Задание 9 ЕГЭ профиль — физический смысл производной

Задание 9 ЕГЭ профиль — задача на физический смысл производной. Базовая идея: если задан путь как функция времени, то скорость = производная. Решение состоит из двух шагов: продифференцировать и подставить.

Что проверяется в задании 9

• Дана функция движения $S(t)$ или $x(t)$.
• Найти мгновенную скорость в заданный момент.
• Иногда — мгновенное ускорение.
• Иногда — момент, когда скорость равна заданному значению.

Ответ — число.

Физический смысл производной

Скорость — производная пути по времени:

$v(t)=S^{\prime }(t)$

Ускорение — производная скорости по времени:

$a(t)=v^{\prime }(t)=S^{\prime \prime }(t)$

Это вторая производная пути.

В общем случае: «скорость изменения чего-то по чему-то» — это производная. Если в задаче спрашивают «насколько быстро меняется $X$ при изменении $Y$» — это $X^{\prime }$ (по $Y$).

Минимальный набор формул дифференцирования

Правила:

• $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$ (сумма).
• $(c\cdot f{)}^{\prime }=c\cdot f^{\prime }$ (константа выносится).
• $(f\cdot g{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ (произведение).

Алгоритм решения задачи 9

1. Прочитать условие — выписать $S(t)$.
2. Продифференцировать $S(t)$, получить $v(t)=S^{\prime }(t)$.
3. Подставить заданный $t_0$ в $v(t)$.
4. Получить значение скорости.

Если в задаче спрашивают про момент времени, в который скорость равна заданному значению, — приравнять $S^{\prime }(t)=v_0$ и решить относительно $t$.

Типовая задача

Условие. Материальная точка движется по закону $S(t)=t^3-5t^2+4t+2$ (метр за секунду). Найти мгновенную скорость в момент $t=3$ сек.

Решение.

Производная: $v(t)=S^{\prime }(t)=3t^2-10t+4$.

Подставим $t=3$: $v(3)=27-30+4=1$.

Ответ. $1$ м/с.

Задача обратного типа

Условие. Материальная точка движется по закону $S(t)=t^3-6t^2+9t+3$. В какой момент времени скорость равна $0$?

Решение.

$v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$.

$v(t)=0$ при $t=1$ или $t=3$.

Если в задаче «когда впервые скорость равна нулю», ответ $t=1$.

Задачи с другими физическими величинами

Иногда в задаче не путь, а другая физическая величина — масса, температура, сила тока, объём. Логика та же: «скорость изменения $X$» = $X^{\prime }$.

Пример. «Заряд конденсатора задан как $q(t)=2t^2+3t-1$ (в кулонах). Найти силу тока $I(2)$.»

Сила тока = скорость изменения заряда: $I(t)=q^{\prime }(t)$.

$I(t)=4t+3$. $I(2)=11$ А.

Распространённые ошибки

1. Подставить $t_0$ до дифференцирования. Подставлять нужно после взятия производной. Иначе получится константа, и производная будет $0$.

2. Не упростить $S(t)$ перед дифференцированием. Если в условии $S(t)=(t+2)(t-1{)}^2$, не обязательно сразу дифференцировать произведение. Можно раскрыть скобки и получить $S(t)=t^3-3t+2$ — дифференцировать проще.

3. Перепутать единицы. Если время в часах, путь в километрах — скорость в км/ч. Внимательно следи за условием. На ЕГЭ единицы часто пишутся словами «метры за секунду» — обращай внимание.

4. Дифференцировать по $S$ вместо $t$. Производная $S(t)$ — по $t$. Перепутать переменную — типичная ошибка.

5. Считать, что $S(t)=\text{const}$ → точка стоит. Да, это так. Но в условии обычно $S$ — реально функция от $t$. Если получишь $v=0$, значит точка остановилась.

Разобранный пример

Условие. Материальная точка движется прямолинейно по закону $S(t)=-\frac{1}{6}{t}^3+7t^2+6t+1$ (где $S$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах). В какой момент времени её скорость была равна $50$ м/с?

Решение.

$v(t)=S^{\prime }(t)=-\frac{1}{6}\cdot 3t^2+7\cdot 2t+6=-\frac{t^2}{2}+14t+6$.

Уравнение $v(t)=50$:

$-\frac{t^2}{2}+14t+6=50$ $-\frac{t^2}{2}+14t-44=0$ $t^2-28t+88=0$ $D=784-352=432$ $t=\frac{28\pm \sqrt{432}}{2}$

$\sqrt{432}=\sqrt{144\cdot 3}=12\sqrt{3}$. $t=14\pm 6\sqrt{3}$.

В реальной задаче ЕГЭ числа подбираются так, чтобы корень был «хорошим». Если получился иррациональный — проверь подход или выбери первый по времени.

Условие в типичной форме. Если в задаче дано $v_0$ кратное «удобному», ответ — целое.

Что запомнить

• Скорость = производная пути: $v=S^{\prime }(t)$.
• Ускорение = производная скорости: $a=v^{\prime }=S^{\prime \prime }$.
• Алгоритм: дифференцировать → подставить.
• Подстановку — после дифференцирования.
• $(t^n{)}^{\prime }=n{t}^{n-1}$ — основная формула.

Связь с другими темами

• Задание 7: производная по графику — геометрический смысл производной.
• Производная — теория и формулы.
• Монотонность функции — общий контекст.