Задание 9 ЕГЭ профиль — физический смысл производной

Задание 9 ЕГЭ профиль — задача на физический смысл производной. Базовая идея: если задан путь как функция времени, то скорость = производная. Решение состоит из двух шагов: продифференцировать и подставить.

Что проверяется в задании 9

• Дана функция движения $S(t)$ или $x(t)$.
• Найти мгновенную скорость в заданный момент.
• Иногда — мгновенное ускорение.
• Иногда — момент, когда скорость равна заданному значению.

Ответ — число.

Физический смысл производной

Скорость — производная пути по времени:

$v(t) = S'(t)$

Ускорение — производная скорости по времени:

$a(t) = v'(t) = S''(t)$

Это вторая производная пути.

В общем случае: «скорость изменения чего-то по чему-то» — это производная. Если в задаче спрашивают «насколько быстро меняется $X$ при изменении $Y$» — это $X'$ (по $Y$).

Минимальный набор формул дифференцирования

Правила:

• $(f + g)' = f' + g'$ (сумма).
• $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ (константа выносится).
• $(f \cdot g)' = f' g + f g'$ (произведение).

Алгоритм решения задачи 9

1. Прочитать условие — выписать $S(t)$.
2. Продифференцировать $S(t)$, получить $v(t) = S'(t)$.
3. Подставить заданный $t_0$ в $v(t)$.
4. Получить значение скорости.

Если в задаче спрашивают про момент времени, в который скорость равна заданному значению, — приравнять $S'(t) = v_0$ и решить относительно $t$.

Типовая задача

Условие. Материальная точка движется по закону $S(t) = t^3 - 5t^2 + 4t + 2$ (метр за секунду). Найти мгновенную скорость в момент $t = 3$ сек.

Решение.

Производная: $v(t) = S'(t) = 3t^2 - 10t + 4$.

Подставим $t = 3$: $v(3) = 27 - 30 + 4 = 1$.

Ответ. $1$ м/с.

Задача обратного типа

Условие. Материальная точка движется по закону $S(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 3$. В какой момент времени скорость равна $0$?

Решение.

$v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3)$.

$v(t) = 0$ при $t = 1$ или $t = 3$.

Если в задаче «когда впервые скорость равна нулю», ответ $t = 1$.

Задачи с другими физическими величинами

Иногда в задаче не путь, а другая физическая величина — масса, температура, сила тока, объём. Логика та же: «скорость изменения $X$» = $X'$.

Пример. «Заряд конденсатора задан как $q(t) = 2t^2 + 3t - 1$ (в кулонах). Найти силу тока $I(2)$.»

Сила тока = скорость изменения заряда: $I(t) = q'(t)$.

$I(t) = 4t + 3$. $I(2) = 11$ А.

Распространённые ошибки

1. Подставить $t_0$ до дифференцирования. Подставлять нужно после взятия производной. Иначе получится константа, и производная будет $0$.

2. Не упростить $S(t)$ перед дифференцированием. Если в условии $S(t) = (t + 2)(t - 1)^2$, не обязательно сразу дифференцировать произведение. Можно раскрыть скобки и получить $S(t) = t^3 - 3t + 2$ — дифференцировать проще.

3. Перепутать единицы. Если время в часах, путь в километрах — скорость в км/ч. Внимательно следи за условием. На ЕГЭ единицы часто пишутся словами «метры за секунду» — обращай внимание.

4. Дифференцировать по $S$ вместо $t$. Производная $S(t)$ — по $t$. Перепутать переменную — типичная ошибка.

5. Считать, что $S(t) = \text{const}$ → точка стоит. Да, это так. Но в условии обычно $S$ — реально функция от $t$. Если получишь $v = 0$, значит точка остановилась.

Разобранный пример

Условие. Материальная точка движется прямолинейно по закону $S(t) = -\dfrac{1}{6}t^3 + 7t^2 + 6t + 1$ (где $S$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах). В какой момент времени её скорость была равна $50$ м/с?

Решение.

$v(t) = S'(t) = -\dfrac{1}{6} \cdot 3t^2 + 7 \cdot 2t + 6 = -\dfrac{t^2}{2} + 14t + 6$.

Уравнение $v(t) = 50$:

$-\frac{t^2}{2} + 14t + 6 = 50$ $-\frac{t^2}{2} + 14t - 44 = 0$ $t^2 - 28t + 88 = 0$ $D = 784 - 352 = 432$ $t = \frac{28 \pm \sqrt{432}}{2}$

$\sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3}$. $t = 14 \pm 6\sqrt{3}$.

В реальной задаче ЕГЭ числа подбираются так, чтобы корень был «хорошим». Если получился иррациональный — проверь подход или выбери первый по времени.

Условие в типичной форме. Если в задаче дано $v_0$ кратное «удобному», ответ — целое.

Что запомнить

• Скорость = производная пути: $v = S'(t)$.
• Ускорение = производная скорости: $a = v' = S''$.
• Алгоритм: дифференцировать → подставить.
• Подстановку — после дифференцирования.
• $(t^n)' = n t^{n-1}$ — основная формула.

Связь с другими темами

• Задание 7: производная по графику — геометрический смысл производной.
• Производная — теория и формулы.
• Монотонность функции — общий контекст.