Какая формула диагонали прямоугольного параллелепипеда?

$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, где $a$, $b$, $c$ — длины рёбер. Это пространственный аналог теоремы Пифагора.

Откуда берётся формула?

Двойное применение теоремы Пифагора. Сначала находим диагональ основания: $d_1 = \sqrt{a^2 + b^2}$. Потом — пространственную диагональ через прямоугольный треугольник из диагонали основания, ребра $c$ и пространственной диагонали: $d^2 = d_1^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Чему равна диагональ куба со стороной $a$?

$d = a\sqrt{3}$. Это частный случай: при $a = b = c$ формула даёт $d = a\sqrt{1+1+1} = a\sqrt{3}$.

Сколько диагоналей у параллелепипеда?

Четыре пространственных диагонали (соединяют противоположные вершины через центр) и двенадцать диагоналей граней (по две на каждой из шести граней). Все четыре пространственные диагонали в прямоугольном параллелепипеде равны.

Как найти угол между диагональю и гранью?

Проекция пространственной диагонали $d$ на плоскость грани — диагональ этой грани $d_1$. Угол $\alpha$ между диагональю и гранью находят из прямоугольного треугольника: $\cos \alpha = d_1 / d$.

Работает ли формула для произвольного параллелепипеда?

Только для прямоугольного. У произвольного (наклонного) параллелепипеда грани — параллелограммы, и формула содержит дополнительные углы.

Диагональ параллелепипеда: формула d² = a² + b² + c²

В задании 3 ЕГЭ встречаются прямоугольные параллелепипеды и кубы с заданными рёбрами. Диагональ или угол наклона диагонали к грани может понадобиться и в вычислительной части задания 15 (стереометрия, часть 2). Чтобы найти длину диагонали, достаточно одной формулы — пространственной теоремы Пифагора. Разберём её и научимся применять.

Что такое параллелепипед

Параллелепипед — призма, у которой основания — параллелограммы. Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, у которого все грани прямоугольники (а основания — прямоугольники, и боковые рёбра перпендикулярны основанию). Если все три ребра равны — это куб.

В прямоугольном параллелепипеде есть два типа диагоналей:

Пространственная диагональ — соединяет противоположные вершины через центр тела. Их 4, и в прямоугольном параллелепипеде все равны.
Диагонали граней — на каждой грани (прямоугольнике) по 2 диагонали, всего у параллелепипеда 6 граней и 12 диагоналей граней.

В этой статье речь пойдёт о пространственной диагонали.

Формула пространственной диагонали

В прямоугольном параллелепипеде с рёбрами $a$ , $b$ , $c$ :

d = a^{2} + b^{2} + c^{2}

Это пространственный аналог теоремы Пифагора.

Доказательство

Двойная теорема Пифагора. Возьмём параллелепипед $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Хотим найти $A C_{1}$ (диагональ из $A$ в $C_{1}$ — противоположную вершину).

Шаг 1. Сначала найдём $A C$ (диагональ основания). $△ A B C$ — прямоугольный (в $B$ ), катеты $A B = a$ , $B C = b$ :

A C = a^{2} + b^{2}

Шаг 2. Теперь $△ A C C_{1}$ — прямоугольный (в $C$ , потому что ребро $C C_{1} ⊥$ основание). Катеты $A C = a^{2} + b^{2}$ , $C C_{1} = c$ :

A C_{1} = A C^{2} + C C_{1}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}

Готово.

Куб как частный случай

Куб со стороной $a$ — это параллелепипед с $a = b = c$ :

d = a^{2} + a^{2} + a^{2} = a 3

Запомни: диагональ куба со стороной $a$ равна $a 3$ .

Пример 1: диагональ прямоугольного параллелепипеда

Условие. Прямоугольный параллелепипед с рёбрами 3, 4, 12. Найди пространственную диагональ.

Решение.

d = 9 + 16 + 144 = 169 = 13

Ответ: $13$ .

Пример 2: диагональ куба

Условие. Найди диагональ куба со стороной $3$ .

Решение.

d = 3 \cdot 3 = 3

Ответ: $3$ .

Пример 3: диагональ через сумму рёбер и сумму квадратов

Условие. В прямоугольном параллелепипеде сумма длин трёх различных рёбер равна 11, а сумма квадратов — 49. Найди пространственную диагональ.

Решение. Дано $a + b + c = 11$ , $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 49$ .

Сразу: $d = a^{2} + b^{2} + c^{2} = 49 = 7$ .

Сумма $a + b + c$ для нахождения диагонали не нужна: в условии она лишняя. Убедись, что такой параллелепипед существует: рёбра $2$ , $3$ и $6$ дают сумму $2 + 3 + 6 = 11$ и сумму квадратов $4 + 9 + 36 = 49$ .

Ответ: $7$ .

Пример 4: ребро через диагональ

Условие. В прямоугольном параллелепипеде с двумя рёбрами 4 и 5 диагональ равна $50$ . Найди третье ребро.

Решение.

50 = 16 + 25 + c^{2} = 41 + c^{2} \Rightarrow c^{2} = 9 \Rightarrow c = 3

Ответ: $3$ .

Пример 5: угол диагонали с плоскостью основания

Условие. Прямоугольный параллелепипед с рёбрами $a = 3$ , $b = 4$ , $c = 12$ . Найди угол между пространственной диагональю $A C_{1}$ и плоскостью основания $A B C D$ .

Решение. Опускаем перпендикуляр из $C_{1}$ на плоскость $A B C D$ — это ребро $C_{1} C$ длиной 12. Проекция диагонали $A C_{1}$ на основание — это диагональ основания $A C = 9 + 16 = 5$ .

Угол $α$ между $A C_{1}$ и плоскостью основания — это угол $∠ C_{1} A C$ в прямоугольном треугольнике $△ A C C_{1}$ :

tan α = \frac{C C _{1}}{A C} = \frac{12}{5}

α = arctan \frac{12}{5} \approx 67, 38°

Ответ: $arctan (12/5)$ .

Пример 6: куб и угол

Условие. В кубе с ребром $a$ найди угол между пространственной диагональю и плоскостью грани.

Решение. Диагональ куба $d = a 3$ . Диагональ грани $d_{1} = a 2$ .

cos α = \frac{d _{1}}{d} = \frac{a 2}{a 3} = \frac{2}{3} = \frac{6}{3}

α = arccos \frac{6}{3} \approx 35, 26°

Ответ: $arccos (6 /3)$ .

Иначе: $sin α = a / (a 3) = 1/ 3$ , или $tan α = 1/ 2$ . Все формулы дают тот же угол.

Полезные следствия для куба со стороной $a$

Диагональ грани: $d_{1} = a 2$ .
Пространственная диагональ: $d = a 3$ .
Угол между пространственной диагональю и гранью: $arctan (1/ 2) \approx 35, 26°$ .
Угол между пространственной диагональю и боковым ребром: $arctan (2) \approx 54, 74°$ .
Угол между двумя пространственными диагоналями: $arccos (1/3) \approx 70, 53°$ .

Алгоритм решения

Запиши рёбра: $a$ , $b$ , $c$ .
Если нужна диагональ — подставь в $d = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .
Если нужен угол с гранью — построй прямоугольный треугольник из ребра, диагонали грани и пространственной диагонали.
Если нужно найти ребро по диагонали и двум другим — выводи через формулу диагонали.

Произвольный (наклонный) параллелепипед

Если параллелепипед не прямоугольный (грани — параллелограммы, не прямоугольники), формула $d = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ не работает. Тогда диагональ зависит ещё и от углов.

Для наклонного параллелепипеда с рёбрами $a, b, c$ :

d^{2} = ∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} + ∣ c ∣^{2} + 2 a \cdot b + 2 b \cdot c + 2 a \cdot c

Это уже векторная геометрия, в школьном курсе её разбирают позже. Задачи на диагональ чаще всего сводятся к прямоугольному случаю.

Частые ошибки

Ошибка 1: применяют формулу к наклонному параллелепипеду. Только прямоугольный.

Ошибка 2: путают диагональ грани и пространственную диагональ. Диагональ грани — на одной грани (две координаты). Пространственная — через тело (три координаты).

Ошибка 3: считают $d = a + b + c$ . Это сумма рёбер, не диагональ. Диагональ всегда меньше суммы (треугольное неравенство).

Ошибка 4: для куба пишут $d = a$ или $d = a 2$ . $d = a 3$ для пространственной диагонали куба.

Где пригодится на ЕГЭ

Задание 3 (стереометрия, часть 1): найти диагональ прямоугольного параллелепипеда или куба. Чаще всего это прямая подстановка в формулу.
Задание 15 (стереометрия, часть 2): в проекте спецификации ЕГЭ-2027 оно включает построение сечения, доказательство и вычисление. В вычислительном пункте нужны длины и углы, и здесь работают те же прямоугольные треугольники: ребро, диагональ грани, пространственная диагональ.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда служит ещё и диаметром описанной около него сферы: центр сферы лежит в центре параллелепипеда, а все восемь вершин равноудалены от него на половину диагонали. Этот факт связывает тему с задачами о сфере и шаре.

Связь с другими темами

Сфера и шар — радиус сферы, описанной около параллелепипеда, равен $d /2$ .
Сечение многогранника — сечения параллелепипеда и куба строят по вершинам и диагоналям граней.
Объём пирамиды — пирамиду можно построить на вершинах параллелепипеда, тогда её высоту и рёбра находят через рёбра и диагонали параллелепипеда.

Потренируй стереометрию

Короткая диагностика покажет, где у тебя пробелы в задачах на параллелепипеды и кубы. Дальше — точечная тренировка.

Попробовать бесплатно

Что запомнить

Прямоугольный параллелепипед: $d = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .
Куб: $d = a 3$ .
Доказательство: двойная теорема Пифагора.
Угол диагонали с гранью: $cos α = d_{грани} / d_{простр}$ .
В кубе: углы диагонали с гранью $\approx 35, 26°$ , с ребром $\approx 54, 74°$ , между двумя диагоналями $\approx 70, 53°$ .
Формула не работает для наклонного параллелепипеда — там нужна векторная геометрия.

Проверено: 2026-10-08.

Диагональ параллелепипеда

Что такое параллелепипед

Формула пространственной диагонали

Доказательство

Куб как частный случай

Пример 1: диагональ прямоугольного параллелепипеда

Пример 2: диагональ куба

Пример 3: диагональ через сумму рёбер и сумму квадратов

Пример 4: ребро через диагональ

Пример 5: угол диагонали с плоскостью основания

Пример 6: куб и угол

Полезные следствия для куба со стороной $a$

Алгоритм решения

Произвольный (наклонный) параллелепипед

Частые ошибки

Где пригодится на ЕГЭ

Связь с другими темами

Что запомнить

Частые вопросы

Смежные темы

Что такое параллелепипед

Формула пространственной диагонали

Доказательство

Куб как частный случай

Пример 1: диагональ прямоугольного параллелепипеда

Пример 2: диагональ куба

Пример 3: диагональ через сумму рёбер и сумму квадратов

Пример 4: ребро через диагональ

Пример 5: угол диагонали с плоскостью основания

Пример 6: куб и угол

Полезные следствия для куба со стороной a

Алгоритм решения

Произвольный (наклонный) параллелепипед

Частые ошибки

Где пригодится на ЕГЭ

Связь с другими темами

Что запомнить

Частые вопросы

Смежные темы

Полезные следствия для куба со стороной $a$