Угол между скрещивающимися прямыми: 2 метода

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не пересекаются и не параллельны. Угол между ними находится через параллельный перенос или координатный метод. В задании 14 это стандартная подзадача на 1–2 балла.

Определение скрещивающихся прямых

Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они:

• не имеют общих точек,
• не параллельны.

Скрещивающиеся прямые лежат в разных плоскостях. Пример: ребро куба и противоположное ребро, непараллельное ему.

Определение угла между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми равен острому углу (или прямому, если прямые перпендикулярны) между прямыми, проведёнными через одну точку параллельно данным скрещивающимся прямым.

Он равен острому углу в отрезке от $0°$ до $90°$.

Метод 1. Параллельный перенос

Шаги:

1. Выбери произвольную точку $A$ на одной из скрещивающихся прямых $a$.
2. Проведи через $A$ прямую $b^{\prime }$, параллельную второй скрещивающейся прямой $b$.
3. Угол между $a$ и $b^{\prime }$ в точке $A$ — искомый угол.

Ключевое: если конкретная точка $A$ лежит в вершине куба или на ребре — перенос получается «автоматически» через параллельные рёбра тела.

Пример 1. Куб $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ с ребром 1. Найди угол между прямыми $A{B}_1$ и $CD$.

Решение (координатный метод).

Введём координаты: $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $B_1=(1,0,1)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$.

Направляющие векторы: $\overrightarrow{A{B}_1}=(1,0,1),\overrightarrow{CD}=(-1,0,0)$

Прямые $A{B}_1$ и $CD$ лежат в параллельных плоскостях ($y=0$ и $y=1$), не пересекаются и не параллельны — скрещивающиеся ✓

$\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{A{B}_1}\cdot \overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{A{B}_1}|\cdot |\overrightarrow{CD}|}=\frac{|-1|}{\sqrt{2}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\boxed{\phi =45°}$

Метод 2. Координатный метод

Удобен для кубов, прямоугольных параллелепипедов и пирамид над прямоугольными основаниями.

Шаги:

1. Введи систему координат с началом в удобной вершине тела.
2. Запиши координаты всех нужных точек.
3. Найди направляющие векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ скрещивающихся прямых.
4. Вычисли угол по формуле:

$\cos \phi =\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$

где $\vec{a}\cdot \vec{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$ — скалярное произведение.

5. Найди $\phi =\arccos (\dots )$.

Пример 2 (пирамида, уровень В). В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ со стороной основания 2 и высотой 2 найди угол между прямыми $SA$ и $BD$.

Решение.

Координаты: $A=(-1,-1,0)$, $B=(1,-1,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(-1,1,0)$, $S=(0,0,2)$.

Вектор $\overrightarrow{SA}=A-S=(-1,-1,-2)$.

Вектор $\overrightarrow{BD}=D-B=(-2,2,0)$.

$\vec{a}\cdot \vec{b}=(-1)(-2)+(-1)(2)+(-2)(0)=2-2+0=0$.

$\cos \phi =0\Rightarrow \phi =90°$.

Ответ: прямые $SA$ и $BD$ перпендикулярны.

Пример 3 (куб, уровень В). В кубе с ребром 2 найди угол между диагональю грани и пространственной диагональю куба.

Решение.

Координаты: $A=(0,0,0)$, $B=(2,0,0)$, $C=(2,2,0)$, $D=(0,2,0)$, $A_1=(0,0,2)$, ..., $C_1=(2,2,2)$.

Диагональ грани $AC$: вектор $\overrightarrow{AC}=(2,2,0)$.

Пространственная диагональ $A{C}_1$: вектор $\overrightarrow{A{C}_1}=(2,2,2)$.

$\cos \phi =\frac{|4+4+0|}{\sqrt{8}\cdot \sqrt{12}}=\frac{8}{2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{3}}=\frac{8}{4\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

$\phi =\arccos \frac{\sqrt{6}}{3}\approx 35,3°$.

Ответ: $\arccos \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Частые ошибки

1. Не брать модуль скалярного произведения. Угол между прямыми всегда $\le 90°$. Если получился отрицательный косинус — берём абсолютное значение.
2. Неверно выбрать направляющие векторы. Вектор прямой — это разность координат двух точек на ней. Не перепутай порядок вычитания (он влияет только на знак, который компенсируется модулем).
3. Путать скрещивающиеся и пересекающиеся прямые. Угол между пересекающимися прямыми находится напрямую, без переноса.
4. Неверно ввести координаты. Для прямоугольного параллелепипеда удобно начало координат в вершине, оси — вдоль рёбер.

Связь с другими темами

• Перпендикулярность прямой и плоскости — если прямые перпендикулярны плоскости, это помогает определить взаимное положение.
• Пирамида — скрещивающиеся рёбра пирамиды — типичный случай в задании 14.
• Призма — ребро призмы и диагональ грани часто скрещиваются.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 14 — стереометрия часть 2. Нахождение угла между прямыми — один из типичных вопросов (наряду с объёмом и углом прямая-плоскость).