Задачи на движение — все типы с разбором решений

Задачи на движение в задании 10 встречаются почти каждый год. Сводятся к одной формуле и нескольким схемам — разберём все типы от простого к сложному. Где тут твои пробелы?

Базовая формула: $S = v \cdot t$

Всё, что происходит в задачах на движение, строится на одной формуле:

$S = v \cdot t$

где $S$ — пройденный путь (км, м), $v$ — скорость (км/ч, м/с), $t$ — время в пути (ч, с).

Из неё выводятся две производные:

$v = \frac{S}{t}, \quad t = \frac{S}{v}$

Важный момент с размерностями: если скорость задана в км/ч, а время в минутах — переводи минуты в часы (делишь на 60). Смешивать единицы в одном выражении нельзя.

Велосипедист едет со скоростью 15 км/ч, проехал 45 км. Сколько времени он был в пути?

Алгоритм решения задачи на движение

Любую задачу на движение решают по одной схеме:

1. Введи переменную. Обозначь неизвестное через $x$ — обычно то, о чём спрашивают (скорость, время, расстояние).
2. Выразь остальное. Если у первого объекта скорость $x$, у второго в условии задана зависимость — выражаешь через $x$.
3. Составь выражения $S = v \cdot t$ для каждого объекта или участка пути.
4. Запиши уравнение из условия: суммарный путь, время встречи, разница расстояний и т.д.
5. Реши уравнение и проверь смысл. Скорость и время не могут быть отрицательными.

В какой момент работы нужно проверить смысл ответа?

Тип 1 — встречное движение

Два объекта движутся навстречу друг другу. Расстояние между ними каждый час уменьшается на сумму их скоростей:

$v_{\text{сближения}} = v_1 + v_2$

Время до встречи:

$t = \frac{S}{v_1 + v_2}$

Схема: A ──────────── B, оба движутся к центру.

Это самый простой тип: составляешь одно линейное уравнение или сразу вычисляешь время по формуле выше.

Два поезда вышли навстречу друг другу из городов A и B, расстояние между которыми 300 км. Скорости: 80 и 70 км/ч. Когда встретятся?

Тип 2 — движение вдогонку

Один объект догоняет другой. Первый вышел позже или движется быстрее. Расстояние между ними уменьшается на разность скоростей:

$v_{\text{сближения}} = v_1 - v_2, \quad v_1 > v_2$

Время, через которое быстрый догонит медленного (если оба вышли одновременно с расстоянием $d$ между ними):

$t = \frac{d}{v_1 - v_2}$

Если один вышел раньше другого на $\Delta t$ часов, сначала найди форфору: $d = v_2 \cdot \Delta t$.

Мотоцикл (60 км/ч) догоняет велосипедиста (20 км/ч), который выехал на 2 ч раньше. Чему равна фора велосипедиста к моменту старта мотоцикла?

Тип 3 — движение по реке

Классика задания 9. Вводятся две переменные: $v$ — собственная скорость лодки (в стоячей воде), $u$ — скорость течения реки.

Скорости на воде:

$v_{\text{по течению}} = v + u, \quad v_{\text{против течения}} = v - u$

Физический смысл: по течению лодку несёт вода, скорости складываются. Против течения вода тормозит — скорости вычитаются.

Собственная скорость лодки — это то, что даёт мотор или вёсла, без реки. Скорость течения — это «бонус» или «штраф» от реки. Они разные величины, не путай.

Если знаешь время в обе стороны и расстояние, получаешь систему двух уравнений — именно такую задачу разберём в примере 2.

Лодка плывёт по течению со скоростью 12 км/ч, против течения — 8 км/ч. Чему равна скорость течения реки?

Тип 4 — средняя скорость

Объект прошёл несколько участков пути с разными скоростями. Средняя скорость:

$v_{\text{ср}} = \frac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}$

где $S_{\text{общ}}$ — суммарный путь, $t_{\text{общ}}$ — суммарное время.

Средняя скорость НЕ равна среднему арифметическому скоростей. Если ехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, вторую — со скоростью 60 км/ч, средняя скорость равна 40 км/ч, а не 45. На медленном участке ты проводишь больше времени — он сильнее тянет среднюю вниз.

Почему при равных расстояниях (а не равном времени) средняя скорость — это гармоническое среднее, а не арифметическое?

Шаг 4. Проверка: $4{,}5 + 0{,}5 = 5$ км/ч по течению, $4{,}5 - 0{,}5 = 4$ км/ч против течения. За 4 ч по течению: $5 \cdot 4 = 20$ км. За 5 ч против: $4 \cdot 5 = 20$ км. Совпадает.

Ответ: собственная скорость лодки $4{,}5$ км/ч, скорость течения $0{,}5$ км/ч.

Типичная ошибка. Перепутать «по течению» и «против течения»: по течению скорость больше ($v + u > v - u$), поэтому то же расстояние проходится быстрее. Если у тебя получилось, что против течения быстрее — где-то ошибся в знаке.

Пример 3 (уровень В, средняя скорость — faded: два шага свёрнуты). Велосипедист ехал первую половину пути со скоростью 12 км/ч, вторую половину — со скоростью 18 км/ч. Найди среднюю скорость на всём пути.

Решение.

Обозначим каждую половину пути за $S$ (км). Тогда суммарный путь равен $2S$.

Шаг 1. Найди время на каждом участке:

$t_1 = \frac{S}{12}, \quad t_2 = \frac{S}{18}$

Попробуй сам: найди суммарное время $t = t_1 + t_2$, приведи к общему знаменателю.

Шаг 2. Запиши формулу средней скорости и подставь:

$v_{\text{ср}} = \frac{2S}{t}$

Попробуй сам: подставь $t = \frac{5S}{36}$ и упрости. Что получилось?

Итоговая проверка. Возьмём конкретное число, например $S = 36$ км. Первая половина: $t_1 = 36/12 = 3$ ч. Вторая: $t_2 = 36/18 = 2$ ч. Средняя скорость: $72 / 5 = 14{,}4$ км/ч. Совпадает.

Ответ: $14{,}4$ км/ч.

Типичная ошибка. Взять среднее арифметическое скоростей: $(12 + 18) / 2 = 15$ км/ч. Это неверно: на участке 12 км/ч велосипедист тратит больше времени, чем на участке 18 км/ч. «Медленный» участок тянет среднюю вниз.

Типичные ошибки

1. Перепутать тип задачи. При встречном движении суммарный путь равен расстоянию. При движении вдогонку — разность путей. Перед составлением уравнения нарисуй схему: кто откуда едет.

2. Смешать единицы. Если в условии скорость в км/ч, а время в минутах — переведи минуты в часы. Формула $S = v \cdot t$ работает только при одинаковых единицах.

3. Средняя скорость через среднее арифметическое. Это самая распространённая ошибка в задачах на среднюю скорость. Всегда считай через $v_{\text{ср}} = S_{\text{общ}} / t_{\text{общ}}$.

4. Не проверить смысл отрицательного корня. Квадратное уравнение может дать два корня. Скорость и время физически положительны — отрицательный корень отбрасываешь с объяснением.

5. Путать собственную скорость и скорость по реке. В задачах на движение по реке «собственная» и «относительно берега» — разные величины. Всегда явно пиши, что через что обозначаешь.

Связь с другими темами

Задачи на движение — это частный случай более широкого класса текстовых задач, где нужно составить уравнение из условия. Финансовые задачи используют ту же структуру: вводишь переменную, выражаешь остальное, составляешь уравнение. Задачи на проценты добавляют умножение на коэффициент, но алгоритм тот же самый.

Если умеешь уверенно решать задачи на движение — задачи на смеси и концентрации даются гораздо легче: та же логика «состав × количество = общее».

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задачи на движение входят в задание 10 (часть 1, без развёрнутого решения). Это текстовые задачи, за которые дают 1 балл. Среди вариантов реального ЕГЭ задачи на встречное движение и движение по реке встречаются чаще остальных типов.

Подробнее о структуре задания 9, типичных условиях и критериях оценивания — на странице задание 10 ЕГЭ по профильной математике.

Разбор примеров

Применяем принцип нарастающей сложности: первый пример — полностью разобранный, во втором один шаг предлагается обдумать самостоятельно, третий — с двумя незакрытыми шагами.

Пример 1 (уровень А, встречное движение — fully worked). Два пешехода вышли навстречу друг другу одновременно. Первый идёт со скоростью 5 км/ч, второй — со скоростью 4 км/ч. Расстояние между ними — 27 км. Через сколько часов они встретятся?

Решение.

Шаг 1. Обозначим время до встречи за $t$ (в часах). Оба выходят одновременно, движутся навстречу.

Шаг 2. Запишем пути каждого:

• первый пешеход пройдёт $5t$ км;
• второй пешеход пройдёт $4t$ км.

Шаг 3. Условие встречи: суммарный путь равен расстоянию между ними:

$5t + 4t = 27$

Шаг 4. Решаем:

$9t = 27 \implies t = 3 \text{ ч}$

Шаг 5. Проверка смысла: $t = 3 > 0$ — подходит. Первый пройдёт $5 \cdot 3 = 15$ км, второй $4 \cdot 3 = 12$ км. Сумма: $15 + 12 = 27$ км. Совпадает с условием.

Ответ: 3 ч.

Типичная ошибка. Написать уравнение $5t = 4t + 27$ (будто один преследует другого) — перепутан тип задачи. При встречном движении суммарный путь равен расстоянию, а не разность путей.

Пример 2 (уровень Б, движение по реке — faded: один шаг свёрнут). Лодка прошла 20 км по течению за 4 часа и вернулась обратно за 5 часов. Найди собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Решение.

Шаг 1. Введём переменные: $v$ — собственная скорость лодки (км/ч), $u$ — скорость течения (км/ч).

Шаг 2. По формуле $S = v \cdot t$ выражаем скорости на каждом участке:

• по течению: $v + u = 20 / 4 = 5$ км/ч;
• против течения: $v - u = 20 / 5 = 4$ км/ч.

Шаг 3. Попробуй сам: как из системы

$\begin{cases} v + u = 5 \\ v - u = 4 \end{cases}$

найти $v$ и $u$? Какое действие над уравнениями даст ответ быстрее всего?