Что проверяет задание 3 ЕГЭ?

Задание 3 — объёмы и площади поверхностей стереометрических тел: куб, параллелепипед, призма, пирамида, конус, цилиндр, шар, усечённые тела. Обычно нужно подставить данные в формулу и вычислить.

Какие тела встречаются в задании 3?

Куб, прямоугольный параллелепипед, правильная призма, правильная пирамида, цилиндр, конус, шар, иногда усечённая пирамида или конус. Реже — составные тела (шар в конусе, пирамида в кубе).

Можно ли решить задание 3 без знания стереометрии?

Да, если выучить таблицу формул. Большинство задач — подставь числа, вычисли. Главное не путать формулы объёма и площади поверхности.

Что такое апофема пирамиды и зачем она нужна?"

Апофема правильной пирамиды — высота боковой грани (треугольника). Нужна для вычисления площади боковой поверхности: S_бок = (1/2) × P × l, где P — периметр основания, l — апофема.

Задание 3 ЕГЭ — все формулы объёмов и площадей поверхностей

Задание 3 — стереометрические объёмы и площади. Это таблица формул + умение подставить числа. Выучи таблицу — задание становится техническим.

Зачем нужна эта шпаргалка

В задании 3 ЕГЭ нет сложных доказательств. Главное — знать формулу для нужного тела и правильно подставить данные. Типичные ошибки: перепутать объём и площадь, использовать апофему вместо высоты.

Куб

Ребро: $a$ .

$V = a^{3}$ $S_{полн} = 6 a^{2}$ $d = a 3 (пространственная диагональ)$ $d_{грани} = a 2$

Прямоугольный параллелепипед

Рёбра: $a$ , $b$ , $c$ .

$V = ab c$ $S_{полн} = 2 (ab + b c + a c)$ $d = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Правильная призма

Основание — правильный $n$ -угольник со стороной $a$ ; высота $h$ .

$V = S_{осн} \cdot h$

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

где $P_{осн}$ — периметр основания.

Часто используемые основания:

Основание	$S_{осн}$
Квадрат (сторона $a$ )	$a^{2}$
Правильный треугольник (сторона $a$ )	$\frac{a ^{2} 3}{4}$
Правильный шестиугольник (сторона $a$ )	$\frac{3 a ^{2} 3}{2}$

Правильная пирамида

Основание — правильный $n$ -угольник со стороной $a$ ; высота $h$ ; апофема $l$ (высота боковой грани).

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l$

Апофема через высоту: $l = h^{2} + r^{2}$ , где $r$ — апофема основания (радиус вписанной окружности основания).

Частный случай: тетраэдр (правильная треугольная пирамида, все грани — равносторонние треугольники, сторона $a$ ): $V_{тетраэдр} = \frac{a ^{3}}{6 2} = \frac{a ^{3} 2}{12}$

Цилиндр

Радиус: $R$ ; высота: $h$ .

$V = π R^{2} h$ $S_{бок} = 2 π R h$ $S_{полн} = 2 π R (R + h)$

Конус

Радиус основания: $R$ ; высота: $h$ ; образующая: $l = R^{2} + h^{2}$ .

$V = \frac{1}{3} π R^{2} h$ $S_{бок} = π R l$ $S_{полн} = π R (R + l)$

Шар и сфера

Радиус: $R$ .

$V = \frac{4}{3} π R^{3}$ $S_{сферы} = 4 π R^{2}$

Часть шара — шаровой сегмент (высота $h$ ): $V_{сег} = \frac{π h ^{2}}{3} (3 R - h)$

Усечённая пирамида

Основания $S_{1}$ и $S_{2}$ ; высота $h$ .

$V = \frac{h}{3} (S_{1} + S_{2} + S_{1} S_{2})$

$S_{бок} = \frac{1}{2} (P_{1} + P_{2}) \cdot l$

Усечённый конус

Радиусы $R$ и $r$ ; высота $h$ ; образующая $l = h^{2} + (R - r)^{2}$ .

$V = \frac{π h}{3} (R^{2} + r^{2} + R r)$ $S_{бок} = π (R + r) l$

Сводная таблица

Тело	$V$	$S_{бок}$	$S_{полн}$
Куб ( $a$ )	$a^{3}$	$4 a^{2}$	$6 a^{2}$
Параллелепипед	$ab c$	$2 h (a + b)$	$2 (ab + b c + a c)$
Призма	$S_{0} h$	$P h$	$P h + 2 S_{0}$
Пирамида	$\frac{1}{3} S_{0} h$	$\frac{1}{2} P l$	$\frac{1}{2} P l + S_{0}$
Цилиндр ( $R, h$ )	$π R^{2} h$	$2 π R h$	$2 π R (R + h)$
Конус ( $R, h$ )	$\frac{1}{3} π R^{2} h$	$π R l$	$π R (R + l)$
Шар ( $R$ )	$\frac{4}{3} π R^{3}$	—	$4 π R^{2}$
Усеч. конус	$\frac{π h}{3} (R^{2} + r^{2} + R r)$	$π (R + r) l$	$π (R + r) l + π (R^{2} + r^{2})$

Примеры задач

Пример 1. Конус: $R = 3$ , $h = 4$ . Объём и полная поверхность.

$l = 9 + 16 = 5$ .

$V = \frac{1}{3} π \cdot 9 \cdot 4 = 12 π$ .

$S = π \cdot 3 \cdot (3 + 5) = 24 π$ .

Пример 2. Шар вписан в куб со стороной 6. Объём шара.

Радиус шара = половине стороны куба = 3.

$V = \frac{4}{3} π \cdot 27 = 36 π$ .

Пример 3. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания 6, высота 4. Апофема и боковая поверхность.

Апофема основания: $r = 3$ (половина стороны квадрата).

$l = 16 + 9 = 5$ .

$P = 4 \cdot 6 = 24$ . $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$ .

Типичные ошибки

Путать $h$ (высота) и $l$ (образующая). В конусе: $l = R^{2} + h^{2}$ , не $l = h$ .
Путать формулы объёма и площади. Объём — кубические единицы ( $см^{3}$ ), площадь — квадратные ( $см^{2}$ ).
Не удваивать основания при полной поверхности. $S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн}$ (два основания у призмы, цилиндра).
Апофема пирамиды ≠ высота боковой грани. Апофема — высота треугольной грани, проведённая из вершины на сторону, лежащую в основании.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 3 — объёмы и площади.
Задание 14 — сложные стереометрические задачи с применением тех же формул.

Тренируй задание 3 на реальных задачах ЕГЭ

Все тела стереометрии: подставь формулу и получи балл — адаптивная практика в Сотах

Начать бесплатно

Задание 3 ЕГЭ: шпаргалка по всем объёмам и площадям