Предел функции: определение и вычисление

Предел — одно из базовых понятий математического анализа. На ЕГЭ профиль он встречается в задании 11 как вспомогательный инструмент при исследовании функции: нахождение асимптот, разрывов, поведения на бесконечности.

Интуитивное определение

Говорят, что предел функции $f(x)$ при $x \to a$ равен $L$, если значения $f(x)$ становятся сколь угодно близкими к $L$ при значениях $x$, достаточно близких к $a$ (но не равных $a$).

Записывают так:

$\lim_{x \to a} f(x) = L$

Ключевые моменты:

• $x$ приближается к $a$, но не равно $a$
• $f(a)$ может не существовать — это не мешает пределу существовать
• Если $f(x) \to +\infty$ или $-\infty$, говорят, что предел бесконечен (но это не число)

Пример. Найди $\displaystyle\lim_{x \to 2} (3x + 1)$.

Функция $3x + 1$ непрерывна в точке 2, поэтому просто подставляем: $3 \cdot 2 + 1 = 7$.

Когда подстановка работает

Если функция определена и непрерывна в точке $a$, достаточно подставить $x = a$:

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Примеры:

• $\displaystyle\lim_{x \to 3} (x^2 - 5x + 1) = 9 - 15 + 1 = -5$
• $\displaystyle\lim_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1$
• $\displaystyle\lim_{x \to 1} \sqrt{x + 3} = \sqrt{4} = 2$

Неопределённость 0/0

Если при подстановке $x = a$ получается $\dfrac{0}{0}$ — это неопределённость. Значение предела при этом неизвестно и требует раскрытия.

Что делать: разложить числитель и знаменатель на множители, сократить общий множитель, тогда подставить.

Метод разложения на множители

Пример. Найди $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

При $x = 2$: $\dfrac{4 - 4}{2 - 2} = \dfrac{0}{0}$ — неопределённость.

Разложим числитель: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$

Сокращение $(x-2)/(x-2)$ допустимо, потому что $x \to 2$, но $x \ne 2$.

Метод умножения на сопряжённое

Применяется, когда в числителе или знаменателе есть корни.

Пример. Найди $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$.

При $x = 0$: $\dfrac{0}{0}$.

Умножаем числитель и знаменатель на $(\sqrt{x+1} + 1)$:

$\frac{(\sqrt{x+1} - 1)(\sqrt{x+1} + 1)}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{(x+1) - 1}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$

При $x \to 0$: $\dfrac{1}{\sqrt{1}+1} = \dfrac{1}{2}$.

Предел при $x \to \infty$

Для нахождения горизонтальных асимптот нужно вычислять предел при $x \to +\infty$ или $x \to -\infty$.

Правило для рациональных функций: дели числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени.

Пример. Найди $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5}{x^2 - 1}$.

Делим на $x^2$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 + 5/x^2}{1 - 1/x^2} = \frac{3 + 0}{1 - 0} = 3$

Разбор задачи 1

Условие. Найди $\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$.

Решение.

При $x = 3$: $\dfrac{9-9}{9-15+6} = \dfrac{0}{0}$ — неопределённость.

Разложим: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$; $x^2 - 5x + 6 = (x-3)(x-2)$.

$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-2)} = \lim_{x \to 3} \frac{x+3}{x-2} = \frac{6}{1} = 6$

Разбор задачи 2

Условие. Найди $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 - 2x}{3x^3 + x^2 + 1}$.

Решение.

Делим числитель и знаменатель на $x^3$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{5 - 2/x^2}{3 + 1/x + 1/x^3} = \frac{5 - 0}{3 + 0 + 0} = \frac{5}{3}$