Задачи на совместную работу: формулы и решение

Задачи на совместную работу — один из типов задания 10 ЕГЭ профиль. Ключевая идея: каждый участник «делает» свою долю работы в единицу времени, суммируй доли и прировняй к 1. Разберём три типа сюжетов.

Главная идея: производительность

Производительность — доля работы, выполняемая за единицу времени.

Если работа выполняется за $t$ часов, производительность $= \dfrac{1}{t}$ (работа/час).

Принцип сохранения: сумма всей выполненной работы = 1 (целая работа).

$\frac{t}{t_1} + \frac{t}{t_2} = 1 \quad \text{(оба работали всё время } t\text{)}$

Базовая формула

$\frac{1}{t} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$

Отсюда: $t = \dfrac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$

Важно: эта формула справедлива, только если оба начали работу одновременно и работали до конца.

Тип 1: двое работают одновременно

Задача. Первый рабочий выполняет заказ за 6 часов, второй — за 12 часов. За сколько часов они выполнят заказ вместе?

Решение. Суммарная производительность: $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Время: $t = 4$ часа.

Проверка: $\dfrac{4}{6} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = 1$ ✓

Тип 2: работают с задержкой включения

Задача. Первый выполняет работу за 10 часов, второй — за 15 часов. Первый начал работу. Через 3 часа к нему присоединился второй. Когда будет завершена работа?

Решение. Пусть общее время от начала $= t$ часов.

Первый работал $t$ часов: выполнил $\dfrac{t}{10}$.

Второй работал $(t - 3)$ часов: выполнил $\dfrac{t-3}{15}$.

Уравнение: $\frac{t}{10} + \frac{t-3}{15} = 1$

Умножаем на НОК = 30: $3t + 2(t-3) = 30$ $5t - 6 = 30$ $t = 7{,}2 \text{ ч}$

Проверка: $\dfrac{7{,}2}{10} + \dfrac{4{,}2}{15} = 0{,}72 + 0{,}28 = 1$ ✓

Тип 3: трубы с наполнением и сливом

Задача. Бассейн наполняется через первую трубу за 4 часа, через вторую — за 6 часов. Через сливную трубу опустошается за 12 часов. Все три трубы открыты. За сколько наполнится бассейн?

Решение. Производительности:

• Труба 1: $+\dfrac{1}{4}$ (наполняет)
• Труба 2: $+\dfrac{1}{6}$ (наполняет)
• Слив: $-\dfrac{1}{12}$ (выливает)

Суммарная: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Время: $t = 3$ часа.

Алгоритм решения

1. Определи производительность каждого участника: $1/t_i$.
2. Пронотируй время работы каждого (они могут отличаться при задержке включения).
3. Составь уравнение: сумма всей выполненной работы = 1.
4. Реши уравнение. Проверь ответ.

Типичные ошибки

Складывать времена вместо производительностей. Самая частая ошибка. Производительности складываются, времена — нет.

Забыть знак слива. У сливной трубы производительность отрицательная — она уменьшает запас воды.

Неправильно обозначить время второго. При задержке включения второй работал $(t - k)$ часов, не $t$.