Задачи на оптимизацию через производную

«Из круглого бревна радиуса 30 см вырезают прямоугольную балку. Какое наибольшее сечение прямоугольника?» — типовая задача на оптимизацию из задания 11 ЕГЭ. В отличие от обычных задач на производную, где функция дана готовой, здесь её надо составить самому — и это самая трудная часть задачи. После того как функция записана, дальше идёт привычный алгоритм поиска экстремума через производную.

В этой статье разберём пошаговый алгоритм решения задач на оптимизацию и пять типовых сюжетов задания 11. Главная мысль, которую стоит усвоить заранее: задача распадается на две неравные половины. Первая половина — перевод словесного условия в формулу одной переменной, и именно тут чаще всего застревают. Вторая половина — техническая: продифференцировать функцию и решить уравнение. Она почти механическая, если ты владеешь правилами дифференцирования. Поэтому основное внимание уделяй умению составить целевую функцию из условия, ведь именно этот навык отличает оптимизацию от обычной задачи на производную.

Алгоритм решения

Любая задача на оптимизацию решается по одной и той же последовательности из шести шагов. Эта схема универсальна: она подходит и для геометрических задач про коробки и баки, и для прикладных задач про расход топлива или прибыль. Запомнив порядок шагов, ты не будешь теряться в новой задаче — достаточно подставлять в схему конкретные данные условия.

1. Прочитай условие и выпиши, что нужно найти (наибольший объём, наименьшая площадь, минимум стоимости).
2. Выбери переменную — ту, через которую удобно выразить целевую величину. Обычно одна из длин, радиус, высота.
3. Запиши целевую функцию $f(x)$ — то, что надо оптимизировать, через выбранную переменную.
4. Найди ОДЗ для переменной $x$. Обычно $x > 0$ и есть верхняя граница.
5. Через производную найди критические точки $f'(x) = 0$ в ОДЗ.
6. Проверь, что критическая точка — действительно искомый максимум (или минимум), сравнив значения функции в ней с границами ОДЗ. Запиши ответ.

Сюжет 1: прямоугольник в круге (классика)

Задача. В круг радиуса $R = 30$ вписан прямоугольник. Какая длина одной стороны даёт наибольшую площадь прямоугольника?

Шаг 1. Найти длину стороны $x$, при которой площадь $S(x)$ максимальна.

Шаг 2. Переменная $x$ — длина одной стороны. Вторая сторона — $y$.

Шаг 3. Диагональ прямоугольника = диаметр круга = $2R = 60$. По теореме Пифагора: $x^2 + y^2 = 60^2 = 3600$, отсюда $y = \sqrt{3600 - x^2}$.

Площадь: $S(x) = x \cdot y = x \sqrt{3600 - x^2}$.

Шаг 4. ОДЗ: $0 < x < 60$ (длина положительная и меньше диаметра).

Шаг 5. Найдём $S'(x)$.

Удобнее работать с $S^2(x) = x^2 (3600 - x^2)$ — площадь и её квадрат имеют максимум в одной точке.

$f(x) = S^2(x) = 3600 x^2 - x^4$

$f'(x) = 7200 x - 4 x^3 = 4x(1800 - x^2)$

$f'(x) = 0$: $x = 0$ или $x^2 = 1800$, то есть $x = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2}$.

Корень $x = 0$ вне нужного интервала (на границе, при $x = 0$ площадь нулевая).

Шаг 6. $x = 30\sqrt{2} \approx 42.4$ — это в ОДЗ. Проверим:

• $S(30\sqrt{2}) = 30\sqrt{2} \cdot \sqrt{3600 - 1800} = 30\sqrt{2} \cdot \sqrt{1800} = 30\sqrt{2} \cdot 30\sqrt{2} = 1800$.

При $x \to 0$ или $x \to 60$ площадь стремится к нулю. Значит $x = 30\sqrt{2}$ — действительно максимум.

Ответ: $x = 30\sqrt{2}$, и при этом вторая сторона $y$ тоже равна $30\sqrt{2}$ — то есть искомый прямоугольник оказался квадратом, диагональ которого равна диаметру круга.

Обрати внимание на приём с квадратом площади. Дифференцировать выражение с корнем неудобно, поэтому мы перешли к квадрату площади — без корня производная считается легко. Максимум площади и максимум её квадрата достигаются в одной и той же точке, потому что обе величины положительны и растут вместе. Этот приём стоит держать в арсенале: он экономит много времени в задачах, где целевая функция содержит корень.

Сюжет 2: наименьший расход материала

Задача. Открытая сверху коробка с квадратным основанием имеет объём $V = 4000$ см³. Какие должны быть размеры основания и высота, чтобы расход материала был наименьшим?

Шаг 1. Найти размеры (сторона $a$, высота $h$), при которых полная площадь поверхности $S$ минимальна.

Шаг 2. Переменная — сторона основания $a$.

Шаг 3. Объём: $V = a^2 \cdot h = 4000$, отсюда $h = 4000/a^2$.

Площадь поверхности (открытая сверху коробка): дно $a^2$ + четыре стенки $4 \cdot a h$.

$S(a) = a^2 + 4 a h = a^2 + 4a \cdot \frac{4000}{a^2} = a^2 + \frac{16000}{a}$

Шаг 4. ОДЗ: $a > 0$.

Шаг 5. $S'(a) = 2a - \frac{16000}{a^2}$.

$S'(a) = 0$: $2a = \frac{16000}{a^2}$, $2a^3 = 16000$, $a^3 = 8000$, $a = 20$.

Шаг 6. При $a < 20$: $S'(a) < 0$ (функция убывает). При $a > 20$: $S'(a) > 0$ (растёт). Значит $a = 20$ — минимум.

Высота: $h = 4000/20^2 = 4000/400 = 10$.

Ответ: $a = 20$ см, $h = 10$ см.

Ключевой шаг этой задачи — использование связи между размерами. Объём фиксирован, поэтому высоту удаётся выразить через сторону основания и подставить в площадь. Так двумерная на первый взгляд задача с двумя неизвестными сводится к функции одной переменной, которую уже можно исследовать через производную. Этот приём — выразить одну величину через другую с помощью заданного условия (объёма, периметра, площади) — встречается почти во всех задачах на оптимизацию и является ключом к составлению целевой функции.

Сюжет 3: оптимизация цилиндра

Цилиндр — классический объект задач на минимум поверхности при заданном объёме. Логика та же, что у коробки: объём фиксирован, поэтому высоту выражают через радиус и подставляют в площадь.

Задача. Найти размеры закрытого цилиндра объёма $V = 250 \pi$ см³, имеющего наименьшую площадь полной поверхности.

Шаг 1. Найти $r$ и $h$, минимизирующие $S$.

Шаг 2. Переменная — радиус $r$.

Шаг 3. Объём: $\pi r^2 h = 250\pi$, отсюда $h = 250/r^2$.

Полная поверхность закрытого цилиндра: два круга-основания $+$ боковая.

$S(r) = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r^2 + 2 \pi r \cdot \frac{250}{r^2} = 2 \pi r^2 + \frac{500 \pi}{r}$

Шаг 4. ОДЗ: $r > 0$.

Шаг 5. $S'(r) = 4 \pi r - \frac{500 \pi}{r^2}$.

$S'(r) = 0$: $4 \pi r = \frac{500 \pi}{r^2}$, $4 r^3 = 500$, $r^3 = 125$, $r = 5$.

Шаг 6. Высота: $h = 250/25 = 10$ см. Заметь, что высота получилась равной диаметру основания, то есть $h = 2r$. Это не случайность: для закрытого цилиндра наименьшей площади оптимальная форма всегда такая, где высота равна диаметру. Подмечать подобные закономерности полезно — они служат быстрой проверкой ответа на правдоподобие.

Ответ: $r = 5$ см, $h = 10$ см.

Обрати внимание, что множитель $\pi$ в этой задаче сократился при дифференцировании и на ответ никак не повлиял. Это типичная ситуация: постоянные множители в целевой функции не влияют на положение экстремума, потому что при приравнивании производной к нулю они выносятся за скобки и сокращаются. Поэтому можно смело работать с такими множителями, не пугаясь их, — на финальный ответ они не влияют.

Сюжет 4: задача на скорость и расход

В этом типе функция расхода уже дана готовой, и составлять её самому не нужно. Зато здесь важно аккуратно продифференцировать сумму с дробью и не ошибиться при решении уравнения.

Задача. Автомобиль расходует топливо по закону $q(v) = 2 + \dfrac{v}{4} + \dfrac{900}{v}$ литров на 100 км при скорости $v$ км/ч. При какой скорости расход топлива минимальный и каков этот минимальный расход?

Шаг 1. Нужно найти скорость $v$, при которой функция расхода $q(v)$ минимальна.

Шаг 2. Переменная — скорость $v$.

Шаг 3. Функция уже задана условием, составлять её не требуется.

Шаг 4. ОДЗ: $v > 0$, скорость положительна.

Шаг 5. Дифференцируем. Производная постоянного слагаемого равна нулю, производная $\dfrac{v}{4}$ равна $\dfrac{1}{4}$, а производная $\dfrac{900}{v}$ равна $-\dfrac{900}{v^2}$:

$q'(v) = \frac{1}{4} - \frac{900}{v^2}$

Приравниваем к нулю: $\dfrac{1}{4} = \dfrac{900}{v^2}$, откуда $v^2 = 4 \cdot 900 = 3600$ и $v = 60$ км/ч.

Шаг 6. Проверяем характер точки. При малых скоростях вычитаемое велико, и производная отрицательна — функция убывает; при больших скоростях производная положительна — функция возрастает. Значит при $v = 60$ у функции минимум. Подставляем найденную скорость в исходную функцию:

$q(60) = 2 + \frac{60}{4} + \frac{900}{60} = 2 + 15 + 15 = 32 \text{ литра на 100 км}$

Ответ: наименьший расход достигается при скорости 60 км/ч и составляет 32 литра на 100 км.

Обрати внимание, как устроен ответ: при слишком малой скорости велик постоянный «фоновый» расход на километр, а при слишком большой — растёт расход из-за сопротивления, и оптимум находится посередине. Это типичная структура задач на расход: сумма убывающего и возрастающего слагаемых, минимум которой ищут через производную.

Сюжет 5: задача с двумя переменными

Задача. Из листа жести размером $24 \times 36$ см нужно вырезать по углам четыре равных квадрата и сложить из остатка открытую сверху коробку. Какой стороны должны быть вырезанные квадраты, чтобы объём коробки был наибольшим?

Шаг 1. Найти $x$ — сторону вырезанного квадрата — максимизирующую объём.

Шаг 2. Переменная — $x$.

Шаг 3. После вырезания и складывания получится коробка с размерами:

• Длина основания: $36 - 2x$
• Ширина основания: $24 - 2x$
• Высота: $x$

Объём: $V(x) = x (36 - 2x)(24 - 2x)$.

Шаг 4. ОДЗ: $0 < x < 12$ (иначе один из размеров будет отрицательным).

Шаг 5. Раскроем скобки: $(36 - 2x)(24 - 2x) = 864 - 72x - 48x + 4x^2 = 864 - 120x + 4x^2$.

$V(x) = x (864 - 120 x + 4 x^2) = 864 x - 120 x^2 + 4 x^3$

$V'(x) = 864 - 240 x + 12 x^2 = 12 (x^2 - 20 x + 72)$

$V'(x) = 0$: $x^2 - 20 x + 72 = 0$.

Корни: $x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 288}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{112}}{2} = 10 \pm 2\sqrt{7}$.

Численно: $\sqrt{7} \approx 2.65$, корни $\approx 10 - 5.3 = 4.7$ и $\approx 10 + 5.3 = 15.3$.

Первый ($x \approx 4.7$) в ОДЗ $(0; 12)$, второй вне ОДЗ.

Шаг 6. Из двух корней только меньший лежит в допустимом интервале, и в нём производная меняет знак с плюса на минус, значит это максимум. Больший корень превышает половину меньшей стороны заготовки и физического смысла не имеет.

Ответ: $x = 10 - 2\sqrt{7}$ см, что примерно равно 4,7 см.

Эта задача показывает, как важно правильно выписать ОДЗ. Сторона вырезаемого квадрата не может быть больше половины меньшей стороны листа, иначе у коробки получились бы отрицательные размеры. Именно ограничение ОДЗ помогло сразу отбросить второй корень уравнения. Без аккуратно выписанной области допустимых значений можно было бы выбрать неверный корень и получить бессмысленный ответ.

Применение в задании 11 ЕГЭ

Задание 11 — нахождение наибольшего или наименьшего значения функции, балл за него один. Задачи на оптимизацию, где функцию составляют из условия, относятся к прикладным; их встречается меньше, чем «чистых», в которых функция уже задана и нужно лишь найти экстремум. Однако именно прикладные задачи проверяют главный навык — умение перевести словесное условие в математику. Тренироваться стоит на обоих типах: чистые закрепляют технику дифференцирования, а прикладные учат составлять целевую функцию. Когда оба навыка доведены до автоматизма, задание 11 перестаёт быть проблемным и решается за несколько минут. Фундамент темы дают страницы про производную и правила дифференцирования.

Алгоритм для задания 11:

1. Найти производную $f'(x)$.
2. Решить $f'(x) = 0$, найти критические точки.
3. Проверить знаки $f'$ в окрестности — определить, максимум это или минимум.
4. Если задан отрезок — сравнить значения в критических точках и на концах отрезка.
5. Выписать наибольшее (или наименьшее) значение.

Распространённые ошибки

1. Подменять задачу: искать максимум вместо минимума или наоборот. Внимательно читай условие.

2. Забывать проверку ОДЗ. Если получил отрицательный корень или ноль — это вне ОДЗ для большинства задач (где переменная — длина или скорость).

3. Не различать локальный и глобальный экстремум. На отрезке наибольшее значение может быть на конце, а не в критической точке. Всегда сравнивай.

4. Путать $f'(x) = 0$ с «функция равна нулю». Производная равна нулю — критическая точка. Сама функция там может быть любой.

5. Не упрощать перед поиском экстремума. Если ищешь максимум площади $S(x) = x \sqrt{3600 - x^2}$ — удобнее работать с $S^2(x)$. Максимум одной и максимум другой — в одной точке.

Связь с другими темами

• Наибольшее и наименьшее значение функции — формальный метод.
• Производная — фундамент.
• Исследование функции на монотонность — нужно для проверки экстремума.
• Правила дифференцирования — для нахождения $f'(x)$.

Что запомнить

Алгоритм задачи на оптимизацию (6 шагов):

1. Выпиши, что найти.
2. Выбери переменную.
3. Запиши целевую функцию.
4. Найди ОДЗ.
5. Через $f'(x) = 0$ — критические точки.
6. Проверь (макс или мин), сравни с границами ОДЗ.

Главное — первая половина задачи, то есть составление функции, тяжелее второй, исследования. Большинство ошибок случается именно при составлении функции, а не при взятии производной. Поэтому, готовясь к таким задачам, основное внимание уделяй умению выразить нужную величину через одну переменную и аккуратно выписать область допустимых значений.