Задачи на совместную работу: алгоритм для задания 8 ЕГЭ

«Один рабочий сделает работу за 6 часов, второй за 12 часов. За сколько времени они сделают её вместе?» — классика задания 8 ЕГЭ. Тип «совместная работа» встречается стабильно почти в каждом четвёртом варианте и решается по чёткому алгоритму за три-четыре минуты.

Вся тема держится на одной идее — идее производительности. У каждого исполнителя есть скорость работы, то есть доля задания, которую он успевает сделать за единицу времени. Когда исполнители трудятся вместе, их скорости складываются, потому что каждый делает свою часть независимо от других. Самая частая ошибка в этих задачах — складывать времена вместо скоростей: кажется естественным, что два человека по шесть и двенадцать часов вместе потратят восемнадцать, но это бессмыслица, ведь вдвоём работа идёт быстрее, а не медленнее. На этой странице мы разберём базовую формулу, пять типовых сюжетов и несколько дополнительных приёмов, которые покрывают почти все варианты задания 8 на совместную работу.

Базовая формула

Производительность — часть работы, выполняемая за единицу времени.

Если один рабочий выполняет всю работу за $t$ часов, его производительность:

$p = \frac{1}{t} \text{ работы в час}$

«Работа» здесь — это удобная условная единица: всю работу принимают за единицу, целое, а производительность тогда напрямую показывает, какую долю целого исполнитель делает за час. Такой приём упрощает арифметику: вместо абстрактных «деталей» или «литров» мы работаем с долями от единицы, и числа получаются простыми.

Принцип сложения производительностей: если несколько рабочих трудятся одновременно, их производительности складываются. Это центральное правило темы, и его стоит прочувствовать: за час каждый делает свою долю работы, и доли честно суммируются, потому что исполнители работают параллельно и не мешают друг другу. А время — это совсем другая величина, и складывать времена так же бессмысленно, как складывать скорости двух пешеходов и называть это расстоянием.

Если работают два рабочих со временами выполнения работы поодиночке $t_1$ и $t_2$, их совместная производительность:

$p = p_1 + p_2 = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$

Совместное время выполнения работы:

$T = \frac{1}{p} = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}} = \frac{t_1 \cdot t_2}{t_1 + t_2}$

Сюжет 1: двое рабочих делают работу вместе

Задача. Один рабочий выполнит заказ за 12 дней, второй — за 24 дня. За сколько дней они выполнят заказ совместно?

Решение: $t_1 = 12$, $t_2 = 24$.

$T = \frac{12 \cdot 24}{12 + 24} = \frac{288}{36} = 8$

Ответ: 8 дней.

Результат меньше времени каждого рабочего по отдельности — и это правильный признак. Вдвоём всегда быстрее, чем поодиночке, ведь к работе первого добавляется вклад второго. Если бы в ответе вышло число больше двенадцати, это сразу указало бы на ошибку, скорее всего на сложение времён вместо производительностей.

Сюжет 2: найти время одного, зная совместное

Задача. Двое рабочих вместе делают работу за 4 часа. Первый рабочий делает её один за 6 часов. За сколько часов её выполнит второй?

Решение: $T = 4$, $t_1 = 6$, найти $t_2$.

$\frac{1}{4} = \frac{1}{6} + \frac{1}{t_2}$

$\frac{1}{t_2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3 - 2}{12} = \frac{1}{12}$

$t_2 = 12$

Ответ: 12 часов.

Здесь известна совместная производительность и производительность первого, а ищем второго. Приём стандартный: записываем сумму производительностей, переносим известную в правую часть и выражаем неизвестную дробь. Из найденной производительности второго рабочего сразу получаем его время как обратную величину. Заметь, что искать удобнее именно производительность, а не время напрямую: производительности живут в линейных уравнениях, и с ними проще работать.

Сюжет 3: разница в производительностях

Задача. Два каменщика, работая вместе, могут выложить стену за 6 часов. За какое время каждый из них выложит стену, если первому для этого требуется на 5 часов больше, чем второму?

Решение: пусть второму нужно $t$ часов, первому — $t + 5$.

$\frac{1}{t} + \frac{1}{t+5} = \frac{1}{6}$

Приводим к общему знаменателю $6t(t+5)$:

$\frac{6(t+5) + 6t}{6 t (t+5)} = \frac{t(t+5)}{6 t (t+5)}$

$6(t+5) + 6t = t(t+5)$

$6t + 30 + 6t = t^2 + 5t$

$12t + 30 = t^2 + 5t$

$t^2 - 7t - 30 = 0$

По теореме Виета корни — это числа, дающие в сумме семь и в произведении минус тридцать, то есть $t = 10$ или $t = -3$. Отрицательное время не имеет смысла, поэтому его отбрасываем.

Значит второму каменщику нужно десять часов, а первому, которому требуется на пять больше, — пятнадцать.

Ответ: первый — 15 часов, второй — 10 часов.

Этот сюжет — самый «алгебраический»: связь между временами задана разностью, поэтому одно время выражают через другое, и уравнение становится квадратным. Главное здесь — не забыть проверить оба корня и отбросить отрицательный. Квадратное уравнение почти всегда даёт два решения, и одно из них обычно физически невозможно. Технику решения такого уравнения даёт страница квадратных уравнений.

Сюжет 4: трубы и бассейн (одна наполняет, другая сливает)

Задача. Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая (сливная) опустошает его за 10 часов. Если открыть обе одновременно при пустом бассейне, за сколько часов он наполнится?

Решение: производительность первой $= +1/6$ (наполняет), второй $= -1/10$ (сливает, со знаком минус).

Суммарная производительность:

$p = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5 - 3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

Время наполнения:

$T = \frac{1}{p} = 15$

Ответ: 15 часов.

Если бы у второй трубы была производительность $1/5$, то есть она сливала бы за пять часов при наполнении за шесть, баланс стал бы отрицательным, и бассейн не наполнился бы никогда. Это важный физический вывод: знак производительности — не формальность, а отражение того, прибавляется вода или убывает. Перепутать знак слива — значит получить бессмысленный ответ, в котором слив «помогает» наполнению.

Сюжет 5: переменное участие рабочих

Задача. Один рабочий начинает работу один. Через 3 часа к нему присоединяется второй, и они работают совместно ещё 6 часов и заканчивают всю работу. Если бы они работали вместе с самого начала, они бы закончили её за 8 часов. За сколько часов выполнит работу первый рабочий один?

Решение: обозначим производительность первого рабочего через $p_1$, второго — $p_2$. Работа = 1.

Условие 1: первый работал $3 + 6 = 9$ часов, второй — $6$ часов. Вместе сделали всю работу:

$9 p_1 + 6 p_2 = 1$

Условие 2: если бы работали вместе с самого начала, потратили бы $8$ часов:

$(p_1 + p_2) \cdot 8 = 1$

То есть $p_1 + p_2 = 1/8$.

Из первого условия: $9 p_1 + 6 p_2 = 1$. Из второго: $p_2 = 1/8 - p_1$.

Подставляем: $9 p_1 + 6 (1/8 - p_1) = 1$.

$9 p_1 + 6/8 - 6 p_1 = 1$

$3 p_1 = 1 - 6/8 = 2/8 = 1/4$

$p_1 = 1/12$

Значит время первого: $t_1 = 1/p_1 = 12$ часов.

Ответ: 12 часов.

Этот сюжет самый сложный, потому что в нём два условия и две неизвестные производительности. Ключ к решению — аккуратно записать, сколько времени работал каждый в каждом сценарии. В реальном сценарии первый трудился девять часов, а второй только шесть, потому что включился позже. В гипотетическом сценарии оба работали бы все восемь часов вместе. Два условия дают систему из двух уравнений, которая решается подстановкой. Главное — не перепутать «совместно» с «одновременно»: фраза «через три часа присоединился второй» означает, что первый работал дольше, и это нужно явно отразить в уравнениях.

Дополнительные приёмы

Приём «выразить работу через величины»

В задачах с конкретными единицами (литры, метры, килограммы) работа явно не равна 1. Тогда производительность:

$p = \frac{\text{работа}}{\text{время}}$

И складывание производительностей работает так же. Например: «Один экскаватор копает 60 м³ в час, второй — 40 м³ в час. Сколько часов им вместе копать 500 м³?» Производительности равны $p_1 = 60$ и $p_2 = 40$, суммарная — $p = 100$ м³ в час. Время находим делением всей работы на суммарную производительность: $T = 500/100 = 5$ часов. Этот приём удобен, когда в условии даны конкретные объёмы: тогда не нужно вводить условную единицу, а можно прямо работать с реальными числами, и логика сложения скоростей остаётся прежней.

Приём «равные производительности»

Если в задаче два одинаковых рабочих, их совместная производительность вдвое больше одиночной: когда каждый делает работу за $t$ часов, вдвоём они справятся за $t/2$. Это утверждение верно именно для одинаковых исполнителей и служит удобной быстрой проверкой: если в задаче с двумя равными рабочими получилось не ровно половина времени, где-то закралась ошибка. А вот для разных рабочих такого простого правила нет — там придётся складывать производительности честно.

Приём «работа = const»

Если задача предполагает, что одна и та же работа выполняется разными способами, обозначь работу через $W$, даже если это «вся работа». После составления уравнений эта буква сократится и на ответ не повлияет. Приём полезен, когда не хочется сразу принимать работу за единицу: он показывает, что конкретное значение работы не важно, важны только отношения времён и производительностей.

Применение в задании 8 ЕГЭ

Задание 8 — текстовая задача, балл 1. Задачи на совместную работу — около 25% всех задач этого задания.

Стратегия:

1. Прочитай условие, выпиши:
   • Кто работает (один, двое, трое).
   • Время каждого по отдельности (если дано) или совместное.
   • Что нужно найти.
2. Запиши производительности. Чаще всего — обратные времена.
3. Запиши уравнение, отражающее условие задачи.
4. Реши. Часто получается линейное или квадратное.
5. Проверь: время положительное, ответ имеет смысл (больше или меньше одиночных времён).

Время на задачу — три-пять минут. Самый надёжный навык здесь — переводить любое условие в производительности и составлять уравнение по принципу сохранения работы. Когда переменные обозначены, а времена работы каждого исполнителя выписаны, остальное превращается в стандартную алгебру. Близкие темы — задачи на работу с теми же сюжетами и линейные уравнения, к которым сводятся простые случаи.

Распространённые ошибки

1. Складывать времена вместо производительностей. «Один за 6 часов, второй за 12 часов — вместе за $6 + 12 = 18$ часов». Это полностью неверно. Складываются производительности ($1/6 + 1/12 = 1/4$), не времена. Совместное время — $4$ часа.

2. Брать среднее арифметическое времён. «Средний — $(6 + 12)/2 = 9$ часов». Тоже неверно. Среднее арифметическое — больше, чем совместное (среднее гармоническое).

3. Перепутать знак сливной трубы. Если труба сливает, её производительность входит в сумму со знаком МИНУС, не плюс. Иначе бассейн «наполняется быстрее», что бессмысленно.

4. Не проверять корни квадратного уравнения. В задаче 3 (разница времён) получилось два корня уравнения, один отрицательный. Отрицательное время — не имеет смысла, отбрось.

5. Подменять «совместно» на «одновременно». В сюжете 5 «первый начал, через 3 часа к нему присоединился второй» — это НЕ «работали вместе всё время». Первый работал больше второго. Внимательно читай, сколько времени каждый работал.

Связь с другими темами

• Задачи на работу — родственная тема, общее производство.
• Задачи на движение — похожая логика (скорость = расстояние/время, производительность = работа/время).
• Линейные уравнения — для простых задач.
• Квадратные уравнения — для задач с разницей времён.

Что запомнить

Формулы:

• Производительность одного: $p = 1/t$ (работа = 1).
• Совместная производительность: $p_{\text{сумм}} = p_1 + p_2 + \ldots$
• Совместное время: $T = 1/p_{\text{сумм}}$.
• Для двух рабочих со временами $t_1, t_2$: $T = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$.

При сливных трубах производительность сливной трубы входит со знаком минус, потому что она убирает работу, а не добавляет.

Главное в задаче 8 на совместную работу: складываются производительности, а не времена. Это критическое правило, и его игнорирование — самая частая ошибка темы. Если держать его в голове и аккуратно отслеживать, кто сколько времени работал, любая задача на совместную работу решается по знакомому алгоритму без сюрпризов.