Задание 10 ЕГЭ профиль — текстовые задачи на движение, работу, смеси и проценты

Задание 10 — текстовая задача повышенного уровня. Один балл, краткий ответ, но именно здесь чаще всего теряют лёгкие баллы из-за невнимательного чтения условия. Хорошая новость: все типы решаются по одной схеме — перевести слова в уравнение и аккуратно его решить. Разберём пять самых частых сюжетов и научимся не теряться в тексте.

Что проверяет задание 10

ФИПИ формулирует тему задания так: «решение текстовой задачи средствами математики». На практике это значит, что из словесного условия нужно составить уравнение или систему уравнений, решить и проверить ответ на здравый смысл.

Что важно держать в голове:

• задание относится к повышенному уровню (часть с кратким ответом), даёт 1 балл;
• в ответ записывается только число — например, скорость, время или процент;
• источник ошибок почти всегда один — неверно составленное уравнение, а не арифметика.

Поэтому главный навык здесь — перевод текста в математическую модель. Дальше — обычное уравнение из школьной алгебры.

Тип 1: задачи на движение

Самый частый сюжет. Опорная формула связывает путь, скорость и время:

$s = v \cdot t$

Ключевые соотношения, которые надо помнить:

• движение навстречу — скорости складываются: $v_{\text{сбл}} = v_1 + v_2$;
• движение вдогонку — скорости вычитаются: $v_{\text{сбл}} = v_1 - v_2$;
• путь туда и обратно — складываем время каждого участка: $t = \dfrac{s}{v_1} + \dfrac{s}{v_2}$.

Пример. Из пункта А вышел пешеход со скоростью $5$ км/ч. Через $2$ часа навстречу ему из пункта Б выехал велосипедист со скоростью $15$ км/ч. Расстояние между пунктами — $60$ км. Через сколько часов после выезда велосипедиста они встретятся?

Решение. За первые $2$ часа пешеход прошёл $5 \cdot 2 = 10$ км, значит до встречи осталось $60 - 10 = 50$ км. Скорость сближения равна $5 + 15 = 20$ км/ч. Время до встречи:

$t = \frac{50}{20} = 2{,}5 \text{ ч}.$

Ответ: через $2{,}5$ часа после выезда велосипедиста.

Подробный разбор всех сюжетов на движение — в теме задачи на движение.

Тип 2: задачи на совместную работу

Главная идея: производительности складываются. Если объект выполняет всю работу за $a$ часов, его производительность равна $\dfrac{1}{a}$ работы в час. При совместной работе:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t},$

где $t$ — время совместной работы.

Пример. Первая труба наполняет бассейн за $6$ часов, вторая — за $4$ часа. За сколько часов они наполнят бассейн вместе?

Решение.

$\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12},$

значит совместная производительность — $\dfrac{5}{12}$ бассейна в час, а время:

$t = \frac{12}{5} = 2{,}4 \text{ ч} = 2 \text{ ч } 24 \text{ мин}.$

Ответ: $2{,}4$ часа.

Больше задач этого типа — в теме задачи на совместную работу.

Тип 3: задачи на смеси и сплавы

Опорное правило: масса чистого вещества в смеси сохраняется. Если смешали две порции с концентрациями $c_1$ и $c_2$ и массами $m_1$ и $m_2$, то итоговая концентрация $c$ удовлетворяет равенству:

$c_1 m_1 + c_2 m_2 = c \,(m_1 + m_2).$

Пример. Смешали $200$ г раствора с $30\%$ содержанием соли и $300$ г раствора с $10\%$ содержанием. Найди концентрацию полученной смеси.

Решение.

$200 \cdot 0{,}3 + 300 \cdot 0{,}1 = 500 \cdot c,$ $60 + 30 = 500c,$ $c = \frac{90}{500} = 0{,}18 = 18\%.$

Ответ: $18\%$.

Разбор задач на концентрацию и сплавы — в теме задачи на сплавы и смеси.

Тип 4: задачи на проценты

Встречаются в двух вариантах — простой и сложный рост:

$A = A_0 (1 + r n) \quad \text{(простой)}, \qquad A = A_0 (1 + r)^n \quad \text{(сложный)},$

где $r$ — доля (процент, делённый на $100$), $n$ — число периодов.

Пример. Товар стоил $8000$ рублей. После двух последовательных скидок по $10\%$ его цена стала равна:

$8000 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 8000 \cdot 0{,}81 = 6480 \text{ руб}.$

Ответ: $6480$ рублей.

Обрати внимание: две скидки по $10\%$ — это не скидка $20\%$. Именно на этом чаще всего ошибаются. Подробнее — в теме задачи на проценты.

Тип 5: задачи на части и доли

В формулировке обычно есть фразы вида «одна величина в $3$ раза больше другой, их сумма равна $40$». Здесь удобно обозначить за $x$ одну величину и выразить через неё остальные.

Алгоритм.

1. Обозначь за $x$ одну неизвестную величину.
2. Вырази остальные через $x$ по условию.
3. Составь уравнение из величины, которая сохраняется (сумма, разность, произведение).
4. Реши уравнение.
5. Проверь ответ подстановкой в исходное условие.

Пример. Сумма двух чисел равна $40$, а первое в $3$ раза больше второго. Найди меньшее число.

Решение. Пусть меньшее число — $x$, тогда большее — $3x$. По условию $x + 3x = 40$, то есть $4x = 40$, откуда $x = 10$.

Ответ: $10$.

Как выбрать неизвестное и не запутаться

Главная развилка в любой текстовой задаче — что именно обозначить за $x$. Универсального правила нет, но есть надёжная привычка: обозначай то, через что проще всего выразить остальные величины. Чаще всего это та величина, которую и спрашивают, но не всегда. В задачах на движение по реке, например, удобно ввести собственную скорость лодки, а скорость по течению и против течения выразить через неё и скорость течения.

Когда величин много, заведи короткую таблицу: в строках — участники (первый, второй, вместе), в столбцах — то, что про них известно (скорость, время, путь либо производительность, время, работа). Заполнив таблицу, ты почти всегда видишь, где спрятано уравнение: это столбец или строка, где две клетки заданы, а третья выражается формулой. Такой приём убирает половину ошибок, потому что переводит хаотичный текст в аккуратную структуру.

Ещё один полезный навык — следить за единицами измерения. Если скорость дана в километрах в час, а время — в минутах, переведи одно к другому до составления уравнения. Смешение единиц — частая причина «правильного по смыслу, но неверного по числу» ответа.

Общий алгоритм решения задания 10

1. Прочитай условие дважды — отдельно выпиши, что дано и что нужно найти.
2. Выбери неизвестное — обычно это та величина, которую спрашивают.
3. Запиши данные в таблицу — участники по строкам, величины по столбцам.
4. Составь уравнение из соотношения, которое связывает величины.
5. Реши уравнение и найди все корни.
6. Отбрось лишние корни — отрицательное время или массу.
7. Запиши ответ в нужных единицах.

Отдельно стоит сказать про проверку. В заданиях с кратким ответом легко поддаться искушению записать первый полученный корень и идти дальше. Но именно текстовые задачи коварны: уравнение часто квадратное, и один из корней не подходит по смыслу. Привычка подставлять найденное значение обратно в условие занимает тридцать секунд, а спасает целый балл.

Типичные ошибки в задании 10

Проверь себя

С чего начать подготовку

Если какой-то из типов пока даётся тяжело — открой соответствующую тему в учебнике и прорешай её отдельно, прежде чем браться за смешанные варианты. Сильнее всего экономит время навык быстро видеть, какая величина в задаче сохраняется: расстояние, объём работы, масса вещества или сумма долей.