Задание 16 ЕГЭ профиль — вклады, кредиты, финансовые задачи

Задание 16 — это экономическая (финансовая) задача второй части ЕГЭ по профильной математике. За неё дают 2 балла, и по статистике это одна из самых «берущихся» задач части 2: алгоритм здесь прозрачный, а большинство ошибок приходится не на идею, а на арифметику и невнимательность с периодами начисления.

Главная идея всех таких задач одна: деньги растут по правилу сложных процентов. Если на счёте лежит сумма, а банк начисляет фиксированный процент за период, то к концу периода сумма умножается на один и тот же множитель. Стоит увидеть за условием эту геометрическую прогрессию — и задача распадается на понятные шаги.

Что нужно знать перед заданием 16

Чтобы уверенно решать экономические задачи, держи в голове три инструмента. Первый — формула сложных процентов, по ней растёт любой вклад без пополнений. Второй — формула суммы геометрической прогрессии, она нужна, когда вклад пополняют или когда кредит гасят равными платежами. Третий — умение переводить условие на язык уравнения: «через сколько лет сумма достигнет X» превращается в неравенство со степенью.

Эти инструменты разобраны в тематических статьях учебника: Финансовые задачи — про проценты и схемы начисления, Геометрическая прогрессия — про сумму платежей, Арифметическая прогрессия — для схемы кредита с убывающими долгами. Если какой-то блок проседает, начни с них, а потом возвращайся сюда за разбором экзаменационных типов.

Ключевые формулы задания 16

Рост вклада без пополнений

После $n$ периодов при ставке $r$ за период начальная сумма растёт так:

$S_n = P \cdot (1 + r)^n$

Здесь $P$ — начальная сумма, $r$ — ставка за период в долях (например, 10 % годовых — это $r = 0{,}1$), $n$ — число периодов начисления. Именно эта формула — фундамент задания 16: всё остальное строится на ней.

Пример. Вклад 100 000 ₽ под 10 % годовых на 3 года: $S = 100000 \cdot (1{,}1)^3 = 100000 \cdot 1{,}331 = 133100$ ₽.

Вклад с ежегодным пополнением

Если каждый год в конце года добавляют сумму $a$, то после $n$ лет на счёте окажется:

$S_n = P \cdot (1+r)^n + a \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}$

Второе слагаемое — это сумма геометрической прогрессии из пополнений, каждое из которых успело «поработать» разное число лет. Когда видишь дробь с $(1+r)^n - 1$ в числителе — знай, что за ней стоит свёрнутая прогрессия.

Когда сумма достигнет нужного уровня

Часто спрашивают: через сколько периодов вклад превысит заданную величину $X$. Тогда переходим к неравенству:

$P \cdot (1 + r)^n \geq X \quad \Rightarrow \quad (1 + r)^n \geq \frac{X}{P}$

Дальше либо берём логарифм, либо — что надёжнее на экзамене — перебираем целые $n$, пока неравенство не выполнится. Перебор почти всегда быстрее и безопаснее логарифма с нецелым результатом.

Тип 1: рост вклада по сложным процентам

Самый базовый тип. Дано начальное вложение, ставка и срок — найти итоговую сумму. Подставляем в формулу сложных процентов и аккуратно возводим в степень.

Задача 1. В банк положили 200 000 ₽ под 12 % годовых с капитализацией ежегодно. Сколько будет на счёте через 2 года?

$S = 200000 \cdot (1{,}12)^2 = 200000 \cdot 1{,}2544 = 250880$ ₽.

Обрати внимание: проценты второго года начисляются уже на 224 000 ₽ (сумму после первого года), а не на исходные 200 000 ₽ — в этом и состоит капитализация.

Тип 2: через сколько лет достигнет суммы

Здесь неизвестно число периодов. Сводим к неравенству со степенью и перебираем целые годы.

Задача 2. Положили 50 000 ₽ под 15 % годовых. Через сколько лет сумма впервые превысит 100 000 ₽?

$50000 \cdot (1{,}15)^n > 100000 \quad \Rightarrow \quad (1{,}15)^n > 2$.

Проверяем по шагам: $(1{,}15)^4 \approx 1{,}749 < 2$, а $(1{,}15)^5 \approx 2{,}011 > 2$.

Ответ: через 5 лет. На четвёртом году сумма ещё не дотягивает до удвоения, на пятом — превышает.

Тип 3: вклад с ежегодным пополнением

Когда счёт пополняют каждый год, считаем вклад как сумму нескольких вложений, каждое из которых работает своё число лет. Это самый наглядный способ не запутаться.

Задача 3. Каждый год в начале года кладут 10 000 ₽ под 8 % годовых. Сколько накопится за 3 года?

Первый взнос (начало года 1) к концу 3-го года работает 3 года: $10000 \cdot (1{,}08)^3 = 12597$ ₽. Второй взнос (начало года 2) работает 2 года: $10000 \cdot (1{,}08)^2 = 11664$ ₽. Третий взнос (начало года 3) работает 1 год: $10000 \cdot (1{,}08)^1 = 10800$ ₽.

Складываем: $12597 + 11664 + 10800 = 35061$ ₽.

Поскольку взносы делают в начале года, каждый успевает «отработать» 3, 2 и 1 год соответственно. Если бы взносы клали в конце года, степени уменьшились бы на единицу.

Тип 4: кредит и ежемесячный платёж (аннуитет)

В аннуитетной схеме заёмщик платит каждый месяц одну и ту же сумму $a$. Ключевая формула связывает платёж, тело кредита, ставку за период и число платежей:

$a = P \cdot \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}$

Здесь $P$ — сумма долга, $r$ — ставка за один период (за месяц), $n$ — число платежей. Эта формула тоже вырастает из суммы геометрической прогрессии — поэтому экономическая задача и алгебраическая прогрессия так тесно связаны.

Задача 4. Кредит 300 000 ₽ под 12 % годовых (то есть 1 % в месяц) на 12 месяцев. Найти ежемесячный платёж.

Берём $r = 0{,}01$, $n = 12$, считаем степень: $(1{,}01)^{12} \approx 1{,}1268$.

$a = 300000 \cdot \dfrac{0{,}01 \cdot 1{,}1268}{1{,}1268 - 1} = 300000 \cdot \dfrac{0{,}011268}{0{,}1268} \approx 26655$ ₽.

Главная ловушка здесь — годовую ставку обязательно делят на 12, потому что начисления и платежи ежемесячные. Если оставить $r = 0{,}12$, ответ будет в разы больше реального.

Тип 5: выбор выгодного варианта

Иногда нужно сравнить две схемы и выбрать ту, что даёт больше денег (или меньше переплаты). Считаем каждую отдельно и сравниваем итоговые суммы.

Задача 5. Банк А предлагает 10 % годовых с капитализацией раз в год. Банк Б — 9,5 % годовых с ежеквартальной капитализацией. Что выгоднее для вклада на один год?

Банк А: $S_A = P \cdot 1{,}10$.

Банк Б: квартальная ставка $\dfrac{9{,}5\,\%}{4} = 2{,}375\,\%$, за 4 квартала $S_B = P \cdot (1{,}02375)^4 \approx P \cdot 1{,}0978$.

Сравниваем множители: $1{,}100 > 1{,}0978$, значит банк А выгоднее, хотя более частая капитализация в банке Б почти компенсирует разницу в ставке.

Типичные ошибки в задании 16

Что запомнить про задание 16

1. Вклад без пополнений растёт по формуле $S = P(1+r)^n$ — это сложные проценты.
2. «Через сколько достигнет $X$» сводится к $(1+r)^n \geq X/P$ — перебирай целые $n$.
3. Пополнения и аннуитетные платежи сворачиваются в сумму геометрической прогрессии.
4. Аннуитет: $a = P \cdot \dfrac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}$, ставку обязательно переводи к периоду начисления.
5. Записывай решение по шагам — первый балл дают за модель, даже если арифметика подвела.

Чтобы закрепить тему, прорешай разборы в статье Финансовые задачи и потренируй сумму платежей через Геометрическую прогрессию.