Задачи на прогрессии: арифметическая и геометрическая для ЕГЭ

В задании 8 ЕГЭ задачи на прогрессии — один из самых стабильных типов. Они появляются почти в каждом четвёртом варианте, решаются по чёткому алгоритму и оцениваются в один балл. Секрет прост: если научиться правильно записывать условие через формулы прогрессии, всё остальное превращается в обычную алгебру. Самое трудное здесь — не вычисления, а перевод словесного условия в формулы. Как только это сделано, задача решается механически.

Главное, что нужно понять с самого начала, — прогрессия описывается всего двумя формулами: формулой члена и формулой суммы. Формула члена позволяет найти любой элемент по его номеру, а формула суммы — сложить первые несколько членов, не складывая их по одному. Почти любая задача сводится к подстановке известных данных в одну из этих формул или к составлению уравнения из них. В этой статье мы разберём обе прогрессии — арифметическую и геометрическую — и пройдём пять типовых сюжетов задания 8, которые покрывают подавляющее большинство вариантов.

Формулы арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия — это самый частый тип последовательности в задании 8, и её формулы стоит знать наизусть. Запиши их один раз аккуратно, и дальше любая задача на арифметическую прогрессию сводится к подстановке чисел.

Арифметическая прогрессия — это последовательность $a_1, a_2, a_3, \ldots$, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число $d$, называемое разностью:

$a_{n+1} - a_n = d$

Формула $n$-го члена:

$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$

То есть, чтобы получить $n$-й член, к первому прибавляем $(n-1)$ разностей. Запомни именно $(n-1)$, а не $n$: от первого члена до второго — один шаг, до третьего — два, и так далее. На этом месте чаще всего ошибаются на единицу.

Свойство среднего арифметического: каждый член, кроме первого и последнего, равен среднему арифметическому своих соседей. Это свойство часто помогает находить средний член, когда известна сумма двух симметричных:

$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Сумма первых $n$ членов (две эквивалентные формулы):

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Первая формула удобна, когда известны первый и последний члены: тогда сумма равна их полусумме, умноженной на количество. По сути это среднее арифметическое крайних членов, повторённое столько раз, сколько членов в сумме. Вторая формула удобнее, когда известны первый член и разность, но неизвестен последний. Обе формулы дают один и тот же результат, поэтому выбирай ту, под которую больше подходят данные задачи. Умение быстро выбрать нужную формулу экономит время и снижает риск ошибки в вычислениях.

Формулы геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия — последовательность $b_1, b_2, b_3, \ldots$, где $b_1 \neq 0$, и каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число $q \neq 0$ (знаменатель):

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$

Формула $n$-го члена:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Свойство среднего геометрического: каждый член (для положительной прогрессии) равен среднему геометрическому соседних:

$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$

Сумма первых $n$ членов при $q \neq 1$:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

При $q = 1$ — все члены равны $b_1$, и $S_n = n \cdot b_1$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии при $|q| < 1$:

$S_\infty = \frac{b_1}{1 - q}$

Эта формула суммы бесконечной прогрессии встречается в редких задачах с описанием «бесконечно отскакивающего мячика» или последовательного деления отрезка. Она работает только при убывающей прогрессии, когда модуль знаменателя меньше единицы, — тогда члены становятся всё меньше, и бесконечная сумма сходится к конечному числу. Если же знаменатель по модулю не меньше единицы, бесконечная сумма не существует, и формулу применять нельзя.

Сюжет 1: найти конкретный член

Задача. Арифметическая прогрессия задана условиями: $a_1 = 7$, $d = 3$. Найти $a_{20}$.

Решение: по формуле $n$-го члена:

$a_{20} = a_1 + (20 - 1) \cdot d = 7 + 19 \cdot 3 = 7 + 57 = 64$

Ответ: 64.

Вариант с геометрической: $b_1 = 2$, $q = 3$, найти $b_5$.

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$

Ответ: 162.

Обрати внимание на типичную ловушку с номером члена: чтобы добраться от первого члена до двадцатого, мы делаем девятнадцать шагов, а не двадцать. В формуле стоит именно $(n-1)$ разностей или $(n-1)$ умножений на знаменатель. Школьники часто ошибаются на единицу, забывая, что первый член — это «нулевой шаг». Поэтому всегда проверяй: до $n$-го члена ведёт ровно $n-1$ шагов.

Сюжет 2: найти разность или знаменатель

Задача. В арифметической прогрессии $a_3 = 8$, $a_7 = 20$. Найти разность $d$.

Решение: между $a_3$ и $a_7$ — $7 - 3 = 4$ шага по $d$.

$a_7 - a_3 = 4d$ $20 - 8 = 4d$ $d = 3$

Ответ: 3.

Аналогично для геометрической: $b_2 = 6$, $b_5 = 162$. Между ними $5 - 2 = 3$ шага умножения на $q$.

$\frac{b_5}{b_2} = q^3$ $\frac{162}{6} = 27 = q^3$ $q = 3$

Ответ: 3.

Приём здесь общий: чтобы найти разность или знаменатель по двум членам с известными номерами, считают число шагов между ними. У арифметической прогрессии разность каждого шага одна и та же, поэтому разность двух членов равна числу шагов, умноженному на $d$. У геометрической отношение двух членов равно знаменателю в степени числа шагов. И в том, и в другом случае важно правильно посчитать число шагов — это разность номеров, а не сама разность номеров плюс один.

Сюжет 3: сумма первых n членов

Задача. Найти сумму первых 50 членов арифметической прогрессии, если $a_1 = 4$ и $a_{50} = 102$.

Решение:

$S_{50} = \frac{a_1 + a_{50}}{2} \cdot 50 = \frac{4 + 102}{2} \cdot 50 = 53 \cdot 50 = 2650$

Ответ: 2650.

Аналогично для геометрической прогрессии: найти $S_5$, если $b_1 = 1$, $q = 2$.

$S_5 = \frac{1 \cdot (2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{31}{1} = 31$

Ответ: 31.

Для суммы арифметической прогрессии удобно мыслить так: складываем пары крайних членов. Первый и последний дают одну сумму, второй и предпоследний — ту же самую, и так далее. Поэтому сумма всех членов равна полусумме крайних, умноженной на количество. Для геометрической прогрессии простого «парного» приёма нет, там работает отдельная формула со степенью знаменателя, и важно не забыть особый случай, когда знаменатель равен единице: тогда все члены одинаковы и сумма равна просто числу членов, умноженному на первый член.

Сюжет 4: сколько членов суммировать, чтобы сумма равна заданному

Задача. Сколько надо взять первых членов арифметической прогрессии $5, 7, 9, 11, \ldots$, чтобы их сумма равнялась 320?

Решение: $a_1 = 5$, $d = 2$. Используем вторую формулу суммы:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n = \frac{2 \cdot 5 + (n-1) \cdot 2}{2} \cdot n = \frac{10 + 2n - 2}{2} \cdot n = \frac{8 + 2n}{2} \cdot n = (n + 4) \cdot n = n^2 + 4n$

Уравнение: $n^2 + 4n = 320$, то есть $n^2 + 4n - 320 = 0$.

По теореме Виета или через дискриминант находим корни $n = -20$ или $n = 16$. Число членов не бывает отрицательным, поэтому берём положительный корень.

Ответ: 16.

Этот сюжет интересен тем, что неизвестно само число членов, и поэтому уравнение получается квадратным относительно $n$. Удобно сначала упростить формулу суммы до многочлена от $n$, а уже потом приравнять к заданному числу. Обязательно отбрасывай отрицательный корень: количество членов прогрессии — натуральное число, и решение с минусом физического смысла не имеет. Технику решения такого уравнения даёт страница квадратных уравнений.

Сюжет 5: задача с практическим смыслом

Задача. Театр имеет 30 рядов. В первом ряду 25 кресел, в каждом следующем — на 2 кресла больше, чем в предыдущем. Сколько всего кресел в зале?

Решение: числа кресел в рядах образуют арифметическую прогрессию с $a_1 = 25$, $d = 2$, $n = 30$.

Сначала найдём $a_{30}$ (число кресел в последнем ряду):

$a_{30} = 25 + 29 \cdot 2 = 25 + 58 = 83$

Теперь сумма:

$S_{30} = \frac{25 + 83}{2} \cdot 30 = \frac{108}{2} \cdot 30 = 54 \cdot 30 = 1620$

Ответ: 1620.

Этот сюжет показывает, как распознать прогрессию в обычной житейской задаче. Слова «в каждом следующем ряду на два кресла больше» — это и есть постоянная разность арифметической прогрессии. Как только ты заметил такую регулярную зависимость, остаётся выписать первый член, разность и число членов, а дальше применить формулы. Большинство «прикладных» задач на прогрессии устроены именно так: сначала нужно узнать прогрессию в условии, а потом подставить данные в готовые формулы.

Дополнительные приёмы

Приём «через средний член»

В арифметической прогрессии часто бывает удобно ввести «срединный» член. Например, если задано $a_2 + a_4 = 18$, то $a_2 + a_4 = 2 a_3$ (по свойству среднего арифметического), значит $a_3 = 9$.

Приём «несколько членов подряд»

Если задано три числа подряд в прогрессии и нужно их найти, обозначь среднее как $a$, тогда:

• Арифметическая: $a-d, a, a+d$.
• Геометрическая: $a/q, a, aq$.

Это сильно упрощает уравнения, потому что разность или произведение крайних членов сразу выражаются через $a$, и в системе остаётся меньше неизвестных. Приём с симметричной записью трёх чисел — один из самых полезных в теме: он превращает громоздкую систему в пару простых уравнений. Особенно удобно, когда дана сумма трёх членов: средний член сразу находится как треть суммы, потому что крайние члены при сложении взаимно компенсируют разность.

Пример. Три числа образуют арифметическую прогрессию, их сумма равна 21, а сумма квадратов — 155. Найти эти числа.

Обозначим: $a-d, a, a+d$.

Сумма: $(a-d) + a + (a+d) = 3a = 21$, значит $a = 7$.

Сумма квадратов: $(a-d)^2 + a^2 + (a+d)^2 = 3a^2 + 2d^2 = 3 \cdot 49 + 2d^2 = 147 + 2d^2 = 155$, значит $d^2 = 4$, $d = \pm 2$.

При $d = 2$: числа $5, 7, 9$. При $d = -2$: $9, 7, 5$ (та же тройка наоборот).

Ответ: $5, 7, 9$.

Приём «совмещение прогрессий»

Иногда в задаче упоминается, что три числа сразу образуют арифметическую и геометрическую прогрессию (или соседние члены образуют одну, а изменённые — другую). Тогда выписывай оба условия:

• Арифметическая: $2a_2 = a_1 + a_3$.
• Геометрическая: $a_2^2 = a_1 \cdot a_3$.

И решай систему.

Применение в задании 8 ЕГЭ

Задание 8 — текстовая задача, балл 1. Прогрессии — один из 4–5 типов задач этого задания.

Стратегия:

1. Прочитай условие, выпиши, что дано: какой тип прогрессии, какие члены или сумма, что найти.
2. Запиши формулы $a_n$ и $S_n$ (или для $b_n$ и $S_n$ для геометрической).
3. Подставь известные, получишь уравнение или систему.
4. Реши, проверь, что ответ соответствует условию (положителен, целый, и т.д.).

В среднем задача 8 на прогрессию решается за четыре-шесть минут. Самый важный навык — распознать тип прогрессии по условию: если каждый следующий член больше предыдущего на одно и то же число, это арифметическая прогрессия, а если в одно и то же число раз — геометрическая. Дальше вся работа сводится к подстановке данных в формулы члена и суммы. Фундамент обеих прогрессий разбирают отдельные страницы про арифметическую и геометрическую прогрессию — начни с них, если формулы пока даются с трудом.

Распространённые ошибки

1. Путать $a_1$ и $a_0$. В школьной программе нумерация начинается с $a_1$ (первый член), не с $a_0$. Если в задаче «во второй неделе сделал...», это $a_2$, а не $a_1$.

2. Ошибаться в количестве шагов. Между $a_3$ и $a_7$ — 4 шага, не 5. Между $a_n$ и $a_m$ — $|n - m|$ шагов.

3. Применять формулу суммы геометрической при $q = 1$. В формуле $\frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ знаменатель ноль при $q = 1$. В этом случае все члены равны $b_1$, и $S_n = n \cdot b_1$.

4. Забывать о двух знаках $q$. Если $b_n$ известен из квадратного уравнения, могут быть два значения $q$ — положительное и отрицательное. Отрицательное $q$ даёт прогрессию со знакопеременными членами. Проверь по контексту, какое подходит.

5. Считать прогрессию там, где её нет. Если в условии члены не образуют ни арифметическую, ни геометрическую прогрессию — например, последовательность $1, 4, 9, 16, \ldots$ это квадраты, а не прогрессия, — формулы прогрессий неприменимы. Всегда проверяй, что разность или отношение соседних членов действительно постоянны, прежде чем подставлять данные в формулы.

Связь с другими темами

• Арифметическая прогрессия — отдельная страница с фундаментом.
• Геометрическая прогрессия — фундамент геометрической.
• Квадратные уравнения — нужны для решения уравнений вида $n^2 + bn = c$.
• Линейные уравнения — для простых задач.

Что запомнить

Арифметическая:

• $a_n = a_1 + (n-1)d$
• $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Геометрическая:

• $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$
• $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ при $q \neq 1$
• $S_\infty = \frac{b_1}{1 - q}$ при $|q| < 1$

Главное в задаче 8: записать условие через формулу — это уже половина работы. Дальше идёт обычная алгебра, в которой важно лишь аккуратно считать число шагов и отбрасывать посторонние корни. Если довести распознавание прогрессии и выбор формулы до автоматизма, задачи этого типа станут одним из самых надёжных источников балла в задании 8.