Что проверяет задание 16 ЕГЭ профильной математики?

Умение решать финансовые задачи: рост вклада по сложным процентам, расчёт кредитных платежей, выгода разных схем накопления. Это задание части 2 на 2 балла.

Чем отличаются простые и сложные проценты?

Простые проценты начисляются на начальную сумму каждый период. Сложные начисляются на сумму с уже накопленными процентами — это и есть капитализация. В задании 16 почти всегда сложные проценты.

Как связаны задание 16 и геометрическая прогрессия?

Рост вклада по сложным процентам — это геометрическая прогрессия: каждый год сумма умножается на (1 + r). Сумма пополнений с процентами тоже сворачивается в формулу суммы геометрической прогрессии.

Сколько баллов даёт задание 16?

Два балла. Один балл — за верно составленную модель и ход решения даже без финального числа, второй — за правильный ответ. Поэтому записывай решение по шагам, не только ответ.

Задание 16 ЕГЭ математика профиль — экономическая задача

Задание 16 — это экономическая (финансовая) задача второй части ЕГЭ по профильной математике. За неё дают 2 балла, и по статистике это одна из самых «берущихся» задач части 2: алгоритм здесь прозрачный, а большинство ошибок приходится не на идею, а на арифметику и невнимательность с периодами начисления.

Главная идея всех таких задач одна: деньги растут по правилу сложных процентов. Если на счёте лежит сумма, а банк начисляет фиксированный процент за период, то к концу периода сумма умножается на один и тот же множитель. Стоит увидеть за условием эту геометрическую прогрессию — и задача распадается на понятные шаги.

Что нужно знать перед заданием 16

Чтобы уверенно решать экономические задачи, держи в голове три инструмента. Первый — формула сложных процентов, по ней растёт любой вклад без пополнений. Второй — формула суммы геометрической прогрессии, она нужна, когда вклад пополняют или когда кредит гасят равными платежами. Третий — умение переводить условие на язык уравнения: «через сколько лет сумма достигнет X» превращается в неравенство со степенью.

Эти инструменты разобраны в тематических статьях учебника: Финансовые задачи — про проценты и схемы начисления, Геометрическая прогрессия — про сумму платежей, Арифметическая прогрессия — для схемы кредита с убывающими долгами. Если какой-то блок проседает, начни с них, а потом возвращайся сюда за разбором экзаменационных типов.

Ключевые формулы задания 16

Рост вклада без пополнений

После $n$ периодов при ставке $r$ за период начальная сумма растёт так:

$S_{n} = P \cdot (1 + r)^{n}$

Здесь $P$ — начальная сумма, $r$ — ставка за период в долях (например, 10 % годовых — это $r = 0, 1$ ), $n$ — число периодов начисления. Именно эта формула — фундамент задания 16: всё остальное строится на ней.

Пример. Вклад 100 000 ₽ под 10 % годовых на 3 года: $S = 100000 \cdot (1, 1)^{3} = 100000 \cdot 1, 331 = 133100$ ₽.

Вклад с ежегодным пополнением

Если каждый год в конце года добавляют сумму $a$ , то после $n$ лет на счёте окажется:

$S_{n} = P \cdot (1 + r)^{n} + a \cdot \frac{( 1 + r ) ^{n} - 1}{r}$

Второе слагаемое — это сумма геометрической прогрессии из пополнений, каждое из которых успело «поработать» разное число лет. Когда видишь дробь с $(1 + r)^{n} - 1$ в числителе — знай, что за ней стоит свёрнутая прогрессия.

Когда сумма достигнет нужного уровня

Часто спрашивают: через сколько периодов вклад превысит заданную величину $X$ . Тогда переходим к неравенству:

$P \cdot (1 + r)^{n} \geq X \Rightarrow (1 + r)^{n} \geq \frac{X}{P}$

Дальше либо берём логарифм, либо — что надёжнее на экзамене — перебираем целые $n$ , пока неравенство не выполнится. Перебор почти всегда быстрее и безопаснее логарифма с нецелым результатом.

Тип 1: рост вклада по сложным процентам

Самый базовый тип. Дано начальное вложение, ставка и срок — найти итоговую сумму. Подставляем в формулу сложных процентов и аккуратно возводим в степень.

Задача 1. В банк положили 200 000 ₽ под 12 % годовых с капитализацией ежегодно. Сколько будет на счёте через 2 года?

$S = 200000 \cdot (1, 12)^{2} = 200000 \cdot 1, 2544 = 250880$ ₽.

Обрати внимание: проценты второго года начисляются уже на 224 000 ₽ (сумму после первого года), а не на исходные 200 000 ₽ — в этом и состоит капитализация.

Тип 2: через сколько лет достигнет суммы

Здесь неизвестно число периодов. Сводим к неравенству со степенью и перебираем целые годы.

Задача 2. Положили 50 000 ₽ под 15 % годовых. Через сколько лет сумма впервые превысит 100 000 ₽?

$50000 \cdot (1, 15)^{n} > 100000 \Rightarrow (1, 15)^{n} > 2$ .

Проверяем по шагам: $(1, 15)^{4} \approx 1, 749 < 2$ , а $(1, 15)^{5} \approx 2, 011 > 2$ .

Ответ: через 5 лет. На четвёртом году сумма ещё не дотягивает до удвоения, на пятом — превышает.

Тип 3: вклад с ежегодным пополнением

Когда счёт пополняют каждый год, считаем вклад как сумму нескольких вложений, каждое из которых работает своё число лет. Это самый наглядный способ не запутаться.

Задача 3. Каждый год в начале года кладут 10 000 ₽ под 8 % годовых. Сколько накопится за 3 года?

Первый взнос (начало года 1) к концу 3-го года работает 3 года: $10000 \cdot (1, 08)^{3} = 12597$ ₽. Второй взнос (начало года 2) работает 2 года: $10000 \cdot (1, 08)^{2} = 11664$ ₽. Третий взнос (начало года 3) работает 1 год: $10000 \cdot (1, 08)^{1} = 10800$ ₽.

Складываем: $12597 + 11664 + 10800 = 35061$ ₽.

Поскольку взносы делают в начале года, каждый успевает «отработать» 3, 2 и 1 год соответственно. Если бы взносы клали в конце года, степени уменьшились бы на единицу.

Тип 4: кредит и ежемесячный платёж (аннуитет)

В аннуитетной схеме заёмщик платит каждый месяц одну и ту же сумму $a$ . Ключевая формула связывает платёж, тело кредита, ставку за период и число платежей:

$a = P \cdot \frac{r ( 1 + r ) ^{n}}{( 1 + r ) ^{n} - 1}$

Здесь $P$ — сумма долга, $r$ — ставка за один период (за месяц), $n$ — число платежей. Эта формула тоже вырастает из суммы геометрической прогрессии — поэтому экономическая задача и алгебраическая прогрессия так тесно связаны.

Задача 4. Кредит 300 000 ₽ под 12 % годовых (то есть 1 % в месяц) на 12 месяцев. Найти ежемесячный платёж.

Берём $r = 0, 01$ , $n = 12$ , считаем степень: $(1, 01)^{12} \approx 1, 1268$ .

$a = 300000 \cdot \frac{0 , 01 \cdot 1 , 1268}{1 , 1268 - 1} = 300000 \cdot \frac{0 , 011268}{0 , 1268} \approx 26655$ ₽.

Главная ловушка здесь — годовую ставку обязательно делят на 12, потому что начисления и платежи ежемесячные. Если оставить $r = 0, 12$ , ответ будет в разы больше реального.

Тип 5: выбор выгодного варианта

Иногда нужно сравнить две схемы и выбрать ту, что даёт больше денег (или меньше переплаты). Считаем каждую отдельно и сравниваем итоговые суммы.

Задача 5. Банк А предлагает 10 % годовых с капитализацией раз в год. Банк Б — 9,5 % годовых с ежеквартальной капитализацией. Что выгоднее для вклада на один год?

Банк А: $S_{A} = P \cdot 1, 10$ .

Банк Б: квартальная ставка $\frac{9 , 5 %}{4} = 2, 375 %$ , за 4 квартала $S_{B} = P \cdot (1, 02375)^{4} \approx P \cdot 1, 0978$ .

Сравниваем множители: $1, 100 > 1, 0978$ , значит банк А выгоднее, хотя более частая капитализация в банке Б почти компенсирует разницу в ставке.

Типичные ошибки в задании 16

Ошибка	Как правильно
Путают ставку за год и ставку за период	Если 12 % годовых и капитализация ежемесячно — делим на 12: $r = 1 %$ в месяц
При пополнении в начале года неверно считают сроки взносов	Первый взнос работает $n$ лет, второй $(n - 1)$ , и так далее
Используют простые проценты вместо сложных	В задании 16 почти всегда сложные проценты с капитализацией
Округляют промежуточные результаты	До финального ответа работай с точными значениями — ошибка накапливается
Путают задание 16 (экономика) и 17 (планиметрия)	По кодификатору 2026 финансовая задача — это номер 16

Что запомнить про задание 16

Вклад без пополнений растёт по формуле $S = P (1 + r)^{n}$ — это сложные проценты.
«Через сколько достигнет $X$ » сводится к $(1 + r)^{n} \geq X / P$ — перебирай целые $n$ .
Пополнения и аннуитетные платежи сворачиваются в сумму геометрической прогрессии.
Аннуитет: $a = P \cdot \frac{r ( 1 + r ) ^{n}}{( 1 + r ) ^{n} - 1}$ , ставку обязательно переводи к периоду начисления.
Записывай решение по шагам — первый балл дают за модель, даже если арифметика подвела.

Чтобы закрепить тему, прорешай разборы в статье Финансовые задачи и потренируй сумму платежей через Геометрическую прогрессию.

Отработай задание 16 на практике

Диагностика в Сотах покажет, где ты теряешь баллы — в модели или в арифметике процентов

Попробовать бесплатно

Задание 16 ЕГЭ профиль — вклады, кредиты, финансовые задачи