Диагональ параллелепипеда

В задании 3 и 14 ЕГЭ часто появляются прямоугольные параллелепипеды и кубы с заданными рёбрами. Чтобы найти длину диагонали или угол наклона диагонали к грани, достаточно одной формулы — пространственной теоремы Пифагора. Разберём её и научимся применять.

Что такое параллелепипед

Параллелепипед — призма, у которой основания — параллелограммы. Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, у которого все грани прямоугольники (а основания — прямоугольники, и боковые рёбра перпендикулярны основанию). Также называется кубоидом.

Если все три ребра равны — это куб.

В прямоугольном параллелепипеде есть два типа диагоналей:

1. Пространственная диагональ — соединяет противоположные вершины через центр тела. Их 4, и в прямоугольном параллелепипеде все равны.
2. Диагонали граней — на каждой грани (прямоугольнике) по 2 диагонали.

В этой статье речь пойдёт о пространственной диагонали.

Формула пространственной диагонали

В прямоугольном параллелепипеде с рёбрами $a$, $b$, $c$:

Это пространственный аналог теоремы Пифагора.

Доказательство

Двойная теорема Пифагора. Возьмём параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Хотим найти $AC_1$ (диагональ из $A$ в $C_1$ — противоположную вершину).

Шаг 1. Сначала найдём $AC$ (диагональ основания). $\triangle ABC$ — прямоугольный (в $B$), катеты $AB = a$, $BC = b$:

Шаг 2. Теперь $\triangle ACC_1$ — прямоугольный (в $C$, потому что ребро $CC_1 \perp$ основание). Катеты $AC = \sqrt{a^2+b^2}$, $CC_1 = c$:

Готово.

Куб как частный случай

Куб со стороной $a$ — это параллелепипед с $a = b = c$:

Запомни: диагональ куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$.

Пример 1: диагональ прямоугольного параллелепипеда

Условие. Прямоугольный параллелепипед с рёбрами 3, 4, 12. Найди пространственную диагональ.

Решение.

Ответ: $13$.

Пример 2: диагональ куба

Условие. Найди диагональ куба со стороной $\sqrt{3}$.

Решение.

Ответ: $3$.

Пример 3: диагональ через периметр и площадь

Условие. В прямоугольном параллелепипеде сумма длин трёх различных рёбер равна 11, а сумма квадратов — 49. Найди пространственную диагональ.

Решение. Дано $a + b + c = 11$, $a^2 + b^2 + c^2 = 49$.

Сразу: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{49} = 7$.

Сумма $a+b+c$ для нахождения диагонали даже не нужна — это «лишняя» информация в условии (или для проверки реализуемости).

Ответ: $7$.

Пример 4: ребро через диагональ

Условие. В прямоугольном параллелепипеде с двумя рёбрами 4 и 5 диагональ равна $\sqrt{50}$. Найди третье ребро.

Решение.

Ответ: $3$.

Пример 5: угол диагонали с плоскостью основания

Условие. Прямоугольный параллелепипед с рёбрами $a = 3$, $b = 4$, $c = 12$. Найди угол между пространственной диагональю $AC_1$ и плоскостью основания $ABCD$.

Решение. Опускаем перпендикуляр из $C_1$ на плоскость $ABCD$ — это ребро $C_1C$ длиной 12. Проекция диагонали $AC_1$ на основание — это диагональ основания $AC = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Угол $\alpha$ между $AC_1$ и плоскостью основания — это угол $\angle C_1AC$ в прямоугольном треугольнике $\triangle ACC_1$:

Ответ: $\arctan(12/5)$.

Пример 6: куб и угол

Условие. В кубе с ребром $a$ найди угол между пространственной диагональю и плоскостью грани.

Решение. Диагональ куба $d = a\sqrt{3}$. Диагональ грани $d_1 = a\sqrt{2}$.

Ответ: $\arccos(\sqrt{6}/3)$.

Иначе: $\sin \alpha = a/(a\sqrt{3}) = 1/\sqrt{3}$, или $\tan \alpha = 1/\sqrt{2}$. Все формулы дают тот же угол.

Полезные следствия для куба со стороной $a$

• Диагональ грани: $d_1 = a\sqrt{2}$.
• Пространственная диагональ: $d = a\sqrt{3}$.
• Угол между пространственной диагональю и гранью: $\arctan(1/\sqrt{2}) \approx 35{,}26°$.
• Угол между пространственной диагональю и боковым ребром: $\arctan(\sqrt{2}) \approx 54{,}74°$.
• Угол между двумя пространственными диагоналями: $\arccos(1/3) \approx 70{,}53°$.

Алгоритм решения

1. Запиши рёбра: $a$, $b$, $c$.
2. Если нужна диагональ — подставь в $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.
3. Если нужен угол с гранью — построй прямоугольный треугольник из ребра, диагонали грани и пространственной диагонали.
4. Если нужно найти ребро по диагонали и двум другим — выводи через формулу диагонали.

Произвольный (наклонный) параллелепипед

Если параллелепипед не прямоугольный (грани — параллелограммы, не прямоугольники), формула $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$ не работает. Тогда диагональ зависит ещё и от углов.

Для наклонного параллелепипеда с рёбрами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$:

Это уже векторная геометрия, в школе обычно не разбирают. В ЕГЭ профиль задачи — только на прямоугольный.

Частые ошибки

Ошибка 1: применяют формулу к наклонному параллелепипеду. Только прямоугольный.

Ошибка 2: путают диагональ грани и пространственную диагональ. Диагональ грани — на одной грани (две координаты). Пространственная — через тело (три координаты).

Ошибка 3: считают $d = a + b + c$. Это сумма рёбер, не диагональ. Диагональ всегда меньше суммы (треугольное неравенство).

Ошибка 4: для куба пишут $d = a$ или $d = a\sqrt{2}$. $d = a\sqrt{3}$ для пространственной диагонали куба.

Когда в ЕГЭ

В заданиях ЕГЭ профиль:

• Задание 3: «Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда / куба» — прямая подстановка.
• Задание 14: «Найти угол диагонали с гранью / с ребром» — через прямоугольный треугольник и тригонометрию.

Эта формула — одна из самых лёгких для запоминания и одна из самых частых в стереометрии.

Что запомнить

• Прямоугольный параллелепипед: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.
• Куб: $d = a\sqrt{3}$.
• Доказательство: двойная теорема Пифагора.
• Угол диагонали с гранью: $\cos \alpha = d_{\text{грани}} / d_{\text{простр}}$.
• В кубе: углы диагонали с гранью $\approx 35{,}26°$, с ребром $\approx 54{,}74°$, между двумя диагоналями $\approx 70{,}53°$.
• Формула не работает для наклонного параллелепипеда — там нужна векторная геометрия.