Задачи на совместную работу: формулы и решение

Задачи на совместную работу — один из стабильных типов текстовых задач профильного ЕГЭ. Они встречаются почти в каждом варианте и решаются по чёткому алгоритму, если усвоить одну идею: у каждого исполнителя есть производительность — доля работы, которую он успевает сделать за единицу времени, — и эти доли складываются. Дальше всё сводится к простому уравнению. На этой странице мы разберём базовую формулу, три типовых сюжета и научимся не попадаться на главную ловушку темы — сложение времён вместо скоростей работы. Логика здесь абсолютно та же, что в задачах про трубы и бассейны: исполнители просто заменены на людей или механизмы. Поэтому, освоив один тип, ты автоматически решаешь и остальные — меняются только декорации условия, а математика остаётся одной и той же.

Главная идея: производительность

Производительность — доля работы, выполняемая за единицу времени. Это центральное понятие всей темы, и его стоит прочувствовать. Удобно считать всю работу за единицу: тогда «выполнить работу» значит «набрать единицу», а производительность напрямую показывает, какую долю целого исполнитель делает за час.

Если один исполнитель выполняет всю работу за $t$ часов, то за один час он делает во столько же раз меньше, то есть его производительность равна $\dfrac{1}{t}$ работы в час. Чем быстрее работает исполнитель, тем меньше его время и тем больше производительность — это обратная связь между двумя величинами.

Почему производительности складываются, а времена нет, стоит понять раз и навсегда. Когда двое работают одновременно, они трудятся параллельно и не мешают друг другу: за час первый делает свою долю работы, второй — свою, и вместе они выполняют сумму долей. А время — это совсем другая величина, и складывать времена двух исполнителей так же бессмысленно, как складывать скорости двух пешеходов и называть результат расстоянием. Поэтому в любой задаче на работу сначала переходи от времён к производительностям, складывай именно их, и только в самом конце возвращайся к времени.

Принцип сохранения: сумма всей выполненной работы равна единице, то есть целой работе. На этом принципе строится любое уравнение темы — сколько бы исполнителей ни участвовало, их выполненные доли в сумме дают единицу.

$\frac{t}{t_1} + \frac{t}{t_2} = 1 \quad \text{(оба работали всё время } t\text{)}$

Базовая формула

$\frac{1}{t} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$

Отсюда выражают совместное время напрямую через времена исполнителей:

$t = \dfrac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$

Эту формулу полезно знать как готовый шаблон для самого простого случая, но запоминать её необязательно — достаточно уметь складывать дроби производительностей и брать обратную величину. Важно помнить ограничение: формула справедлива только тогда, когда оба исполнителя начали работу одновременно и трудились до самого конца. Как только появляется задержка включения или кто-то уходит раньше, готовая формула не работает, и нужно возвращаться к уравнению через доли работы. Поэтому относись к формуле как к удобному ярлыку для простых задач, а не как к универсальному инструменту.

Тип 1: двое работают одновременно

Это базовый случай, с которого начинается тема. Оба исполнителя трудятся вместе от начала до конца, поэтому достаточно сложить их производительности.

Задача. Первый рабочий выполняет заказ за 6 часов, второй — за 12 часов. За сколько часов они выполнят заказ вместе?

Решение. Суммарная производительность: $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Вместе за час они делают четверть работы, значит всю работу выполнят за четыре часа. Обрати внимание: результат меньше времени каждого из исполнителей по отдельности — и это правильный признак. Совместная работа всегда быстрее самой быстрой одиночной, потому что к ней добавляется вклад второго исполнителя.

Проверка: за четыре часа первый выполнит $\dfrac{4}{6}$ работы, второй — $\dfrac{4}{12}$, в сумме $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = 1$, то есть ровно всю работу. Совпало — решение верное.

Тип 2: работают с задержкой включения

В этом сюжете исполнители стартуют в разное время, и именно тут чаще всего теряют балл. Готовая формула совместного времени уже не работает — нужно расписать долю каждого через то время, которое он реально отработал, и приравнять сумму долей к единице.

Задача. Первый выполняет работу за 10 часов, второй — за 15 часов. Первый начал работу, а через 3 часа к нему присоединился второй. Через сколько времени работа будет завершена?

Решение. Здесь готовая формула не подходит, потому что исполнители работали разное время. Обозначим общее время от начала работы первого буквой $t$ часов и распишем долю каждого.

Первый работал всё время $t$ часов, поэтому выполнил долю $\dfrac{t}{10}$.

Второй включился через три часа, значит трудился на три часа меньше — $(t - 3)$ часов, и выполнил долю $\dfrac{t-3}{15}$.

Уравнение: $\frac{t}{10} + \frac{t-3}{15} = 1$

Чтобы избавиться от дробей, умножаем обе части на наименьшее общее кратное знаменателей, равное тридцати: $3t + 2(t-3) = 30$ $5t - 6 = 30$ $t = 7{,}2 \text{ ч}$

Проверка: за всё время первый выполнил $\dfrac{7{,}2}{10} = 0{,}72$ работы, второй за свои $4{,}2$ часа — $\dfrac{4{,}2}{15} = 0{,}28$, в сумме ровно единица. Решение верное.

Ключевой момент этого типа — аккуратно записать, сколько времени работал каждый. Первый трудился всё время от начала до конца, поэтому в его доле стоит полное время $t$. Второй включился на три часа позже, значит работал на три часа меньше, и в его доле стоит $t - 3$. Самая частая ошибка здесь — забыть про задержку и приписать второму то же время, что и первому. Всегда отдельно отмечай, кто сколько часов отработал, особенно когда исполнители стартуют не одновременно.

Тип 3: трубы с наполнением и сливом

Трубы с наполнением и сливом — это та же задача на работу, только часть исполнителей работает «в минус». Принцип расстановки знаков простой: спрашивай про каждую трубу, добавляет она работу или забирает. Добавляет — плюс, забирает — минус. Дальше всё как обычно: складываем производительности с их знаками и берём обратную величину к сумме.

Задача. Бассейн наполняется через первую трубу за 4 часа, через вторую — за 6 часов. Через сливную трубу он опустошается за 12 часов. Все три трубы открыты одновременно. За сколько наполнится бассейн?

Решение. Выписываем производительности с учётом знаков:

• Труба 1: $+\dfrac{1}{4}$ (наполняет)
• Труба 2: $+\dfrac{1}{6}$ (наполняет)
• Слив: $-\dfrac{1}{12}$ (выливает)

Суммарная: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Суммарная производительность положительна, поэтому бассейн наполнится, и время равно трём часам. Здесь важно правильно расставить знаки: наполняющие трубы дают плюс, сливная — минус, ведь она убирает воду. Если бы слив случайно учли со знаком плюс, бассейн «наполнялся бы быстрее», что физически невозможно. Знак производительности — это не формальность, а отражение того, прибавляется работа или убывает.

Тип 4: разница в производительностях

В этом сюжете время исполнителей связано не множителем, а разностью или каким-то другим условием, и решение приводит уже к квадратному уравнению. Это самый «алгебраический» из типов: важно правильно ввести переменную, выразить через неё второе время и аккуратно довести уравнение до стандартного вида.

Задача. Два каменщика, работая вместе, выкладывают стену за 6 часов. Первому в одиночку нужно на 5 часов больше, чем второму. За сколько часов выложит стену каждый из них?

Обозначим время второго каменщика буквой $t$, тогда первому нужно $t + 5$ часов. Их производительности складываются и дают совместную скорость:

$\frac{1}{t} + \frac{1}{t+5} = \frac{1}{6}$

Приводим к общему знаменателю и упрощаем. После переноса всех слагаемых получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 7t - 30 = 0$

По теореме Виета корни — это числа, дающие в сумме $7$ и в произведении $-30$, то есть $t = 10$ и $t = -3$. Отрицательное время не имеет смысла, поэтому второму каменщику нужно $10$ часов, а первому — на пять больше, то есть $15$ часов. Технику решения такого уравнения даёт страница квадратных уравнений. Обязательно проверяй оба корня: квадратное уравнение почти всегда даёт два решения, и одно из них, как правило, отрицательное и физически невозможное. Отбросить его — необходимый шаг, без которого ответ считается неполным.

Алгоритм решения

Любую задачу на работу удобно решать по одной схеме. Сначала определи производительность каждого участника как единицу, делённую на его время. Затем выпиши, сколько времени работал каждый — при задержке включения эти времена различаются. После этого составь уравнение: сумма выполненных долей работы равна единице, то есть целой работе. Если время одного выражено через время другого, в уравнении остаётся одна неизвестная. Реши уравнение и обязательно проверь ответ подстановкой, а если уравнение квадратное — отбрось отрицательный корень.

Применение в задании ЕГЭ

В текстовой части профильного ЕГЭ задачи на совместную работу — регулярный сюжет. Алгоритм для всех типов одинаков: перейди от времён к производительностям, сложи их с учётом знака для слива, составь уравнение по сохранению работы и реши его. Полезно держать рядом близкие темы: совместную работу с расширенным набором сюжетов, задачи на трубы с той же логикой производительностей и задачи на движение, где скорость и расстояние ведут себя так же, как производительность и работа.

Типичные ошибки

Складывать времена вместо производительностей. Самая частая ошибка темы. Производительности складываются, времена — нет. Вдвоём всегда быстрее, поэтому совместное время меньше любого одиночного.

Забыть знак слива. У сливной трубы производительность отрицательная — она уменьшает запас работы. Поставить плюс — значит ускорить наполнение сливом, чего быть не может.

Неправильно обозначить время второго. При задержке включения второй работал на $k$ часов меньше, то есть $t - k$ часов, а не полное время $t$. Это место даёт большинство ошибок в задачах с включением.

Не отбросить лишний корень. Квадратное уравнение даёт два корня, и отрицательное время не имеет смысла. Проверь оба и оставь только осмысленный.

Когда базовый алгоритм отработан, задачи на совместную работу становятся одним из самых надёжных источников балла: они почти всегда сводятся к знакомому уравнению и редко требуют сложной алгебры. Главное — не торопиться при чтении условия, аккуратно определить время работы каждого исполнителя и не перепутать сложение производительностей со сложением времён. Этот навык переносится и на задачи про трубы, и на задачи про движение, поэтому усилия, потраченные на тему, окупаются сразу в нескольких типах текстовых задач.

Что запомнить

Производительность исполнителя — это единица, делённая на его время. Производительности складываются, а времена нет. Наполнение даёт плюс, слив — минус. Уравнение составляется по принципу сохранения работы: сумма выполненных долей равна единице. При задержке включения второй работал меньше первого, и это нужно учесть в его доле. И всегда проверяй ответ подстановкой, а в квадратных уравнениях отбрасывай отрицательный корень — отрицательного времени не бывает.