Задачи на время и скорость: продвинутые приёмы

Задачи на движение — один из самых частых сюжетов задания 8, и базовые формулы в них элементарны. Но именно простота расслабляет: настоящие баллы здесь теряют не на формулах, а на тонких местах — средней скорости, встречном движении, составных маршрутах и течении реки. Эта страница как раз про продвинутые приёмы: мы пройдём все типовые ловушки, разберём по примеру каждого типа и выпишем приёмы, которые превращают запутанное условие в простое уравнение. Если базовые задачи на движение пока даются с трудом, начни с фундамента — страницы задач на движение, а сюда возвращайся за нестандартными случаями.

Базовые формулы

В основе всего лежит одна связь между путём, скоростью и временем:

$S = v \cdot t, \quad v = \frac{S}{t}, \quad t = \frac{S}{v}$

Три записи — это одно и то же равенство, выраженное относительно разных величин. Зная любые две из трёх, всегда находишь третью. Единицы измерения нужно согласовывать: путь обычно в километрах или метрах, скорость — в километрах в час или метрах в секунду, время — в часах или секундах. Главное правило: если скорость дана в километрах в час, то время бери в часах, а путь получится в километрах. Смешивать минуты с километрами в час нельзя — это самый частый источник ошибок в простых на вид задачах. Поэтому первым делом приведи все величины к согласованным единицам и только потом подставляй их в формулу.

Средняя скорость: ловушка

Средняя скорость — общий путь делить на общее время:

$v_{\text{ср}} = \frac{S_{\text{total}}}{t_{\text{total}}}$

Ловушка: если первую половину пути ехали со скоростью $v_1$, вторую — со скоростью $v_2$, средняя скорость не равна $\dfrac{v_1 + v_2}{2}$.

Правильно: $v_{\text{ср}} = \dfrac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ — гармоническое среднее.

Эту формулу полезно не запоминать, а уметь выводить — тогда её никогда не перепутаешь с полусуммой. Пусть каждая половина пути равна $S$, тогда весь путь равен $2S$. Время на первой половине равно $t_1 = \dfrac{S}{v_1}$, на второй — $t_2 = \dfrac{S}{v_2}$. Средняя скорость по определению — это весь путь, делённый на всё время:

$v_{\text{ср}} = \dfrac{2S}{S/v_1 + S/v_2} = \dfrac{2}{1/v_1 + 1/v_2} = \dfrac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Расстояние $S$ сократилось — и это закономерно: средняя скорость не зависит от длины пути, а только от двух скоростей. Главный вывод вывода в том, что усреднять нужно не сами скорости, а время, проведённое на каждом участке, и формула гармонического среднего как раз это учитывает.

Пример 1. Туда — 60 км/ч, обратно — 40 км/ч. Средняя скорость?

$v_{\text{ср}} = \dfrac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = \dfrac{4800}{100} = 48$ км/ч.

Ответ: 48 км/ч, а не 50 км/ч.

Почему средняя меньше полусуммы? Потому что на медленном участке машина проводит больше времени, и медленная скорость «весит» в среднем сильнее. Полусумма дала бы пятьдесят, но это неверно: правильное среднее всегда смещено в сторону меньшей скорости. Запомни: складывать и делить пополам можно только при равном времени на каждом участке, а в задачах про «туда и обратно» равны не времена, а расстояния, поэтому работает именно гармоническое среднее.

Встречное движение

Два объекта движутся навстречу. Расстояние $S$, скорости $v_1$ и $v_2$.

$t_{\text{встречи}} = \frac{S}{v_1 + v_2}$

Место встречи от первого объекта: $d_1 = v_1 \cdot t_{\text{встречи}}$.

Пример 2. Из A и B навстречу выехали два автомобиля. $AB = 300$ км. Первый — 80 км/ч, второй — 70 км/ч. Через сколько встретятся и где?

$t = \dfrac{300}{80+70} = \dfrac{300}{150} = 2$ ч.

Первый проедет $80 \cdot 2 = 160$ км от A. Второй — $70 \cdot 2 = 140$ км от B.

Ответ: через 2 часа, в 160 км от A.

Ключевая идея встречного движения — скорость сближения. Когда два объекта едут навстречу, расстояние между ними сокращается со скоростью, равной сумме их скоростей, ведь каждый «съедает» свою часть пути. Поэтому время до встречи — это начальное расстояние, делённое на сумму скоростей. Найдя момент встречи, легко найти и место: умножаешь скорость любого из объектов на время и получаешь, сколько он успел проехать. Удобно проверять ответ так: расстояния, пройденные обоими объектами до встречи, в сумме должны давать ровно начальное расстояние между ними. Если эта проверка не сходится, в решении ошибка.

Погоня (попутное движение)

Первый объект движется со скоростью $v_1 > v_2$, начальное расстояние $S$.

$t_{\text{поимки}} = \frac{S}{v_1 - v_2}$

Пример 3. Велосипедист выехал на 30 мин раньше автомобиля. Скорость велосипедиста 15 км/ч, автомобиля 45 км/ч. Через сколько автомобиль догонит велосипедиста?

За 30 минут велосипедист проедет $15 \cdot 0{,}5 = 7{,}5$ км.

$t = \dfrac{7{,}5}{45 - 15} = \dfrac{7{,}5}{30} = 0{,}25$ ч = 15 мин.

Ответ: через 15 минут после выезда автомобиля.

Логика погони зеркальна встречному движению. Здесь оба объекта едут в одну сторону, и расстояние между ними сокращается со скоростью, равной разности скоростей, — быстрый постепенно нагоняет медленного. Поэтому время поимки равно начальному отрыву, делённому на разность скоростей. Важно правильно найти этот начальный отрыв: в задаче велосипедист выехал раньше, поэтому к моменту старта автомобиля он уже был в семи с половиной километрах впереди, и именно это расстояние машине предстоит сократить. Типичная ошибка — считать отрыв от момента старта первого объекта, а не второго. Всегда определяй расстояние между объектами на тот момент, с которого начинается погоня.

Движение по кругу (встреча на трассе)

Движение по кругу — та же логика встречного и попутного движения, только расстоянием служит длина круга. Если два объекта движутся по замкнутой трассе длиной $L$:

• Навстречу: до первой встречи они вместе должны пройти один полный круг, поэтому $t = \dfrac{L}{v_1 + v_2}$.
• Попутно: быстрый должен обогнать медленного ровно на круг, поэтому $t = \dfrac{L}{|v_1 - v_2|}$.

Главное здесь — понять, какое расстояние объекты «закрывают» до встречи. При движении навстречу они вместе проходят целый круг, при движении в одну сторону быстрый набирает на медленного целый круг отрыва. Дальше всё сводится к тем же формулам сближения, что и на прямой дороге, только вместо начального расстояния стоит длина трассы.

Задача с двумя этапами (составной маршрут)

Пример 4 (задание 8). Автобус проехал 120 км за 2 ч, затем остановился на 30 мин, затем ехал ещё 80 км. Средняя скорость на всём маршруте — 40 км/ч. Какова скорость автобуса на втором этапе?

Общий путь: $120 + 80 = 200$ км.

Общее время: $\dfrac{200}{40} = 5$ ч.

Время остановки: $0{,}5$ ч. Время первого этапа: $2$ ч.

Время второго этапа: $5 - 2 - 0{,}5 = 2{,}5$ ч.

Скорость второго этапа: $\dfrac{80}{2{,}5} = 32$ км/ч.

Ответ: 32 км/ч.

Эта задача показывает, как через среднюю скорость находят недостающую величину. Сначала по средней скорости и общему пути восстанавливают общее время, потому что средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время в пути. Затем из общего времени вычитают известные куски: время первого этапа и время стоянки. Остаётся время второго этапа, по которому уже легко найти его скорость. Обрати внимание, что стоянка вошла в общее время: машина её провела на маршруте, и средняя скорость учитывает этот простой. Если бы стоянку забыли вычесть, время второго этапа получилось бы больше, а скорость — заниженной.

Задача с потоком (лодка, самолёт)

В задачах про лодку, плот или самолёт у объекта есть собственная скорость и есть скорость потока, которая ему помогает или мешает. Обозначим скорость лодки в стоячей воде буквой $v$, а скорость течения — буквой $u$. Тогда по течению река разгоняет лодку, и её скорость равна сумме $v + u$, а против течения река тормозит, и скорость равна разности $v - u$.

Пример 5. Лодка проходит по течению 60 км за 3 часа, а против течения те же 60 км за 5 часов. Найди собственную скорость лодки и скорость течения.

Скорость по течению равна $60 : 3 = 20$ км/ч, скорость против течения равна $60 : 5 = 12$ км/ч. Записываем два равенства: $v + u = 20$ и $v - u = 12$. Сложив их, получаем $2v = 32$, откуда $v = 16$ км/ч. Вычтя одно из другого, находим $2u = 8$, то есть $u = 4$ км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки 16 км/ч, скорость течения 4 км/ч.

Приём здесь стандартный: скорости по течению и против течения дают систему из суммы и разности, а сумма и разность мгновенно решаются сложением и вычитанием. Этот же подход работает и для самолёта с попутным или встречным ветром — меняются только слова, а математика остаётся той же.

Алгоритм решения задач на движение

Любую задачу на движение удобно решать по одной схеме. Сначала обозначь буквами неизвестные величины — скорость, время или путь, смотря что спрашивают. Затем выпиши всё, что дано в условии: скорости участников, расстояния, времена, отрывы. Обязательно приведи единицы к согласованным: минуты переведи в часы, метры в километры, если это нужно. После этого составь уравнение — либо через базовую связь пути, скорости и времени, либо через специальную формулу выбранного типа: сближение для встречного движения, разность скоростей для погони, сумму и разность для течения. Реши уравнение и обязательно проверь ответ, подставив его обратно в условие.

Самый важный навык — правильно определить тип задачи по словам. «Навстречу» означает сумму скоростей, «вдогонку» или «в одном направлении» — разность, «по течению и против» — систему из суммы и разности, «средняя скорость на всём пути» — общий путь, делённый на всё время. Стоит научиться мгновенно сопоставлять формулировку условия с нужной формулой, и тогда задачи на движение перестают быть проблемными.

Применение в задании 8 ЕГЭ

В задании 8 задачи на движение встречаются почти в каждом варианте, балл за них один, а время на решение — две-четыре минуты. Базовые задачи решаются прямой подстановкой в формулу пути, скорости и времени, а сложные — через средние скорости, сближение или систему уравнений для течения. Полезно держать рядом тему задач на работу: там та же логика, только вместо скорости и расстояния — производительность и работа, и приёмы переносятся почти без изменений.

Частые ошибки

Средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Всегда считай среднюю как общий путь, делённый на общее время. Полусумма скоростей верна только при равном времени на участках, чего в задачах «туда и обратно» не бывает.

Не переводить единицы. Тридцать минут это половина часа, девяносто минут — полтора часа. Если оставить минуты рядом со скоростью в километрах в час, ответ будет в десятки раз неверным.

Путать встречное и попутное движение. При встречном движении скорости складываются, при погоне — вычитаются. Перепутать знак — значит получить бессмысленное время.

Неправильно учитывать стоянку. Если в маршруте есть остановка и спрашивают среднюю скорость на всём пути, время стоянки обязательно входит в общее время — ведь часть пути машина не двигалась. А вот если стоянку нужно исключить, чтобы найти скорость движущегося этапа, её время вычитают из общего. Внимательно читай, о каком времени идёт речь.

Связь с другими темами

• Задачи на движение (базовый) — основные схемы.
• Задачи на работу — аналогичные составные задачи.

Что запомнить

В основе всех задач лежит связь пути, скорости и времени. Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время, а не полусумма скоростей. При встречном движении скорости складываются, при погоне — вычитаются, а для движения по реке составляют систему из суммы и разности. Всегда согласовывай единицы измерения и проверяй ответ подстановкой в условие.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 8 — текстовые задачи на движение, средняя скорость, составные маршруты.