Двойные неравенства: a < f(x) < b

Двойное неравенство — это компактная запись системы двух неравенств. Умение решать их быстро важно для задания 15, где они встречаются как самостоятельно, так и как промежуточный шаг. На этой странице разберём, что означает запись $a < f(x) < b$, как превратить её в систему, какие есть быстрые приёмы для линейных случаев и почему любое неравенство с модулем — это, по сути, двойное неравенство.

Главная идея, которую стоит усвоить сразу: двойное неравенство — это «логическое И», а не «или». Когда мы пишем $2 < x < 5$, мы требуем, чтобы $x$ был одновременно больше $2$ и меньше $5$. Геометрически это отрезок (интервал) на числовой прямой — кусок между двумя границами. Если же условия соединены через «или», получается объединение лучей, и записать его одной строкой $a < x < b$ уже нельзя.

Что такое двойное неравенство

Двойное неравенство $a < f(x) < b$ означает два условия одновременно: $a < f(x) < b \iff \begin{cases} f(x) > a \\ f(x) < b \end{cases}$

Это не то же самое, что «или» — нужно выполнение обоих условий сразу. Ответ — пересечение, а не объединение. Запомни словесную расшифровку: «$f(x)$ зажат между $a$ и $b$». Левая часть $a$ — нижняя граница, правая $b$ — верхняя, а само $f(x)$ лежит где-то посередине. Чтобы запись была корректной, должно выполняться $a < b$, иначе у неравенства нет ни одного решения.

Знаки могут быть строгими ($<$, $>$) или нестрогими ($\leq$, $\geq$) в любой комбинации:

• $a \leq f(x) < b$ — левая граница включена, правая нет.
• $a < f(x) \leq b$ — наоборот.
• $a \leq f(x) \leq b$ — обе включены.

Алгоритм решения

Шаг 1. Запиши как систему двух неравенств.

Шаг 2. Реши каждое неравенство отдельно.

Шаг 3. Найди пересечение решений (то что выполняется для обоих). Именно пересечение, а не объединение — это ключевой момент, в котором чаще всего и теряют баллы.

Для линейных двойных неравенств есть приём короче: можно работать сразу со всеми тремя частями, выполняя одно и то же действие над каждой. Прибавил число — ко всем трём частям; умножил на положительное — все три части; умножил на отрицательное — все три части, и при этом оба знака неравенства разворачиваются. Это законно, потому что мы делаем одно преобразование над обеими частями каждого из двух неравенств одновременно.

Примеры

Пример 1 (уровень А). Реши $-3 < 2x + 1 \leq 7$.

Система: $\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ 2x + 1 \leq 7 \end{cases}$

Первое: $2x > -4 \Rightarrow x > -2$.

Второе: $2x \leq 6 \Rightarrow x \leq 3$.

Пересечение: $-2 < x \leq 3$.

Ответ: $x \in (-2;\,3]$.

Это самый простой случай — линейная функция в середине. Здесь можно было даже не расписывать систему: вычитаем $1$ из всех трёх частей ($-4 < 2x \le 6$), делим на $2$ ($-2 < x \le 3$) — и ответ готов в одну строку. Расписывать в систему стоит лишь тогда, когда в середине нелинейное выражение.

Пример 2 (уровень А). Реши $1 \leq \dfrac{3 - x}{2} < 4$.

Умножаем все части на 2: $2 \leq 3 - x < 8$.

Вычитаем 3: $-1 \leq -x < 5$.

Умножаем на $-1$ (знаки меняются): $-5 < x \leq 1$.

Ответ: $x \in (-5;\,1]$.

Это снова линейный случай, решённый сразу со всеми тремя частями. Ключевой шаг здесь — умножение на $-1$ на последней строке. Когда умножаешь все части на отрицательное число, оба знака неравенства разворачиваются: было $-1 \le -x < 5$, стало $1 \ge x > -5$, что то же самое, что $-5 < x \le 1$. Если развернуть только один знак — получишь неверный ответ. Это самая частая ошибка при работе с двойными неравенствами, поэтому проговаривай «оба знака» вслух.

Пример 3 (уровень Б). Реши $-2 < x^2 - 3x \leq 4$.

В середине стоит квадратный трёхчлен — значит, путь «сразу с тремя частями» не годится (там переменная во второй степени, знак не постоянен). Разбиваем на систему и каждое неравенство решаем методом интервалов.

Система: $\begin{cases} x^2 - 3x > -2 \\ x^2 - 3x \leq 4 \end{cases}$

Первое: $x^2 - 3x + 2 > 0 \Rightarrow (x-1)(x-2) > 0$.

Нули: $x = 1$, $x = 2$. Решение: $x < 1$ или $x > 2$.

Второе: $x^2 - 3x - 4 \leq 0 \Rightarrow (x-4)(x+1) \leq 0$.

Нули: $x = -1$, $x = 4$. Решение: $-1 \leq x \leq 4$.

Пересечение:

$\{x < 1$ или $x > 2\} \cap \{-1 \leq x \leq 4\} = [-1;\,1) \cup (2;\,4]$.

Ответ: $x \in [-1;\,1) \cup (2;\,4]$.

Разберём, как получилось пересечение. Первое неравенство выкинуло «середину» $[1; 2]$ (там $(x-1)(x-2) \le 0$). Второе ограничило всё отрезком $[-1; 4]$. Накладываем: остаётся отрезок $[-1; 4]$ минус выколотая середина $[1; 2]$ — то есть два куска $[-1; 1)$ и $(2; 4]$. Концы $-1$ и $4$ входят (они от нестрогого второго неравенства), а $1$ и $2$ выколоты (они от строгого первого). Здесь критично не потерять второй кусок $(2; 4]$ — самая частая ошибка в таких задачах.

Пример 4 (уровень Б). Реши $3 < \dfrac{x^2 - 1}{x + 2} \leq 5$ при $x > -2$.

Так как $x > -2$, знаменатель $x+2 > 0$, умножаем на него без смены знака:

$3(x+2) < x^2 - 1 \leq 5(x+2)$

$3x + 6 < x^2 - 1 \quad \text{и} \quad x^2 - 1 \leq 5x + 10$

Первое: $x^2 - 3x - 7 > 0$.

$D = 9 + 28 = 37$. Корни: $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{37}}{2}$. Решение: $x < \dfrac{3-\sqrt{37}}{2}$ или $x > \dfrac{3+\sqrt{37}}{2}$.

Второе: $x^2 - 5x - 11 \leq 0$.

$D = 25 + 44 = 69$. Корни: $x = \dfrac{5 \pm \sqrt{69}}{2}$. Решение: $\dfrac{5-\sqrt{69}}{2} \leq x \leq \dfrac{5+\sqrt{69}}{2}$.

Пересечение на $x > -2$:

$\dfrac{3-\sqrt{37}}{2} \approx -1{,}5$, $\dfrac{3+\sqrt{37}}{2} \approx 4{,}5$, $\dfrac{5-\sqrt{69}}{2} \approx -1{,}6$, $\dfrac{5+\sqrt{69}}{2} \approx 6{,}6$.

С учётом $x > -2$: ответ $x \in \left(\dfrac{3+\sqrt{37}}{2};\,\dfrac{5+\sqrt{69}}{2}\right]$.

Здесь важны два момента. Первый: знаменатель $x + 2$ положителен на всей области $x > -2$, поэтому умножение на него не меняет знаков — именно условие $x > -2$ и делает задачу решаемой «сразу с тремя частями» после умножения. Второй: ответ оставляют с радикалами, не вычисляя их приближённо — на ЕГЭ точная форма $\dfrac{3+\sqrt{37}}{2}$ и есть правильная запись, а десятичные приближения $\approx 4{,}5$ нужны лишь для того, чтобы понять взаимное расположение корней и собрать пересечение.

Когда двойное неравенство не имеет решений

Прежде чем решать, полезно бросить взгляд на границы. Если в записи $a < f(x) < b$ оказалось, что $a \ge b$, то решений нет вообще: ни одно число не может быть одновременно больше большего и меньше меньшего. Например, $5 < x < 2$ — это пустое множество, потому что число не бывает одновременно больше $5$ и меньше $2$.

Этот же эффект возникает в скрытом виде, когда после преобразований получается, что два неравенства системы дают непересекающиеся множества. Тогда пересечение пусто, и правильный ответ — «решений нет». Не пугайся такого исхода: пустой ответ — это тоже ответ, и на ЕГЭ он встречается. Главное — убедиться, что пустота получилась не из-за арифметической ошибки, а действительно из условия.

Ещё один частый случай — нестрогие границы при равенстве. Если $a = b$ и оба знака нестрогие ($a \le f(x) \le a$), то решение — это уравнение $f(x) = a$: подходят только те $x$, при которых $f$ принимает ровно значение $a$.

Двойное неравенство и модуль

$|f(x)| < a$ при $a > 0$ — это стандартное двойное неравенство: $|f(x)| < a \iff -a < f(x) < a$

Геометрически модуль $|f(x)|$ — это расстояние от числа $f(x)$ до нуля на числовой прямой. Условие «расстояние меньше $a$» означает, что точка лежит ближе чем $a$ к нулю, то есть в полосе от $-a$ до $a$. Отсюда и двойное неравенство. Это связывает тему с неравенствами с модулем: любой такой пример можно решать через двойное неравенство, не раскрывая модуль по определению.

Пример 5. Реши $|2x - 1| \leq 3$ через двойное неравенство.

$-3 \leq 2x - 1 \leq 3$.

$-2 \leq 2x \leq 4$.

$-1 \leq x \leq 2$.

Ответ: $x \in [-1;\,2]$.

Здесь модуль превратился в двойное неравенство в одну строчку, и дальше всё решилось линейно — вычли единицу из всех частей, разделили на два. Никакого разбора случаев «модуль раскрывается со знаком плюс / минус» не понадобилось: для неравенства «модуль меньше» двойное неравенство всегда короче, чем раскрытие модуля по определению.

Обрати внимание: запись $|2x-1| \le 3$ означает «расстояние от $2x-1$ до нуля не больше $3$», то есть $2x-1$ зажат между $-3$ и $3$. Поэтому модульное неравенство «меньше» всегда превращается в одно двойное неравенство. А вот неравенство «больше» ($|f(x)| > a$) превращается уже в совокупность («или»): $f(x) > a$ или $f(x) < -a$ — и записать его одной строкой нельзя. Это важная развилка: «модуль меньше» — двойное неравенство, «модуль больше» — объединение.

Геометрический смысл и поиск пересечения

Чтобы не путаться с пересечением, рисуй числовую прямую. Реши каждое из двух неравенств и заштрихуй его решение над осью. Двойное неравенство истинно там, где обе штриховки накладываются друг на друга — это и есть пересечение. Если штриховки нигде не пересекаются, решений нет.

Особенно полезен рисунок в Примере 3, где первое неравенство дало два луча ($x < 1$ или $x > 2$), а второе — отрезок ($-1 \le x \le 4$). Накладывая их, видим: общая часть — это отрезок $[-1; 4]$ без «дырки» $[1; 2]$, то есть $[-1; 1) \cup (2; 4]$. Без картинки в таких задачах легко потерять один из кусков ответа или перепутать, какие концы включены.

При записи ответа аккуратно следи за скобками: круглая там, где граница не входит (строгий знак или ноль знаменателя), квадратная — где входит (нестрогий знак, ноль числителя). Одна перепутанная скобка на ЕГЭ — это потеря балла за «неточную запись множества решений».

Пример 6: двойное неравенство с проверкой границ

Реши $-1 \le \dfrac{x - 4}{x - 1} < 2$.

Здесь знаменатель $x - 1$ меняет знак, поэтому «сразу на три части» умножать нельзя. Разбиваем на систему и решаем каждое неравенство как рациональное.

Первое: $\dfrac{x - 4}{x - 1} \ge -1$. Переносим: $\dfrac{x - 4}{x - 1} + 1 \ge 0 \implies \dfrac{(x - 4) + (x - 1)}{x - 1} \ge 0 \implies \dfrac{2x - 5}{x - 1} \ge 0$. Нули: числитель $x = 2{,}5$ (закрашен), знаменатель $x = 1$ (выколот). Решение: $x < 1$ или $x \ge 2{,}5$.

Второе: $\dfrac{x - 4}{x - 1} < 2$. Переносим: $\dfrac{x - 4}{x - 1} - 2 < 0 \implies \dfrac{(x - 4) - 2(x - 1)}{x - 1} < 0 \implies \dfrac{-x - 2}{x - 1} < 0$. Умножим числитель и знаменатель на $-1$ (с разворотом знака): $\dfrac{x + 2}{x - 1} > 0$. Нули: $x = -2$ и $x = 1$, оба выколоты. Решение: $x < -2$ или $x > 1$.

Пересечение. Первое: $(-\infty; 1) \cup [2{,}5; +\infty)$. Второе: $(-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$. Общая часть: $(-\infty; -2) \cup [2{,}5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup [2{,}5; +\infty)$.

Типичные ошибки

1. Принимать двойное неравенство за «или». $a < f(x) < b$ — это «и», пересечение. Не путай с $f(x) < a$ или $f(x) > b$.

2. Забывать менять оба знака при умножении на отрицательное. Например: $-3 < -2x < 6$. Делим каждую часть на $-2$ и меняем оба знака: $\dfrac{-3}{-2} > x > \dfrac{6}{-2}$, то есть $\dfrac{3}{2} > x > -3$, то есть $-3 < x < \dfrac{3}{2}$.

3. Не учитывать ОДЗ при дробном знаменателе. Нули знаменателя всегда выколоты — они исключены из ОДЗ, в ответ входить не могут, даже если формально удовлетворяют неравенству.

4. Не проверять что $a < b$. Если $a \geq b$, двойное неравенство не имеет решений. Беглый взгляд на границы экономит время: иногда ответ «решений нет» виден сразу.

5. Умножать «на три части» на выражение с переменной. Этот приём законен только для множителя постоянного знака. Если в середине дробь со знаменателем неизвестного знака — разбивай на систему и решай каждое неравенство методом интервалов.

6. Терять кусок ответа при пересечении. Когда одно из неравенств даёт два луча, а другое — отрезок, пересечение может состоять из двух частей. Рисуй числовую прямую и заштриховывай — так ни один кусок не потеряется.

Связь с другими темами

• Неравенства с модулем — шаблон $|f| < a$ = двойное неравенство.
• Рациональные неравенства — после приведения к системе.
• Метод интервалов — для каждого из двух неравенств в системе.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 15 — двойные неравенства встречаются прямо или после преобразований.

Что запомнить

1. Двойное неравенство — это «И»: $a < f(x) < b$ означает $f(x) > a$ и $f(x) < b$ одновременно. Ответ — пересечение, не объединение.
2. Для линейных $f(x)$ работай сразу с тремя частями: одинаковое действие над каждой. При умножении на отрицательное оба знака разворачиваются.
3. Для нелинейных (квадратных, дробных) $f(x)$ разбивай на систему и решай каждое неравенство методом интервалов, затем бери пересечение.
4. Модуль меньше ($|f| < a$) — это двойное неравенство $-a < f < a$. Модуль больше ($|f| > a$) — это уже объединение, одной строкой не записывается.
5. Рисуй числовую прямую для пересечения — так не потеряешь ни один кусок ответа и не перепутаешь скобки.
6. Проверяй границы: если $a \ge b$, решений нет; ОДЗ (нули знаменателя) всегда выколоты.

Двойные неравенства — несложная, но «техничная» тема: почти все ошибки тут не в идее, а в аккуратности — знаках, скобках и пересечении. Доведи эти шаги до автоматизма, и задание 15 в этой части перестанет отнимать баллы.