Трапеция — свойства, площадь, диагонали

Трапеция — четырёхугольник с одной парой параллельных сторон. Эти стороны называются основаниями (большее основание $a$ и меньшее $b$), две другие — боковыми сторонами. На ЕГЭ профиль трапеция встречается в трёх местах: задание 1 (вычислить углы или площадь по простым данным), задание 3 (трапеция как основание призмы), задание 16 (планиметрия повышенной сложности).

Виды трапеций

В школе различают три вида трапеций.

Произвольная трапеция — общий случай, никаких дополнительных свойств кроме параллельности оснований.

Равнобедренная трапеция — боковые стороны равны: $c=d$. Это самый частый вид в задачах ЕГЭ, потому что у неё много полезных свойств.

Прямоугольная трапеция — одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Эта боковая сторона совпадает с высотой трапеции.

Свойства произвольной трапеции

Что верно для любой трапеции независимо от вида:

1. Сумма углов при каждой боковой стороне равна $180°$. Это следствие параллельности оснований: углы при боковой стороне — это односторонние углы при параллельных прямых.
2. Высота трапеции — расстояние между основаниями. Любой перпендикуляр от одного основания до другого имеет одну и ту же длину $h$.
3. Сумма всех четырёх углов равна $360°$, как у любого четырёхугольника.

Из свойства 1 следует практическое наблюдение: если в задании дан один из углов при боковой стороне, второй автоматически равен $180°$ минус первый.

Свойства равнобедренной трапеции

У равнобедренной трапеции, помимо общих свойств, есть три ключевых добавочных.

1. Углы при основании равны. Если $\angle A=\alpha$, то и $\angle D=\alpha$. Аналогично, $\angle B=\angle C=180°-\alpha$.

Доказательство. Опустим из вершин $B$ и $C$ перпендикуляры $B{H}_1$ и $C{H}_2$ на основание $AD$. Получились прямоугольные треугольники $AB{H}_1$ и $DC{H}_2$ с равными гипотенузами ($AB=CD$ по равнобедренности) и равными катетами ($B{H}_1=C{H}_2$ как перпендикуляры между параллельными). Они равны по гипотенузе и катету, значит $\angle A=\angle D$.

2. Диагонали равны. $AC=BD$.

Доказательство. Треугольники $ABD$ и $DCA$ равны: $AB=CD$ (по равнобедренности), $\angle BAD=\angle CDA$ (по свойству 1), $AD$ общая. По двум сторонам и углу: треугольники равны, значит и третьи стороны $BD$ и $AC$ равны.

3. Ось симметрии. Прямая, проходящая через середины оснований, является осью симметрии равнобедренной трапеции. Это часто упрощает решение задач: вместо построения всей фигуры можно работать только с её половиной.

Свойства прямоугольной трапеции

У прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, значит она же является высотой.

Пусть $AB$ — перпендикулярная боковая. Тогда:

• $\angle A=\angle B=90°$
• $AB=h$ (это и боковая, и высота)
• Вторая боковая $CD$ под наклоном; её длину можно найти по теореме Пифагора, опустив из $C$ перпендикуляр на $AD$.

Прямоугольная трапеция в задаче встречается реже равнобедренной, но обычно даёт более прямой путь к ответу через теорему Пифагора.

Средняя линия трапеции

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины двух боковых сторон. Её длина равна полусумме оснований:

$m=\frac{a+b}{2}$

Средняя линия параллельна основаниям. Подробное доказательство и более сложные задачи на среднюю линию — на отдельной странице: Средняя линия трапеции.

Площадь трапеции

Базовая формула площади трапеции через основания и высоту:

$S=\frac{a+b}{2}\cdot h$

То есть площадь равна произведению средней линии на высоту: $S=m\cdot h$.

Эта формула работает для любой трапеции независимо от вида. Для равнобедренной можно записать иначе: если известна боковая сторона $c$ и угол при основании $\alpha$, то $h=c\sin \alpha$, и формула становится:

$S=\frac{a+b}{2}\cdot c\sin \alpha$

Через диагонали для произвольной трапеции площадь напрямую не выражается, в отличие от ромба. Но если диагонали перпендикулярны (это особый частный случай), площадь равна $\frac{d_1\cdot d_2}{2}$.

Свойство диагоналей: точка пересечения делит их в отношении оснований

Теорема. Диагонали трапеции пересекаются в одной точке. Эта точка делит каждую диагональ в отношении оснований.

То есть если диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, то

$\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}=\frac{a}{b}$

где $a=AD$ — большее основание, $b=BC$ — меньшее.

Доказательство (короткое). Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны: углы при $O$ равны (вертикальные), углы $OAD$ и $OCB$ равны как накрест лежащие при параллельных $AD$ и $BC$. Значит, треугольники подобны по двум углам. Из подобия: $\frac{AO}{CO}=\frac{AD}{CB}=\frac{a}{b}$.

Это свойство в задании 16 встречается, когда нужно найти отрезки диагоналей или площади подобных треугольников, образованных диагоналями.

Дополнительное наблюдение: треугольники $AOB$ и $DOC$ (между основаниями) равновелики, то есть имеют одинаковую площадь. Это часто помогает в задачах, где нужно сравнить площади частей трапеции.

Вписанная и описанная окружности трапеции

В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон:

$a+b=c+d$

Это общий признак вписанной окружности для любого четырёхугольника. Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции: $r=h/2$.

Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная. Это потому, что вписанный четырёхугольник имеет сумму противоположных углов $180°$, а в трапеции эта сумма равна $180°$ только при равенстве углов при основании, то есть при равнобедренности.

В задании 16 эти признаки часто работают как отправная точка: если в условии «трапеция вписана в окружность», ты сразу знаешь, что она равнобедренная.

Три типовых примера ЕГЭ

Пример 1 (задание 1)

Условие. Основания трапеции равны $5$ и $13$. Высота трапеции $4$. Найди площадь трапеции.

Решение. Применяем базовую формулу:

$S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{5+13}{2}\cdot 4=9\cdot 4=36$

Ответ. $36$.

Простая задача на прямую подстановку. Главное, не забыть разделить на 2 в средней линии.

Пример 2 (задание 1)

Условие. В равнобедренной трапеции один из углов равен $70°$. Найди градусные меры остальных трёх углов.

Решение. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Если $\angle A=70°$, то и $\angle D=70°$ (углы при большем основании).

Углы $\angle B$ и $\angle C$ — при меньшем основании. По свойству суммы углов при боковой стороне:

$\angle A+\angle B=180°$ $\angle B=180°-70°=110°$

Аналогично, $\angle C=110°$.

Ответ. $70°$, $110°$, $110°$.

Пример 3 (задание 16)

Условие. В равнобедренной трапеции $ABCD$ основания $BC=6$, $AD=14$. Боковая сторона $AB=5$. Найди диагональ $AC$.

Решение. Опустим из $B$ перпендикуляр $BH$ на основание $AD$. По свойствам равнобедренной трапеции:

$AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{14-6}{2}=4$

Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора:

$BH=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\sqrt{25-16}=3$

Значит, высота трапеции $h=3$.

Теперь найдём диагональ $AC$. Точка $C$ имеет высоту $h$ над основанием $AD$, и её проекция на $AD$ находится на расстоянии $AH+BC=4+6=10$ от точки $A$. Из прямоугольного треугольника с катетами $10$ и $3$:

$AC=\sqrt{10^2+3^2}=\sqrt{109}$

Ответ. $\sqrt{109}$.

Стандартный паттерн задачи 16 для трапеции: опускаешь высоту, получаешь прямоугольный треугольник, применяешь Пифагора. Если хорошо умеешь работать с этим паттерном, половина задач 16 на трапецию решается уверенно.

Признаки равнобедренной трапеции

Признак — это условие, при выполнении которого трапеция является равнобедренной. На ЕГЭ в задании 16 часто требуется не использовать равнобедренность как данное, а доказать её.

Признак 1: равенство диагоналей. Если диагонали трапеции равны, она равнобедренная.

Признак 2: равенство углов при основании. Если углы при одном из оснований равны, трапеция равнобедренная.

Признак 3: симметричность относительно перпендикуляра к основаниям. Если трапеция имеет ось симметрии, перпендикулярную основаниям, она равнобедренная.

Признак 4: вписанная в окружность. Если трапеция вписана в окружность, она равнобедренная (потому что только у равнобедренной выполняется условие «сумма противоположных углов = 180°»).

В типовой задаче 16 на доказательство ты выбираешь, через какой признак удобнее зайти, исходя из того, что дано в условии. Если есть равные диагонали, заходи через признак 1. Если есть углы — через признак 2. Если речь про окружность — через признак 4.

Как разбивают трапецию на простые фигуры

Один из самых сильных приёмов в задачах на трапецию — разбиение её на треугольники и параллелограмм. Опускаешь из меньшего основания перпендикуляры или проводишь параллельную, и трапеция распадается на три фигуры, с каждой из которых работать проще.

Способ 1: опустить перпендикуляры из вершин меньшего основания. Тогда трапеция делится на прямоугольник в середине и два прямоугольных треугольника по бокам.

Способ 2: провести из вершины меньшего основания прямую, параллельную одной из боковых сторон. Тогда трапеция делится на параллелограмм и треугольник. Этот приём особенно полезен, когда нужно работать с боковыми сторонами и не очень удобно с высотой.

Способ 3: провести диагональ. Тогда трапеция делится на два треугольника. Этот приём используют, когда нужно сравнить площади или использовать подобие.

В задаче 16 правильный выбор разбиения экономит 5–10 минут решения. Сначала смотри, что дано (углы, стороны, диагонали), потом выбирай разбиение, при котором именно эти данные становятся катетами/гипотенузами/основаниями простых фигур.

Распространённые ошибки

1. Применять формулу средней линии к произвольному четырёхугольнику. Формула $m=(a+b)/2$ работает только для трапеции (где $a$ и $b$ параллельны). У произвольного четырёхугольника отрезок, соединяющий середины противоположных сторон, не равен полусумме других сторон.

2. Считать диагонали равными в неравнобедренной трапеции. Диагонали равны только в равнобедренной. В произвольной они почти всегда разные.

3. Применять формулу $S=\frac{d_1{d}_2}{2}$ к трапеции. Эта формула для четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями. Для трапеции она работает только в редком частном случае (когда диагонали действительно перпендикулярны), а так — нет.

4. Не замечать, что трапеция прямоугольная, и опускать дополнительный перпендикуляр. Если в условии есть прямой угол при боковой, эта боковая сама является высотой. Опускать ещё один перпендикуляр — лишний шаг.

5. Путать «трапеция вписана в окружность» и «окружность вписана в трапецию». Это разные конструкции. В первом случае окружность снаружи (вокруг), во втором внутри. И условия применимости разные: вписана в окружность только равнобедренная, а описать окружность можно вокруг любой трапеции, у которой основания + боковые удовлетворяют условию.

Связь равнобедренной трапеции и описанной около треугольника окружности

Полезное наблюдение, которое помогает в задаче 16: если в равнобедренной трапеции продлить боковые стороны до пересечения, они встретятся в одной точке над меньшим основанием. Получится равнобедренный треугольник, у которого основания трапеции — параллельные сечения. Этот треугольник можно вписать в одну окружность вместе с самой трапецией (если она вписывается), потому что всё это симметрично.

Обратное наблюдение: если в задаче дан равнобедренный треугольник и через его стороны проведена прямая, параллельная основанию, она отсекает равнобедренную трапецию. Это часто используется в комбинированных задачах.

Что запомнить

Три ключевые формулы и три факта о равнобедренной:

1. Площадь: $S=\frac{a+b}{2}\cdot h$ (полусумма оснований на высоту).
2. Средняя линия: $m=\frac{a+b}{2}$, параллельна основаниям.
3. Диагонали в точке пересечения: делятся в отношении $a/b$.
4. Равнобедренная трапеция: углы при основании равны, диагонали равны, есть ось симметрии.
5. Вписанная окружность: $a+b=c+d$. Описанная окружность: только для равнобедренной.

Связь с другими темами

• Средняя линия трапеции — глубокий разбор теоремы и сложных задач.
• Теорема Пифагора — работает в каждой задаче, где из вершин трапеции опускается перпендикуляр.
• Подобие треугольников — основа доказательства свойства диагоналей.
• Параллелограмм, ромб, квадрат — соседнее семейство четырёхугольников. Часто задача 16 комбинирует обе фигуры.