Можно ли использовать м/с вместо км/ч?

Да, но в одной задаче — один тип. Перевод: 1 м/с = 3,6 км/ч.

Почему в задаче на встречу скорости складываются?

Они движутся навстречу, расстояние между ними сокращается со скоростью $v_1 + v_2$ — на эту сумму уменьшается зазор каждый час.

Что такое собственная скорость лодки?

Скорость, с которой лодка плыла бы в стоячей воде (без течения) — определяется только мотором или гребцом.

Как ввести переменную, если в условии задано много чисел?

Обычно — за неизвестную берут то, о чём спрашивают. Или ту скорость/время, через которую остальные легко выразить.

Что делать, если получилось два корня в уравнении?

Проверить смысл. Скорость > 0, время > 0. Часто один корень отрицательный или абсурдный — его отбрасываешь.

Можно ли в задачах на движение использовать систему уравнений?

Да, особенно когда два неизвестных. Пример с лодкой — классическая система.

Задачи на движение — формулы, типы задач, разбор задания 9 ЕГЭ

Q: Почему средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей?

Потому что она зависит от времени, проведённого на каждом участке. На медленном участке времени тратишь больше — он сильнее тянет среднюю вниз.

Задачи на движение в задании 10 встречаются почти каждый год. Сводятся к одной формуле и нескольким схемам — разберём все типы от простого к сложному. Где тут твои пробелы?

Ответ

v = S / t = 240/3 = 80

км/ч. Используем базовую формулу

S = v \cdot t

, выражаем скорость.

Базовая формула: $S = v \cdot t$

Всё, что происходит в задачах на движение, строится на одной формуле:

$S = v \cdot t$

где $S$ — пройденный путь (км, м), $v$ — скорость (км/ч, м/с), $t$ — время в пути (ч, с).

Из неё выводятся две производные:

$v = \frac{S}{t}, t = \frac{S}{v}$

Схема встречного движения: два объекта движутся навстречу со скоростями v₁ и v₂, расстояние S, точка встречи посередине — Встречное движение: скорость сближения = v₁ + v₂, время до встречи t = S/(v₁+v₂)

Важный момент с размерностями: если скорость задана в км/ч, а время в минутах — переводи минуты в часы (делишь на 60). Смешивать единицы в одном выражении нельзя.

Алгоритм решения задачи на движение

Любую задачу на движение решают по одной схеме:

Введи переменную. Обозначь неизвестное через $x$ — обычно то, о чём спрашивают (скорость, время, расстояние).
Выразь остальное. Если у первого объекта скорость $x$ , у второго в условии задана зависимость — выражаешь через $x$ .
Составь выражения $S = v \cdot t$ для каждого объекта или участка пути.
Запиши уравнение из условия: суммарный путь, время встречи, разница расстояний и т.д.
Реши уравнение и проверь смысл. Скорость и время не могут быть отрицательными.

Тип 1 — встречное движение

Два объекта движутся навстречу друг другу. Расстояние между ними каждый час уменьшается на сумму их скоростей:

$v_{сближения} = v_{1} + v_{2}$

Время до встречи:

$t = \frac{S}{v _{1} + v _{2}}$

Схема: A ──────────── B, оба движутся к центру.

Это самый простой тип: составляешь одно линейное уравнение или сразу вычисляешь время по формуле выше.

Тип 2 — движение вдогонку

Один объект догоняет другой. Первый вышел позже или движется быстрее. Расстояние между ними уменьшается на разность скоростей:

$v_{сближения} = v_{1} - v_{2}, v_{1} > v_{2}$

Время, через которое быстрый догонит медленного (если оба вышли одновременно с расстоянием $d$ между ними):

$t = \frac{d}{v _{1} - v _{2}}$

Если один вышел раньше другого на $Δ t$ часов, сначала найди форфору: $d = v_{2} \cdot Δ t$ .

Мотоцикл (60 км/ч) догоняет велосипедиста (20 км/ч), который выехал на 2 ч раньше. Чему равна фора велосипедиста к моменту старта мотоцикла?

Ответ

d = 20 \cdot 2 = 40

км. Время до встречи:

t = 40/ (60 - 20) = 1

ч после старта мотоцикла.

Тип 3 — движение по реке

Классика задания 10. Вводятся две переменные: $v$ — собственная скорость лодки (в стоячей воде), $u$ — скорость течения реки.

Скорости на воде:

$v_{по течению} = v + u, v_{против течения} = v - u$

Схема движения лодки по реке: по течению скорости складываются v+u, против течения вычитаются v−u — По течению: v_лодки + v_реки. Против течения: v_лодки − v_реки

Физический смысл: по течению лодку несёт вода, скорости складываются. Против течения вода тормозит — скорости вычитаются.

Собственная скорость лодки — это то, что даёт мотор или вёсла, без реки. Скорость течения — это «бонус» или «штраф» от реки. Они разные величины, не путай.

Если знаешь время в обе стороны и расстояние, получаешь систему двух уравнений — именно такую задачу разберём в примере 2.

Тип 4 — средняя скорость

Объект прошёл несколько участков пути с разными скоростями. Средняя скорость:

$v_{ср} = \frac{S _{общ}}{t _{общ}}$

где $S_{общ}$ — суммарный путь, $t_{общ}$ — суммарное время.

Средняя скорость НЕ равна среднему арифметическому скоростей. Если ехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, вторую — со скоростью 60 км/ч, средняя скорость равна 40 км/ч, а не 45. На медленном участке ты проводишь больше времени — он сильнее тянет среднюю вниз.

Разбор примеров

Применяем принцип нарастающей сложности: первый пример — полностью разобранный, во втором один шаг предлагается обдумать самостоятельно, третий — с двумя незакрытыми шагами.

Пример 1 (уровень А, встречное движение — fully worked). Два пешехода вышли навстречу друг другу одновременно. Первый идёт со скоростью 5 км/ч, второй — со скоростью 4 км/ч. Расстояние между ними — 27 км. Через сколько часов они встретятся?

Решение.

Шаг 1. Обозначим время до встречи за $t$ (в часах). Оба выходят одновременно, движутся навстречу.

Шаг 2. Запишем пути каждого:

первый пешеход пройдёт $5 t$ км;
второй пешеход пройдёт $4 t$ км.

Шаг 3. Условие встречи: суммарный путь равен расстоянию между ними:

$5 t + 4 t = 27$

Шаг 4. Решаем:

$9 t = 27 ⟹ t = 3 ч$

Шаг 5. Проверка смысла: $t = 3 > 0$ — подходит. Первый пройдёт $5 \cdot 3 = 15$ км, второй $4 \cdot 3 = 12$ км. Сумма: $15 + 12 = 27$ км. Совпадает с условием.

Ответ: 3 ч.

Типичная ошибка. Написать уравнение $5 t = 4 t + 27$ (будто один преследует другого) — перепутан тип задачи. При встречном движении суммарный путь равен расстоянию, а не разность путей.

Пример 2 (уровень Б, движение по реке — faded: один шаг свёрнут). Лодка прошла 20 км по течению за 4 часа и вернулась обратно за 5 часов. Найди собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Решение.

Шаг 1. Введём переменные: $v$ — собственная скорость лодки (км/ч), $u$ — скорость течения (км/ч).

Шаг 2. По формуле $S = v \cdot t$ выражаем скорости на каждом участке:

по течению: $v + u = 20/4 = 5$ км/ч;
против течения: $v - u = 20/5 = 4$ км/ч.

Шаг 3. Попробуй сам: как из системы

${v + u = 5 v - u = 4$

найти $v$ и $u$ ? Какое действие над уравнениями даст ответ быстрее всего?

Шаг 3: решение системы

Складываем оба уравнения:

2 v = 9 ⟹ v = 4, 5 км / ч

Вычитаем второе из первого:

2 u = 1 ⟹ u = 0, 5 км / ч

Шаг 4. Проверка: $4, 5 + 0, 5 = 5$ км/ч по течению, $4, 5 - 0, 5 = 4$ км/ч против течения. За 4 ч по течению: $5 \cdot 4 = 20$ км. За 5 ч против: $4 \cdot 5 = 20$ км. Совпадает.

Ответ: собственная скорость лодки $4, 5$ км/ч, скорость течения $0, 5$ км/ч.

Типичная ошибка. Перепутать «по течению» и «против течения»: по течению скорость больше ( $v + u > v - u$ ), поэтому то же расстояние проходится быстрее. Если у тебя получилось, что против течения быстрее — где-то ошибся в знаке.

Пример 3 (уровень В, средняя скорость — faded: два шага свёрнуты). Велосипедист ехал первую половину пути со скоростью 12 км/ч, вторую половину — со скоростью 18 км/ч. Найди среднюю скорость на всём пути.

Решение.

Обозначим каждую половину пути за $S$ (км). Тогда суммарный путь равен $2 S$ .

Шаг 1. Найди время на каждом участке:

$t_{1} = \frac{S}{12}, t_{2} = \frac{S}{18}$

Попробуй сам: найди суммарное время $t = t_{1} + t_{2}$ , приведи к общему знаменателю.

Суммарное время

t = \frac{S}{12} + \frac{S}{18} = \frac{3 S}{36} + \frac{2 S}{36} = \frac{5 S}{36}

Шаг 2. Запиши формулу средней скорости и подставь:

$v_{ср} = \frac{2 S}{t}$

Попробуй сам: подставь $t = \frac{5 S}{36}$ и упрости. Что получилось?

Средняя скорость

v_{ср} = \frac{2 S}{\frac{5 S}{36}} = 2 S \cdot \frac{36}{5 S} = \frac{72}{5} = 14, 4 км / ч

S

сокращается — ответ не зависит от конкретного расстояния.

Итоговая проверка. Возьмём конкретное число, например $S = 36$ км. Первая половина: $t_{1} = 36/12 = 3$ ч. Вторая: $t_{2} = 36/18 = 2$ ч. Средняя скорость: $72/5 = 14, 4$ км/ч. Совпадает.

Ответ: $14, 4$ км/ч.

Типичная ошибка. Взять среднее арифметическое скоростей: $(12 + 18) /2 = 15$ км/ч. Это неверно: на участке 12 км/ч велосипедист тратит больше времени, чем на участке 18 км/ч. «Медленный» участок тянет среднюю вниз.

Типичные ошибки

Перепутать тип задачи. При встречном движении суммарный путь равен расстоянию. При движении вдогонку — разность путей. Перед составлением уравнения нарисуй схему: кто откуда едет.
Смешать единицы. Если в условии скорость в км/ч, а время в минутах — переведи минуты в часы. Формула $S = v \cdot t$ работает только при одинаковых единицах.
Средняя скорость через среднее арифметическое. Это самая распространённая ошибка в задачах на среднюю скорость. Всегда считай через $v_{ср} = S_{общ} / t_{общ}$ .
Не проверить смысл отрицательного корня. Квадратное уравнение может дать два корня. Скорость и время физически положительны — отрицательный корень отбрасываешь с объяснением.
Путать собственную скорость и скорость по реке. В задачах на движение по реке «собственная» и «относительно берега» — разные величины. Всегда явно пиши, что через что обозначаешь.

Связь с другими темами

Задачи на движение — это частный случай более широкого класса текстовых задач, где нужно составить уравнение из условия. Финансовые задачи используют ту же структуру: вводишь переменную, выражаешь остальное, составляешь уравнение. Задачи на проценты добавляют умножение на коэффициент, но алгоритм тот же самый.

Если умеешь уверенно решать задачи на движение — задачи на смеси и концентрации даются гораздо легче: та же логика «состав × количество = общее».

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задачи на движение входят в задание 10 (часть 1, без развёрнутого решения). Это текстовые задачи, за которые дают 1 балл. Среди вариантов реального ЕГЭ задачи на встречное движение и движение по реке встречаются чаще остальных типов.

Подробнее о структуре задания 10, типичных условиях и критериях оценивания — в готовящемся материале на странице задания 10 ЕГЭ по профильной математике.

Отработай задачи на движение на задачах ЕГЭ

Адаптивный тренажёр подберёт именно те типы, где ты пока ошибаешься

Начать бесплатно

Задачи на движение — все типы с разбором решений

Базовая формула: $S = v \cdot t$

Алгоритм решения задачи на движение

Тип 1 — встречное движение

Тип 2 — движение вдогонку

Тип 3 — движение по реке

Тип 4 — средняя скорость

Разбор примеров

Типичные ошибки

Связь с другими темами

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Частые вопросы

Смежные темы

Базовая формула: S=v⋅t

Алгоритм решения задачи на движение

Тип 1 — встречное движение

Тип 2 — движение вдогонку

Тип 3 — движение по реке

Тип 4 — средняя скорость

Разбор примеров

Типичные ошибки

Связь с другими темами

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Частые вопросы

Смежные темы

Базовая формула: $S = v \cdot t$