Задание 8 — одна из двух текстовых задач части 2. Оно даёт 4 балла и, несмотря на «страшный» вид, решается по чёткой схеме. Разберём все типы и научимся не теряться в условии.

Что проверяет задание 8

ФИПИ формулирует так: «решение текстовой задачи средствами математики». На практике это задачи, где нужно составить уравнение или систему из словесного условия.

Что оценивают:

  • Умение перевести текст в математическую модель
  • Правильность уравнения/системы
  • Правильный ответ с учётом ОДЗ и здравого смысла

Баллы: максимум 4 (2 за правильную запись, 2 за правильный ответ).

Тип 1: Задачи на движение

Самый частый тип. Используется формула:

s=v⋅ts = v \cdot t

Ключевые отношения:

  • Навстречу: v1+v2v_1 + v_2 (скорости складываются)
  • Вдогонку: v1−v2v_1 - v_2 (скорости вычитаются)
  • Туда-обратно: t=sv1+sv2t = \frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2}

Пример. Из города А в город Б вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через 2 часа ему навстречу выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Расстояние между городами 60 км. Через сколько часов после выезда велосипедиста они встретятся?

Решение:

  • За первые 2 часа пешеход прошёл 5⋅2=105 \cdot 2 = 10 км
  • Осталось 50 км до встречи
  • Скорость сближения: 5+15=205 + 15 = 20 км/ч
  • Время встречи: 50/20=2,550 / 20 = 2{,}5 часа

Ответ: через 2,5 часа после выезда велосипедиста.

Тип 2: Задачи на совместную работу

Ключевая идея: производительность суммируется.

Если объект A выполняет работу за aa часов, его производительность = 1a\frac{1}{a} работы в час.

Формула совместной работы: 1a+1b=1t\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}

где tt — время совместной работы.

Пример. Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 4 часа. За сколько часов наполнят бассейн вместе?

Решение: 16+14=212+312=512\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}

t=125=2,4 часаt = \frac{12}{5} = 2{,}4 \text{ часа}

Ответ: 2,4 часа (или 2 ч 24 мин).

Тип 3: Задачи на концентрацию (сплавы и смеси)

Ключевое правило: масса вещества в смеси сохраняется.

c1⋅m1+c2⋅m2=c3⋅(m1+m2)c_1 \cdot m_1 + c_2 \cdot m_2 = c_3 \cdot (m_1 + m_2)

где cc — концентрация (доля), mm — масса.

Пример. Смешали 200 г раствора с 30% содержанием соли и 300 г раствора с 10% содержанием. Найти концентрацию смеси.

Решение: 200⋅0,3+300⋅0,1=500⋅c200 \cdot 0{,}3 + 300 \cdot 0{,}1 = 500 \cdot c 60+30=500c60 + 30 = 500c c=90500=0,18=18%c = \frac{90}{500} = 0{,}18 = 18\%

Ответ: 18%.

Тип 4: Задачи на экономику и процент

Встречаются реже, но бывают. Основные формулы:

Простой рост: A=A0⋅(1+r⋅n)A = A_0 \cdot (1 + r \cdot n)

Сложный процент: A=A0⋅(1+r)nA = A_0 \cdot (1 + r)^n

Пример. Товар стоил 8000 руб. После двух последовательных скидок по 10% его цена стала: 8000⋅0,9⋅0,9=8000⋅0,81=6480 руб.8000 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 8000 \cdot 0{,}81 = 6480 \text{ руб.}

Тип 5: Задачи на части и доли

Часто в формулировке: «старший в 3 раза старше младшего, их сумма 40 лет». Составляй уравнение от одного неизвестного.

Алгоритм:

  1. Обозначь одну величину через xx
  2. Вырази остальные через xx по условию
  3. Составь уравнение из сохраняющейся величины (сумма, разность, произведение)
  4. Реши
  5. Проверь ответ подстановкой в условие

Общий алгоритм решения задания 8

  1. Прочитай внимательно — что дано, что найти
  2. Выбери неизвестное — обычно то, что ищут
  3. Составь уравнение — из условия задачи
  4. Реши уравнение
  5. Проверь ОДЗ: скорость, время, масса — не могут быть отрицательными
  6. Запиши ответ — с указанием единиц измерения

Типичные ошибки в задании 8

Ошибка 1. Неверно составить уравнение из-за невнимательного прочтения условия. Перечитай ещё раз.

Ошибка 2. Забыть проверить ОДЗ. Если x=−5x = -5 часов — это бессмысленно. Всегда проверяй физический смысл.

Ошибка 3. В задачах на движение путать «встретились через X часов» и «встретились через X часов после старта первого». Читай внимательно.

Ошибка 4. В задачах на смеси перепутать концентрацию и массу вещества.

Ошибка 5. Не записать решение — только ответ. Задание оценивается по ходу решения, без записи теряешь 2 балла.

Чек-лист по заданию 8

  • Умею составлять уравнение из условия задачи на движение
  • Знаю формулу производительности и совместной работы
  • Понимаю принцип сохранения массы вещества в задачах на смеси
  • Всегда проверяю ОДЗ и физический смысл ответа
  • Записываю ход решения полностью

Связанные темы

В Сотах задание 8 тренируется отдельно — сначала базовые типы, потом смешанные. Система сама выбирает тип, который пока не выходит.