Что проверяет задание 3 ЕГЭ?

Задание 3 — объёмы и площади поверхностей стереометрических тел: куб, параллелепипед, призма, пирамида, конус, цилиндр, шар, усечённые тела. Обычно нужно подставить данные в формулу и вычислить.

Какие тела встречаются в задании 3?

Куб, прямоугольный параллелепипед, правильная призма, правильная пирамида, цилиндр, конус, шар, иногда усечённая пирамида или конус. Реже — составные тела (шар в конусе, пирамида в кубе).

Можно ли решить задание 3 без знания стереометрии?

Да, если выучить таблицу формул. Большинство задач — подставь числа, вычисли. Главное не путать формулы объёма и площади поверхности.

Что такое апофема пирамиды и зачем она нужна?"

Апофема правильной пирамиды — высота боковой грани (треугольника). Нужна для вычисления площади боковой поверхности: S_бок = (1/2) × P × l, где P — периметр основания, l — апофема.

Задание 3 ЕГЭ — все формулы объёмов и площадей поверхностей

Задание 3 — стереометрические объёмы и площади. Это таблица формул + умение подставить числа. Выучи таблицу — задание становится техническим.

Зачем нужна эта шпаргалка

В задании 3 ЕГЭ нет сложных доказательств. Главное — знать формулу для нужного тела и правильно подставить данные. Типичные ошибки: перепутать объём и площадь, использовать апофему вместо высоты.

Куб

Ребро: $a$ .

$V = a^3$ $S_{\text{полн}} = 6a^2$ $d = a\sqrt{3} \quad \text{(пространственная диагональ)}$ $d_{\text{грани}} = a\sqrt{2}$

Прямоугольный параллелепипед

Рёбра: $a$ , $b$ , $c$ .

$V = abc$ $S_{\text{полн}} = 2(ab+bc+ac)$ $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Правильная призма

Основание — правильный $n$ -угольник со стороной $a$ ; высота $h$ .

$V = S_{\text{осн}} \cdot h$

Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h$

где $P_{\text{осн}}$ — периметр основания.

Часто используемые основания:

Основание	$S_{\text{осн}}$
Квадрат (сторона $a$ )	$a^2$
Правильный треугольник (сторона $a$ )	$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Правильный шестиугольник (сторона $a$ )	$\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Правильная пирамида

Основание — правильный $n$ -угольник со стороной $a$ ; высота $h$ ; апофема $l$ (высота боковой грани).

$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$

$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l$

Апофема через высоту: $l = \sqrt{h^2 + r^2}$ , где $r$ — апофема основания (радиус вписанной окружности основания).

Частный случай: тетраэдр (правильная треугольная пирамида, все грани — равносторонние треугольники, сторона $a$ ): $V_{\text{тетраэдр}} = \frac{a^3}{6\sqrt{2}} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Цилиндр

Радиус: $R$ ; высота: $h$ .

$V = \pi R^2 h$ $S_{\text{бок}} = 2\pi R h$ $S_{\text{полн}} = 2\pi R(R + h)$

Конус

Радиус основания: $R$ ; высота: $h$ ; образующая: $l = \sqrt{R^2 + h^2}$ .

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$ $S_{\text{бок}} = \pi R l$ $S_{\text{полн}} = \pi R(R + l)$

Шар и сфера

Радиус: $R$ .

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$ $S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$

Часть шара — шаровой сегмент (высота $h$ ): $V_{\text{сег}} = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$

Усечённая пирамида

Основания $S_1$ и $S_2$ ; высота $h$ .

$V = \frac{h}{3}(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l$

Усечённый конус

Радиусы $R$ и $r$ ; высота $h$ ; образующая $l = \sqrt{h^2+(R-r)^2}$ .

$V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + r^2 + Rr)$ $S_{\text{бок}} = \pi(R+r)l$

Сводная таблица

Тело	$V$	$S_{\text{бок}}$	$S_{\text{полн}}$
Куб ( $a$ )	$a^3$	$4a^2$	$6a^2$
Параллелепипед	$abc$	$2h(a+b)$	$2(ab+bc+ac)$
Призма	$S_0 h$	$Ph$	$Ph + 2S_0$
Пирамида	$\frac{1}{3}S_0 h$	$\frac{1}{2}Pl$	$\frac{1}{2}Pl + S_0$
Цилиндр ( $R,h$ )	$\pi R^2 h$	$2\pi Rh$	$2\pi R(R+h)$
Конус ( $R,h$ )	$\frac{1}{3}\pi R^2 h$	$\pi Rl$	$\pi R(R+l)$
Шар ( $R$ )	$\frac{4}{3}\pi R^3$	—	$4\pi R^2$
Усеч. конус	$\frac{\pi h}{3}(R^2+r^2+Rr)$	$\pi(R+r)l$	$\pi(R+r)l + \pi(R^2+r^2)$

Примеры задач

Пример 1. Конус: $R = 3$ , $h = 4$ . Объём и полная поверхность.

$l = \sqrt{9+16} = 5$ .

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi$ .

$S = \pi \cdot 3 \cdot (3+5) = 24\pi$ .

Пример 2. Шар вписан в куб со стороной 6. Объём шара.

Радиус шара = половине стороны куба = 3.

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$ .

Пример 3. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 6, высота 4. Апофема и боковая поверхность.

Апофема основания: $r = 3$ (половина стороны квадрата).

$l = \sqrt{16+9} = 5$ .

$P = 4 \cdot 6 = 24$ . $S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$ .

Типичные ошибки

Путать $h$ (высота) и $l$ (образующая). В конусе: $l = \sqrt{R^2+h^2}$ , не $l = h$ .
Путать формулы объёма и площади. Объём — кубические единицы ( $\text{см}^3$ ), площадь — квадратные ( $\text{см}^2$ ).
Не удваивать основания при полной поверхности. $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}$ (два основания у призмы, цилиндра).
Апофема пирамиды ≠ высота боковой грани. Апофема — высота треугольной грани, проведённая из вершины на сторону, лежащую в основании.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 3 — объёмы и площади.
Задание 14 — сложные стереометрические задачи с применением тех же формул.

Тренируй задание 3 на реальных задачах ЕГЭ

Все тела стереометрии: подставь формулу и получи балл — адаптивная практика в Сотах

Начать бесплатно

Задание 3 ЕГЭ: шпаргалка по всем объёмам и площадям