравенство о средних как короткий путь

Иногда производную можно обойти. Для выражений вида «сумма двух слагаемых, произведение которых постоянно» работает неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

$f + g \geq 2\sqrt{fg}$

причём равенство достигается, когда слагаемые равны. Идея здесь такая: правая часть зависит только от произведения слагаемых. Если это произведение постоянно и не меняется с переменной, то правая часть превращается в фиксированное число, ниже которого сумма опуститься не может. Значит наименьшее значение суммы как раз равно этому числу, и достигается оно в тот момент, когда оба слагаемых сравниваются. Этот приём не универсален — он работает только для сумм с постоянным произведением, — но в подходящих задачах экономит много времени по сравнению с производной.

Задача. Найди наименьшее значение выражения $x + \dfrac{4}{x}$ при $x > 0$.

Произведение слагаемых равно $x \cdot \dfrac{4}{x} = 4$ и не зависит от переменной. Поэтому по нераву о средних $x + \dfrac{4}{x} \geq 2\sqrt{4} = 4$. Равенство достигается, когда $x = \dfrac{4}{x}$, то есть при $x = 2$. Минимум равен четырём и достигается в точке $x = 2$. Тот же ответ дала бы производная, но через неравенство решение получилось короче.

Применение в задании 11 ЕГЭ

Задание 11 — нахождение наибольшего или наименьшего значения функции, балл за него один. Прикладные задачи на оптимизацию, где функцию нужно составлять самому, встречаются реже «чистых», но именно они проверяют умение переводить условие в математику. Тренироваться стоит на обоих типах: «чистые» закрепляют технику дифференцирования, а прикладные учат главному навыку — составлять функцию из словесного описания. Когда оба навыка доведены до автоматизма, задание 11 перестаёт быть проблемным и решается за несколько минут. Алгоритм для любой задачи 11 одинаков: найди производную, реши уравнение для критических точек, определи характер каждой точки по знаку производной и, если задан отрезок, сравни значения на концах. Фундамент темы дают страницы про производную, экстремумы функции и правила дифференцирования.

Распространённые ошибки

Путать максимум и минимум. Производная равна нулю и в точке максимума, и в точке минимума. Без проверки знака производной или сравнения значений легко спутать одно с другим.

Забывать об ОДЗ. Отрицательный корень или ноль обычно вне области допустимых значений, если переменная — это длина, радиус или скорость. Решения вне ОДЗ отбрасывают.

Не сравнивать с концами отрезка. На отрезке наибольшее значение может достигаться не в критической точке, а на конце. Поэтому считают значения во всех точках-кандидатах.

Дифференцировать выражение с корнем напрямую. Если ищешь экстремум площади с корнем, удобнее работать с квадратом: производная проще, а точка экстремума та же.

Останавливаться на критической точке. Найти корень уравнения для производной — это только половина дела. Нужно ещё убедиться, что это нужный экстремум, и подставить значение переменной обратно, чтобы получить саму искомую величину — площадь, объём или время, а не значение переменной.

Что запомнить

Алгоритм оптимизации: переменная, целевая функция, ОДЗ, производная, критические точки, проверка характера экстремума, ответ. Самая трудная часть — составить функцию, а не продифференцировать её. Всегда выписывай ОДЗ из физического смысла и проверяй, максимум это или минимум. Для сумм с постоянным произведением быстрее работает неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом. И не забывай довести решение до конца: подставить найденную переменную в исходную величину и записать ответ с единицами измерения.