Метод координат в пространстве

Метод координат — основной инструмент для пункта б) задания 14 ЕГЭ профиль. Он превращает геометрическую задачу в алгебрическую: вводишь оси, записываешь координаты, считаешь по формулам. Разбираем полностью.

Шаг 1: Введение системы координат

Правило: начало координат ставь в удобную вершину, оси направляй вдоль рёбер фигуры.

Для куба/прямоугольного параллелепипеда:

• Начало $A(0,0,0)$
• Ось $X$: вдоль $AB$
• Ось $Y$: вдоль $AD$
• Ось $Z$: вдоль $AA_1$

Тогда все вершины получают целочисленные координаты.

Для правильной пирамиды:

• Начало в центре основания
• Оси $X$ и $Y$ — в плоскости основания
• Ось $Z$ — вдоль высоты

Пример: Куб с ребром $a$

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро $a$.

• $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$
• $A_1(0,0,a)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$, $D_1(0,a,a)$

Ключевые формулы

Расстояние между точками

$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Вектор между двумя точками

$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,\ y_B - y_A,\ z_B - z_A)$

Длина вектора

$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$

Скалярное произведение

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

Угол между векторами (прямыми)

$\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

(Берём модуль: нам нужен острый угол)

Уравнение плоскости

Через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ с нормалью $\vec{n} = (A, B, C)$: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Расстояние от точки до плоскости

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Угол между плоскостями (через нормали)

$\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$

Нормаль к плоскости через три точки

Если знаешь три точки плоскости $P_1, P_2, P_3$:

1. Найди два вектора: $\vec{v_1} = \overrightarrow{P_1P_2}$, $\vec{v_2} = \overrightarrow{P_1P_3}$
2. Нормаль $= \vec{v_1} \times \vec{v_2}$ (векторное произведение)

$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ v_{1x} & v_{1y} & v_{1z} \\ v_{2x} & v_{2y} & v_{2z} \end{vmatrix}$

Раскрывая: $n_x = v_{1y}v_{2z} - v_{1z}v_{2y}$ $n_y = v_{1z}v_{2x} - v_{1x}v_{2z}$ $n_z = v_{1x}v_{2y} - v_{1y}v_{2x}$

Разбор задачи: расстояние от точки до плоскости

Задача. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 2. Найти расстояние от $B_1$ до плоскости $ACD_1$.

Решение:

Координаты: $A(0,0,0)$, $C(2,2,0)$, $D_1(0,2,2)$, $B_1(2,0,2)$.

Векторы в плоскости $ACD_1$: $\vec{AC} = (2,2,0), \quad \vec{AD_1} = (0,2,2)$

Нормаль: $\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&2&0\\0&2&2\end{vmatrix}$ $n_x = 2\cdot2 - 0\cdot2 = 4$ $n_y = 0\cdot0 - 2\cdot2 = -4$ $n_z = 2\cdot2 - 2\cdot0 = 4$

$\vec{n} = (4, -4, 4)$ или $(1, -1, 1)$.

Уравнение плоскости через $A(0,0,0)$: $x - y + z = 0$.

Расстояние от $B_1(2, 0, 2)$: $d = \frac{|2 - 0 + 2|}{\sqrt{1+1+1}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Типичные ошибки

Ошибка 1. Ошибиться при введении координат — перепутать оси или координаты вершин.

Ошибка 2. При вычислении нормали — ошибиться в знаках определителя.

Ошибка 3. Забыть взять модуль в формуле угла — угол должен быть острым.

Ошибка 4. Вместо расстояния до плоскости посчитать длину вектора от точки до другой точки (не проекцию).

Ошибка 5. Не упростить нормаль (можно делить на общий делитель — уравнение плоскости не изменится).

Чек-лист

• Ввожу систему координат с началом в вершине фигуры
• Правильно записываю координаты всех нужных точек
• Нахожу нормаль через векторное произведение
• Составляю уравнение плоскости
• Применяю формулу расстояния от точки до плоскости

Связанные темы

• Уравнение плоскости
• Угол между прямыми в пространстве
• Задание 14 ЕГЭ: стереометрия с доказательством
• Задание 14: полный гайд (блог)