Задание 19 ЕГЭ профиль: теория чисел

Задание 19 даёт 4 балла и требует рассуждений, а не формул. Здесь мы разбираем все типы: от признаков делимости до оценок сверху и снизу — с конкретными примерами и стратегией частичного зачёта.

Что проверяет задание 19

Задание 19 — последнее в ЕГЭ по математике (профиль), самое нестандартное. Итого 4 первичных балла.

Структура задания меняется от варианта к варианту: чаще всего три пункта (а — 1 балл, б — 1 балл, в — 2 балла), иногда два пункта по 2 балла или один развёрнутый пункт на 4 балла. Внимательно читай, что требуется в каждом пункте.

Пять главных типов, которые встречаются на экзамене:

• Делимость — признаки, раскладки, доказательство через произведение
• Остатки от деления — сравнения по модулю, периоды степеней
• Цифры и разрядная запись числа — $\overline{ab}=10a+b$, ограничения на цифры
• Числовые наборы — суммы, НОД, среднее арифметическое
• Оценки сверху и снизу — доказательство неравенств для натуральных чисел

Ключевые признаки делимости

Почему признак на 4 работает через последние две цифры? Любое число можно записать как $100k+\overline{bc}$, где $\overline{bc}$ — последние две цифры. Число $100k$ всегда делится на 4 (так как $100=4\cdot 25$). Значит, всё число делится на 4 тогда и только тогда, когда делится $\overline{bc}$.

Тип 1: Задачи на цифры числа

Разрядная запись:

$\overline{ab}=10a+b,a\in \{1,\dots ,9\},b\in \{0,\dots ,9\}$

$\overline{abc}=100a+10b+c,a\in \{1,\dots ,9\},b,c\in \{0,\dots ,9\}$

Ограничение $a\ge 1$ принципиально: первая цифра не может быть нулём (иначе число не будет двузначным/трёхзначным).

Пример 1 (уровень А, fully worked). Найти все двузначные числа, у которых сумма цифр равна 9, а само число делится на 3.

Решение. Запишем число как $\overline{ab}=10a+b$. Условие на сумму цифр: $a+b=9$, где $a\ge 1$, $b\ge 0$.

Перебираем пары $(a,b)$ при $a+b=9$, $a\in \{1,\dots ,9\}$, $b\in \{0,\dots ,9\}$:

$(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(7,2),(8,1),(9,0)$

Делимость на 3 проверяется по признаку: нужно, чтобы $a+b$ делилось на 3. Здесь $a+b=9$ делится на 3 при любых значениях. Все 9 чисел подходят.

Ответ: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90.

Типичная ошибка. Не проверить ограничение $b\le 9$. При $a+b=9$ и $a\ge 0$ пара $(0,9)$ технически возможна, но число 09 не двузначное. Всегда пиши $a\ge 1$.

Пример 2 (уровень Б, faded — 1 шаг свёрнут). Найти все трёхзначные числа вида $\overline{a0a}$, делящиеся на 11.

Решение. $\overline{a0a}=100a+0\cdot 10+a=101a$, где $a\in \{1,\dots ,9\}$.

Попробуй сам: когда $101a$ делится на 11? Разложи 101 на множители или проверь признак делимости на 11 для $\overline{a0a}$.

Ответ: таких трёхзначных чисел вида $\overline{a0a}$ нет.

Типичная ошибка. Не обратить внимание, что $a$ не может быть 11 (не цифра). Если $a$ — цифра, $a\le 9$, то $2a\le 18<22$, и $2a=11$ невозможно при целом $a$.

Тип 2: Остатки от деления

Обозначение: $a\equiv r(\mathrm{mod}m)$ означает, что $a$ при делении на $m$ даёт остаток $r$.

Свойства, которые реально нужны:

Если $a\equiv r_1(\mathrm{mod}m)$ и $b\equiv r_2(\mathrm{mod}m)$, то:

$a+b\equiv r_1+r_2(\mathrm{mod}m)$

$a\cdot b\equiv r_1\cdot r_2(\mathrm{mod}m)$

Это позволяет находить остатки от больших степеней: вычисляй не саму степень, а остатки по шагам.

Пример 1 (уровень А, fully worked). Найти остаток от деления $2^{100}$ на 3.

Решение. Вычислим остатки последовательных степеней:

$2^1\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ $2^2=4\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ $2^3=8\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ $2^4=16\equiv 1(\mathrm{mod}3)$

Видим период 2: чётные степени дают остаток 1, нечётные — остаток 2. Так как 100 чётное:

$2^{100}\equiv 1(\mathrm{mod}3)$

Ответ: остаток равен 1.

Типичная ошибка. Путать период и «нашли два равных значения». Период нужно доказать: если $2^k\equiv 2^{k+T}(\mathrm{mod}m)$, то период $T$ — это наименьшее такое. Здесь: $2^1\equiv 2$, $2^3\equiv 2$, $2^5\equiv 2$ — нечётные дают 2, это и есть факт, а не «угадывание».

Пример 2 (уровень Б, faded). Найти остаток от деления $7^{2026}$ на 6.

Решение. Начни с вычисления $7(\mathrm{mod}6)$. Что дальше — попробуй сам.

Ответ: остаток равен 1.

Типичная ошибка. Не заметить «удачную» базу ($7\equiv 1$) и пойти перебором по периоду. С базой 1 любая степень даёт 1.

Тип 3: Числовые наборы

Задачи этого типа про набор натуральных чисел с заданными свойствами — суммой, НОД, средним арифметическим или произведением. Нужно найти такой набор или доказать, что он существует/не существует.

Главный инструмент — НОД.

Если НОД числа из набора равен $d$, то каждое число вида $d\cdot k_i$ ($k_i\in \mathbb{N}$), и НОД чисел $k_1,k_2,\dots ,k_n$ равен 1 (взаимно простые).

Пример 1 (уровень А, fully worked). Найди набор из четырёх натуральных чисел, у которых НОД = 4, а сумма = 24.

Решение. Раз НОД = 4, каждое число кратно 4. Пишем числа как $4k_1,4k_2,4k_3,4k_4$, где $\gcd (k_1,k_2,k_3,k_4)=1$.

Сумма: $4(k_1+k_2+k_3+k_4)=24$, значит $k_1+k_2+k_3+k_4=6$.

Нужны четыре натуральных числа в сумме 6, взаимно простые в совокупности. Попробуем $1,1,1,3$: $\gcd (1,1,1,3)=1$ — подходит.

Числа: $4,4,4,12$.

Проверка: $4+4+4+12=24$ ✓, $\gcd (4,4,4,12)=4$ ✓.

Ответ: например, $\{4,4,4,12\}$.

Типичная ошибка. Взять числа $4,4,8,8$: сумма 24, но НОД$(4,4,8,8)=4$ ✓. Это тоже правильный ответ — задача может иметь несколько решений. Не нужно искать «единственный» набор, если это не оговорено.

Пример 2 (уровень Б, faded). Существует ли набор из трёх натуральных чисел, у которых среднее арифметическое равно 10, а каждое число взаимно просто с двумя другими?

Решение. Среднее 10 для трёх чисел: $a+b+c=30$, $a,b,c\in \mathbb{N}$.

Попробуй сам: нужно, чтобы $\gcd (a,b)=\gcd (b,c)=\gcd (a,c)=1$. Пример такого набора — три числа с суммой 30, попарно взаимно простые.

Ответ: да, существует. Например, $\{7,11,12\}$.

Типичная ошибка. Думать, что числа обязаны быть простыми. Взаимная простота пары — это $\gcd =1$, а не простота каждого числа. Число 12 составное, но с 7 и 11 взаимно просто.

Тип 4: Оценки сверху и снизу

Нужно доказать, что выражение с натуральными числами не превышает какой-то границы (оценка сверху) или не опускается ниже (оценка снизу).

Главные инструменты:

• Монотонность: функция $f(n)=1+\frac{1}{n}$ убывает при росте $n$
• Сравнение с эталонным значением: «при $n\ge k$ выполняется...»
• Разложение: $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

Пример 1 (уровень А, fully worked). Докажи, что для любого натурального $n\ge 2$:

$\frac{n+1}{n}\le \frac{3}{2}$

Решение. Преобразуем левую часть:

$\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$

При $n\ge 2$ имеем $\frac{1}{n}\le \frac{1}{2}$ (дробь убывает при росте знаменателя).

Поэтому:

$1+\frac{1}{n}\le 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

Равенство достигается при $n=2$: $\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$ ✓.

Ответ: доказано. Оценка точная (достигается при $n=2$).

Типичная ошибка. Забыть проверить достижимость оценки. Если в условии спрашивают «наибольшее значение», нужно не только доказать неравенство, но и показать, что максимум достигается.

Пример 2 (уровень Б, faded). Докажи, что $n^3-n$ делится на 6 для любого натурального $n$.

Решение. Разложим:

$n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)=(n-1)\cdot n\cdot (n+1)$

Это произведение трёх последовательных натуральных чисел.

Попробуй сам: почему произведение трёх последовательных натуральных чисел делится на 6?

Ответ: $n^3-n=(n-1)n(n+1)$ делится на 6 при любом $n\in \mathbb{N}$.

Типичная ошибка. Написать «среди трёх последовательных чисел одно чётное» без объяснения. Или сказать «очевидно, делится» — это не доказательство. В задании 19 пункт в требует развёрнутого обоснования.

Пример 3 (уровень В, completion task). Найди наибольшее натуральное $n$, при котором $\frac{100}{n+1}$ является натуральным числом, большим 3.

Решение (skeleton):

Шаг 1 (prompt). Запиши условие «$\frac{100}{n+1}$ натуральное» как делимость: каким должен быть $n+1$?

Шаг 2 (prompt). Запиши условие «$\frac{100}{n+1}>3$» как неравенство на $n+1$. Какие делители подходят?

Ответ: $n=24$.

Типичная ошибка. Брать делители 100 без проверки условия $>3$. Если взять $n+1=50$, то $\frac{100}{50}=2$ — не больше 3.

Тип 5: НОД и алгоритм Евклида

НОД — наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида:

$\gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{mod}b)$

Итерируем, пока остаток не станет нулём — предыдущий остаток и есть НОД.

Пример. $\gcd (48,36)$:

$48=1\cdot 36+12$ $36=3\cdot 12+0$

НОД = 12.

НОК — наименьшее общее кратное:

$\text{lcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\gcd (a,b)}$

Тип 6: Диофантовы уравнения

Нужно найти натуральные или целые решения уравнения с несколькими переменными.

Пример. Найти все натуральные решения уравнения $3x+5y=23$.

Решение. Выражаем:

$x=\frac{23-5y}{3}$

Для целого $x$ нужно: $23-5y\equiv 0(\mathrm{mod}3)$.

$23\equiv 2(\mathrm{mod}3),5y\equiv 2y(\mathrm{mod}3)$

Значит $2y\equiv 2(\mathrm{mod}3)$, то есть $y\equiv 1(\mathrm{mod}3)$.

Поскольку $x$ и $y$ — натуральные числа, $y\ge 1$ (ноль не является натуральным числом). Перебираем натуральные значения $y$, удовлетворяющие условию $y\equiv 1(\mathrm{mod}3)$:

• $y=1$: $x=\frac{23-5}{3}=6$ ✓
• $y=4$: $x=\frac{23-20}{3}=1$ ✓
• $y=7$: $x=\frac{23-35}{3}=-4$ — отрицательное, не подходит

Ответ: $(x,y)\in \{(6,1),(1,4)\}$.

Типичная ошибка. Остановиться на $y=4$ без проверки $y=7$ (убедиться, что дальше решений нет).

Тип 7: Задачи про простые числа

Простое число — натуральное число, имеющее ровно два делителя: 1 и само себя.

Полезный факт: если $n>1$ не делится ни на одно простое $p\le \sqrt{n}$, то $n$ простое.

Частые сюжеты: разложение на простые множители, перебор простых в промежутке (решето Эратосфена), доказательство что выражение не является простым.

Пример. Докажи, что $n^2+n$ никогда не является простым при $n\ge 2$.

Решение. $n^2+n=n(n+1)$. Оба множителя $n\ge 2$ и $n+1\ge 3$ больше 1. Значит, $n(n+1)$ составное.

Как взять 1–2 балла из 4: стратегия частичного зачёта

Это реальная стратегия для тех, кто не претендует на полное решение задания 19, но хочет не потерять баллы.

Структура задания: чаще всего три пункта — а=1 балл, б=1 балл, в=2 балла — итого 4. Но структура может меняться от варианта к варианту: встречаются два пункта по 2 балла или один развёрнутый на 4 балла. Читай условие внимательно.

Что зачитывается частично:

• Пункт а решён полностью → 1 балл, даже если б и в не сделаны.
• Пункты а и б решены → 2 балла. Это уже неплохо.
• В пункте в написан верный пример (без доказательства) → иногда 1 из 2 баллов по критериям.

Тактика на экзамене:

1. Читай все пункты сразу. Пункт а часто «найти пример», пункт б — «ещё один пример», пункт в — «доказать, что все примеры таковы» или «найти наибольшее/наименьшее». Пункты а и б — конкретный перебор, без доказательства. Учти: в одних вариантах пунктов три, в других — два по 2 балла или один развёрнутый на 4 балла.

2. Пункты а и б решай перебором. Если задача про делимость — подставляй $n=1,2,3,\dots$ пока не найдёшь подходящее. Это 2 балла из 4 без глубокой теории.

3. Пункт в без формального доказательства — риск. Написать ответ без обоснования → скорее всего 0 за этот пункт. Если видишь идею доказательства — пиши полностью. Нет идеи — оставь попытку (за неверный ответ нет штрафных, то есть отрицательных, баллов, но пустой лист дешевле неполного рассуждения, которое даёт хотя бы 1 балл).

4. Проверяй каждый пример числом. «Проверим при $n=5$» занимает 10 секунд и спасает от глупых ошибок.

Типичные ошибки в задании 19

Ошибка 1. Не проверить ограничения: $a\ge 1$ в цифровых задачах, $n\in \mathbb{N}$ в Диофантовых уравнениях. Число 07 не является двузначным.

Ошибка 2. При остатках — не найти период или перепутать чётные/нечётные степени. Всегда выписывай первые 4–6 степеней, пока не увидишь повтор.

Ошибка 3. Путать НОД и НОК. Запомни: НОД ≤ min(a, b), НОК ≥ max(a, b). Проверяй это перед ответом.

Ошибка 4. В доказательстве делимости писать «очевидно» или «ясно». Это не зачитывается. Нужна явная цепочка: раскладка → ссылка на делитель → вывод.

Ошибка 5. Не проверить достижимость оценки. Если доказываешь $f(n)\le C$, покажи $n_0$, при котором $f(n_0)=C$.

Ошибка 6. При числовых наборах забыть, что НОД набора — это НОД всех элементов, а не только пары. $\gcd (6,4,12)=2$, хотя $\gcd (6,12)=6$.

Связь с другими темами

Задание 19 ЕГЭ — нестандартное, но не оторванное. Три типа задач прямо тянут за собой другие разделы.

Оценки через степени опираются на свойства степеней — там же живут правила возведения в степень, которые нужны при работе с остатками.

Числовые наборы часто связаны с арифметическими прогрессиями: когда набор из $n$ чисел образует последовательность с постоянным шагом, сумма считается по формуле прогрессии.

В задачах на оценки неравенствами встречается неравенство АМ-ГМ — без среднего арифметического и геометрического не обойтись.

И не забывай про соседа: задание 18 с параметром тоже 4 балла и тоже требует разбора случаев — технику «проверки по случаям» качай сразу на обоих заданиях.

Место задания 19 в структуре ЕГЭ и критерии

Задание 19 — в части 2, раздел «В» (наивысшая сложность). Все задания ЕГЭ профиль расположены по нарастанию сложности, и 19 закрывает список.

Поскольку задание пишется развёрнуто, баллы выставляются по рубрике. Как именно — разобрано в критериях оценивания ЕГЭ профиль: там объясняется, когда частичный балл зачитывается, а когда нет.

Дополнительные разобранные сюжеты теории чисел по сценариям из реального открытого банка ФИПИ — в задачах 19 ЕГЭ: теория чисел (текстовые).

Часто задаваемые вопросы