Задачи на процентный рост — это задания 8 и 17 ЕГЭ. Ключевой вопрос: это простой процент или сложный? В большинстве случаев в ЕГЭ 2026 — сложный (с капитализацией).

Простой vs сложный процент

Простой процент: A=A0⋅(1+r⋅n)A = A_0 \cdot (1 + r \cdot n)

Проценты начисляются на исходную сумму каждый период.

Сложный процент: A=A0⋅(1+r)nA = A_0 \cdot (1 + r)^n

Проценты начисляются на накопленную сумму (с учётом предыдущих начислений).

Когда использовать:

  • В задаче написано «с капитализацией» / «ежегодно начисляются» → сложный
  • «Процент на остаток» в банке → сложный
  • Простая задача на скидки/наценки → обычно простой (умножение)

Разовый рост (одна операция)

Задача. Цена товара 5000 руб. Наценка 15%. Найти новую цену.

A=5000⋅(1+0,15)=5000⋅1,15=5750 руб.A = 5000 \cdot (1 + 0{,}15) = 5000 \cdot 1{,}15 = 5750 \text{ руб.}

Задача. Снизили цену на 20%, потом ещё на 10%. Начальная цена 10 000 руб. Найти итоговую.

A=10 000⋅0,8⋅0,9=10 000⋅0,72=7200 руб.A = 10\,000 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}9 = 10\,000 \cdot 0{,}72 = 7200 \text{ руб.}

Важно: две скидки — НЕ одна скидка 30%. Это разные вещи.

Сложный процент за n периодов

Задача. Вложили 200 000 руб. под 10% годовых на 5 лет. Сколько будет?

A=200 000⋅(1+0,10)5=200 000⋅1,15A = 200\,000 \cdot (1 + 0{,}10)^5 = 200\,000 \cdot 1{,}1^5

1,12=1,211{,}1^2 = 1{,}21; 1,14=1,212=1,46411{,}1^4 = 1{,}21^2 = 1{,}4641; 1,15=1,4641⋅1,1=1,610511{,}1^5 = 1{,}4641 \cdot 1{,}1 = 1{,}61051

A=200 000⋅1,61051≈322 102 руб.A = 200\,000 \cdot 1{,}61051 \approx 322\,102 \text{ руб.}

Периоды капитализации

Ставка «12% годовых, начисление ежемесячно»:

  • r=0,12/12=0,01r = 0{,}12 / 12 = 0{,}01 (ставка за месяц)
  • nn — число месяцев

Задача. Вклад 100 000 руб. под 12% годовых с ежемесячной капитализацией на 1 год.

A=100 000⋅(1+0,01)12=100 000⋅1,0112A = 100\,000 \cdot (1 + 0{,}01)^{12} = 100\,000 \cdot 1{,}01^{12}

1,0112≈1,12681{,}01^{12} \approx 1{,}1268

A≈112 680 руб.A \approx 112\,680 \text{ руб.}

Заметь: 12% с капитализацией дают больше, чем 12% без капитализации (12 000 руб.). Это эффект сложного процента.

Задача «найти ставку»

Задача. Вклад вырос с 50 000 до 60 500 руб. за 2 года. Какова годовая ставка (ежегодная капитализация)?

50 000⋅(1+r)2=60 50050\,000 \cdot (1 + r)^2 = 60\,500 (1+r)2=60 50050 000=1,21(1 + r)^2 = \frac{60\,500}{50\,000} = 1{,}21 1+r=1,21=1,11 + r = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1 r=0,1=10%r = 0{,}1 = 10\%

Задача «найти срок»

Задача. Через сколько лет вклад 100 000 руб. под 8% годовых вырастет до 127 000 руб.?

100 000⋅1,08n=127 000100\,000 \cdot 1{,}08^n = 127\,000 1,08n=1,271{,}08^n = 1{,}27

Логарифмируем: n=ln⁡1,27ln⁡1,08≈0,2390,0770≈3,1n = \frac{\ln 1{,}27}{\ln 1{,}08} \approx \frac{0{,}239}{0{,}0770} \approx 3{,}1

Округляем вверх: n=4n = 4 года (через 4 года точно превысит 127 000).

Задача на сравнение: что выгоднее?

Задача. Что выгоднее: вложить 300 000 руб. под 10% годовых на 3 года или под 11% на 2 года?

Вариант A: 300 000⋅1,13=300 000⋅1,331=399 300300\,000 \cdot 1{,}1^3 = 300\,000 \cdot 1{,}331 = 399\,300

Вариант B: 300 000⋅1,112=300 000⋅1,2321=369 630300\,000 \cdot 1{,}11^2 = 300\,000 \cdot 1{,}2321 = 369\,630

Ответ: Вариант A выгоднее.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Прибавить проценты дважды как если бы они простые: «10% годовых за 2 года = +20%». Нет.

Ошибка 2. При ежемесячной капитализации годовую ставку не делить на 12.

Ошибка 3. При «скидка 15%, потом ещё 10%» сложить скидки (будет 25%). На самом деле 0,85⋅0,9=0,7650{,}85 \cdot 0{,}9 = 0{,}765, т.е. скидка 23,5%.

Ошибка 4. При нахождении срока округлять вниз (а не вверх).

Чек-лист

  • Знаю формулу сложного процента A=A0(1+r)nA = A_0(1+r)^n
  • Умею делить годовую ставку на число периодов
  • Знаю, что две скидки — не одна скидка (произведение, не сумма)
  • При поиске срока — логарифмирую и округляю вверх

Связанные темы