Задачи на процентный рост: простой и сложный процент

Проценты — самая «бытовая» часть экзамена: вклады, кредиты, скидки и наценки встречаются и в задании 8 (короткая текстовая задача), и в задании 17 (развёрнутая финансовая задача). Сложность тут не в арифметике, а в том, чтобы правильно выбрать модель роста. Одни проценты копятся на исходную сумму и каждый период добавляют одну и ту же прибавку. Другие проценты начисляются на уже выросшую сумму, и тогда прибавка с каждым шагом становится больше. Если перепутать эти два случая, ответ получится формально аккуратным, но неверным, и проверяющий снимет балл. Поэтому первое, чему нужно научиться, — по словам условия мгновенно понимать, какой перед тобой процент. Дальше разберём оба случая и научимся уверенно искать итоговую сумму, ставку и срок.

Простой и сложный процент: в чём разница

Пусть начальная сумма равна $A_0$, ставка за один период равна $r$ (всегда переводим её в долю: пятнадцать процентов это $0{,}15$), а число периодов обозначим буквой $n$.

При простом проценте каждый период начисляется одна и та же прибавка, потому что её считают от неизменной исходной суммы. За один период добавляется $r \cdot A_0$, за $n$ периодов — в $n$ раз больше, поэтому итог растёт линейно:

$A = A_0 \cdot (1 + r \cdot n)$

При сложном проценте проценты начисляются на уже выросшую сумму. Это значит, что каждый период мы умножаем текущую сумму на один и тот же множитель $(1 + r)$. За $n$ периодов умножение повторяется $n$ раз, поэтому в формуле появляется степень:

$A = A_0 \cdot (1 + r)^n$

Полезно увидеть в этой формуле знакомую конструкцию. Сложный процент — это геометрическая прогрессия, у которой первый член равен начальной сумме, а знаменатель равен $1 + r$. Год за годом вклад превращается в новый член прогрессии. Поэтому держи рядом тему геометрической прогрессии: формула роста вклада и формула члена прогрессии — это буквально одно и то же выражение, записанное другими буквами.

Когда какой процент применять, подсказывают сами слова условия. Если в задаче написано «с капитализацией», «проценты ежегодно начисляются и прибавляются к вкладу», «процент на остаток по вкладу», то речь о сложном проценте — сумма растёт и в следующий раз процент берут уже от большего числа. Если же скидка или наценка разовая, либо проценты каждый раз считают от одной и той же исходной величины, перед тобой простой случай, который сводится к обычному умножению.

Разовое изменение: множитель вместо процента

Любое изменение на сколько-то процентов удобно записывать не через прибавку, а через множитель — так меньше шансов ошибиться, особенно когда изменений несколько подряд. Рост на $p$ процентов означает умножение на $(1 + p/100)$, а снижение — умножение на $(1 - p/100)$. Этот приём с множителем стоит довести до автоматизма, потому что именно через множители удобно перемножать цепочки скидок и наценок.

Пример 1. Цена товара равна $5000$ рублей, магазин делает наценку пятнадцать процентов. Чтобы найти новую цену, умножаем исходную на множитель наценки:

$A = 5000 \cdot (1 + 0{,}15) = 5000 \cdot 1{,}15 = 5750 \text{ руб.}$

Когда изменений несколько, множители просто перемножаются, и порядок их применения не влияет на результат. Это удобно: можно не следить, что было раньше — скидка или наценка.

Пример 2. Цену $10\,000$ рублей сначала снизили на двадцать процентов, а потом ещё на десять. Записываем два множителя снижения подряд:

$A = 10\,000 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}9 = 10\,000 \cdot 0{,}72 = 7200 \text{ руб.}$

Здесь спрятана главная ловушка темы. Две скидки в двадцать и десять процентов вместе дают вовсе не скидку в тридцать процентов. От исходной цены осталось $0{,}72$, то есть суммарная скидка равна двадцати восьми процентам. Сложить проценты скидок нельзя — их можно только перемножать как множители. Если бы скидки были по двадцать пять процентов каждая, итоговая цена составила бы не половину, а более чем половину исходной, и это снова про перемножение, а не сложение.

Сложный процент за несколько периодов

Главная рабочая ситуация всей темы — вклад под фиксированный процент, который лежит в банке несколько лет и каждый год прирастает. Здесь важно не пытаться считать «в уме по годам», а сразу записать формулу со степенью: так и быстрее, и надёжнее.

Пример 3. Вкладчик положил $200\,000$ рублей под десять процентов годовых на пять лет с ежегодной капитализацией. Нужно узнать, сколько окажется на счёте в конце срока.

Поскольку капитализация ежегодная, каждый год сумма умножается на множитель $1{,}1$, и за пять лет это умножение повторяется ровно пять раз:

$A = 200\,000 \cdot (1 + 0{,}10)^5 = 200\,000 \cdot 1{,}1^5$

Степень удобно считать не сразу, а по шагам, чтобы не ошибиться в десятичных знаках. Сначала находим квадрат: $1{,}1^2 = 1{,}21$. Затем возводим его ещё раз в квадрат и получаем четвёртую степень: $1{,}1^4 = 1{,}21^2 = 1{,}4641$. И наконец умножаем на ещё один множитель, чтобы получить пятую степень: $1{,}1^5 = 1{,}4641 \cdot 1{,}1 = 1{,}61051$. Подставляем найденное число:

$A = 200\,000 \cdot 1{,}61051 \approx 322\,102 \text{ руб.}$

Сравним с простым процентом, чтобы прочувствовать разницу. При простом начислении за пять лет добавилось бы по десять процентов от исходной суммы каждый год, то есть всего пятьдесят процентов, и итог составил бы ровно триста тысяч рублей. Сложный процент дал на двадцать с лишним тысяч больше. Эта разница и есть «работа процентов на проценты»: каждый новый год процент начисляется не только на вклад, но и на уже набежавшие за прошлые годы проценты.

Почему сложный процент обгоняет простой

Интуиция здесь простая. При простом проценте прибавка каждый год одинаковая, потому что её всегда считают от одного и того же числа. При сложном проценте база для начисления с каждым годом растёт, поэтому растёт и сама прибавка. В первый год разница между двумя моделями почти незаметна, ведь сумма ещё мало изменилась. Но чем дольше срок и чем выше ставка, тем сильнее сложный процент отрывается от простого. Именно поэтому в длинных задачах на вклады и кредиты экзамен почти всегда подразумевает сложную модель — и именно поэтому так важно не принять её случайно за простую. Если в условии срок небольшой, а сумма меняется один раз, ошибка модели стоит немного. Но на пяти-семи годах разница уже исчисляется десятками тысяч рублей, и неверная модель гарантированно уводит ответ мимо.

Периоды капитализации

Часто банк указывает годовую ставку, но начисляет проценты чаще — ежемесячно или ежеквартально. В этом случае нельзя возводить годовой множитель в степень числа лет: периодов больше, и каждый из них короче. Правильный порядок такой: сначала находим ставку за один период делением годовой ставки на число периодов в году, а затем возводим множитель в степень, равную общему числу периодов за весь срок.

Пример 4. Вклад $100\,000$ рублей лежит под двенадцать процентов годовых с ежемесячной капитализацией ровно один год. Нужно найти итоговую сумму.

Месячная ставка: $r = 0{,}12 / 12 = 0{,}01$. Число периодов: $n = 12$.

$A = 100\,000 \cdot (1 + 0{,}01)^{12} = 100\,000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 100\,000 \cdot 1{,}1268 = 112\,683 \text{ руб.}$

Видно, что $12\%$ с ежемесячной капитализацией дали примерно $12{,}68\%$ реального роста, а не $12\%$. Чем чаще начисление — тем больше итог.

Обратная задача: найти ставку

Иногда известны начальная и конечная суммы, а спрашивают ставку. Тогда из формулы извлекают корень.

Пример 5. Вклад вырос с $50\,000$ до $60\,500$ рублей за $2$ года при ежегодной капитализации. Какова годовая ставка?

$50\,000 \cdot (1 + r)^2 = 60\,500 \;\Rightarrow\; (1 + r)^2 = \frac{60\,500}{50\,000} = 1{,}21$

Извлекаем корень: $1 + r = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1$, значит ставка равна десяти процентам. Брать отрицательный корень не нужно: множитель роста заведомо положителен, поэтому подходит только знак плюс.

Ставка получилась круглой не случайно. В экзаменационных задачах числа подбирают так, чтобы корень извлекался точно, без приближений. Если при решении корень не извлекается аккуратно, это почти всегда сигнал арифметической ошибки на предыдущем шаге — стоит перепроверить деление сумм.

Обратная задача: найти срок

Когда спрашивают, через сколько лет вклад дорастёт до нужной суммы, ответ обязан быть целым числом лет. Деньги начисляют раз в год, поэтому «три с небольшим года» округляют только вверх, до целого. Срок ищут либо подбором степеней множителя, либо логарифмированием — оба способа дают один и тот же результат, и подбор для экзамена обычно быстрее.

Пример 6. Нужно понять, через сколько лет вклад $100\,000$ рублей под восемь процентов годовых впервые превысит $127\,000$ рублей.

$100\,000 \cdot 1{,}08^n > 127\,000 \;\Rightarrow\; 1{,}08^n > 1{,}27$

Проверяем степени: $1{,}08^3 \approx 1{,}2597$ — ещё мало; $1{,}08^4 \approx 1{,}3605$ — уже больше $1{,}27$. Значит наименьшее подходящее $n = 4$.

Тот же ответ даёт логарифм: $n = \dfrac{\ln 1{,}27}{\ln 1{,}08} \approx \dfrac{0{,}239}{0{,}077} \approx 3{,}1$, и округление вверх снова приводит к четырём годам. Округлять вниз здесь нельзя категорически: за три года сумма ещё не дотягивает до цели, и если записать в ответ три, формально условие «превысит» окажется невыполненным. Это и есть тонкое место задачи — она проверяет не только умение возводить в степень, но и понимание, что время начисляется порциями по году. Половины года в такой модели не существует: банк либо начислил процент за полный период, либо ещё нет.

Сравнение вариантов вложения

В задании 17 часто спрашивают, какой из двух вкладов выгоднее. Считаем оба итога и сравниваем.

Пример 7. Что выгоднее: $300\,000$ рублей под $10\%$ на $3$ года или под $11\%$ на $2$ года?

Вариант А: $300\,000 \cdot 1{,}1^3 = 300\,000 \cdot 1{,}331 = 399\,300$ рублей.

Вариант Б: $300\,000 \cdot 1{,}11^2 = 300\,000 \cdot 1{,}2321 \approx 369\,630$ рублей.

Вариант А выгоднее: более длинный срок при сложном проценте перевешивает чуть большую ставку второго варианта. Здесь важно не угадывать на глаз, а честно посчитать обе суммы и только потом сравнить — иногда более высокая ставка действительно побеждает, а иногда, как в этом примере, решает именно лишний год работы процентов. Общего правила «больший процент всегда лучше» не существует, поэтому единственный надёжный путь — довести оба варианта до конкретного числа рублей.

Типовые задачи ЕГЭ

В задании 8 процентный рост встречается в коротком виде: разовая наценка, цепочка скидок, рост вклада за два-три года. В задании 17 (финансовая задача) сложный процент — основа модели кредита: ежегодно долг растёт на процент банка, а платёж его уменьшает. Полностью кредитную схему разбираем на странице финансовых задач, а на странице про экономическое содержание — наценки и себестоимость.

Базовый навык работы с процентами как с долями целого закрепляет страница задач на проценты — начни с неё, если проценты пока даются с трудом.

Отдельно стоит потренировать чтение условия. Экзамен редко пишет «сложный процент» прямо, чаще он маскирует модель словами «ежегодно», «на остаток», «к вкладу прибавляются проценты». Научись выделять в условии три величины: начальную сумму, ставку за один период и число периодов. Как только эти три числа выписаны, остальная задача — механическая подстановка в формулу. Большинство ошибок случается не на этапе вычислений, а раньше, когда школьник неправильно понял, от чего считается процент и сколько всего периодов начисления укладывается в срок.

Распространённые ошибки

Считать сложный процент как простой. «$10\%$ годовых за $2$ года — это $+20\%$» неверно при капитализации: правильный множитель $1{,}1^2 = 1{,}21$, то есть рост на $21\%$.

Не делить годовую ставку на число периодов. При ежемесячной капитализации в формулу идёт месячная ставка $r/12$, а не годовая.

Складывать проценты скидок. Две скидки $15\%$ и $10\%$ дают множитель $0{,}85 \cdot 0{,}9 = 0{,}765$, то есть итоговую скидку $23{,}5\%$, а не $25\%$.

Округлять срок вниз. При поиске числа лет округляют только вверх — иначе сумма не дотянет до цели.

Путать «на сколько процентов» и «во сколько раз». Рост в $1{,}5$ раза — это $+50\%$, а не $+150\%$. Всегда переводи множитель в процент аккуратно.

Что запомнить

Сложный процент: $A = A_0 \cdot (1 + r)^n$. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $1 + r$.

Любое изменение на $p\%$ — это множитель $(1 \pm p/100)$; несколько изменений — произведение множителей.

При частой капитализации ставку за период считают делением годовой на число периодов, а показатель степени равен числу периодов.

Срок вклада всегда округляют вверх до целого года.