Двойные неравенства: a < f(x) < b

Двойное неравенство — это компактная запись системы двух неравенств. Умение решать их быстро важно для задания 15, где они встречаются как самостоятельно, так и как промежуточный шаг. На этой странице разберём, что означает запись $a<f(x)<b$, как превратить её в систему, какие есть быстрые приёмы для линейных случаев и почему любое неравенство с модулем — это, по сути, двойное неравенство.

Главная идея, которую стоит усвоить сразу: двойное неравенство — это «логическое И», а не «или». Когда мы пишем $2<x<5$, мы требуем, чтобы $x$ был одновременно больше $2$ и меньше $5$. Геометрически это отрезок (интервал) на числовой прямой — кусок между двумя границами. Если же условия соединены через «или», получается объединение лучей, и записать его одной строкой $a<x<b$ уже нельзя.

Что такое двойное неравенство

Двойное неравенство $a<f(x)<b$ означает два условия одновременно: $a<f(x)<b⟺\{\begin{array}{l}f(x)>a\\ f(x)<b\end{array}$

Это не то же самое, что «или» — нужно выполнение обоих условий сразу. Ответ — пересечение, а не объединение. Запомни словесную расшифровку: «$f(x)$ зажат между $a$ и $b$». Левая часть $a$ — нижняя граница, правая $b$ — верхняя, а само $f(x)$ лежит где-то посередине. Чтобы запись была корректной, должно выполняться $a<b$, иначе у неравенства нет ни одного решения.

Знаки могут быть строгими ($<$, $>$) или нестрогими ($\le$, $\ge$) в любой комбинации:

• $a\le f(x)<b$ — левая граница включена, правая нет.
• $a<f(x)\le b$ — наоборот.
• $a\le f(x)\le b$ — обе включены.

Алгоритм решения

Шаг 1. Запиши как систему двух неравенств.

Шаг 2. Реши каждое неравенство отдельно.

Шаг 3. Найди пересечение решений (то что выполняется для обоих). Именно пересечение, а не объединение — это ключевой момент, в котором чаще всего и теряют баллы.

Для линейных двойных неравенств есть приём короче: можно работать сразу со всеми тремя частями, выполняя одно и то же действие над каждой. Прибавил число — ко всем трём частям; умножил на положительное — все три части; умножил на отрицательное — все три части, и при этом оба знака неравенства разворачиваются. Это законно, потому что мы делаем одно преобразование над обеими частями каждого из двух неравенств одновременно.

Примеры

Пример 1 (уровень А). Реши $-3<2x+1\le 7$.

Система: $\{\begin{array}{l}2x+1>-3\\ 2x+1\le 7\end{array}$

Первое: $2x>-4\Rightarrow x>-2$.

Второе: $2x\le 6\Rightarrow x\le 3$.

Пересечение: $-2<x\le 3$.

Ответ: $x\in (-2;3]$.

Это самый простой случай — линейная функция в середине. Здесь можно было даже не расписывать систему: вычитаем $1$ из всех трёх частей ($-4<2x\le 6$), делим на $2$ ($-2<x\le 3$) — и ответ готов в одну строку. Расписывать в систему стоит лишь тогда, когда в середине нелинейное выражение.

Пример 2 (уровень А). Реши $1\le \frac{3-x}{2}<4$.

Умножаем все части на 2: $2\le 3-x<8$.

Вычитаем 3: $-1\le -x<5$.

Умножаем на $-1$ (знаки меняются): $-5<x\le 1$.

Ответ: $x\in (-5;1]$.

Это снова линейный случай, решённый сразу со всеми тремя частями. Ключевой шаг здесь — умножение на $-1$ на последней строке. Когда умножаешь все части на отрицательное число, оба знака неравенства разворачиваются: было $-1\le -x<5$, стало $1\ge x>-5$, что то же самое, что $-5<x\le 1$. Если развернуть только один знак — получишь неверный ответ. Это самая частая ошибка при работе с двойными неравенствами, поэтому проговаривай «оба знака» вслух.

Пример 3 (уровень Б). Реши $-2<x^2-3x\le 4$.

В середине стоит квадратный трёхчлен — значит, путь «сразу с тремя частями» не годится (там переменная во второй степени, знак не постоянен). Разбиваем на систему и каждое неравенство решаем методом интервалов.

Система: $\{\begin{array}{l}{x}^2-3x>-2\\ x^2-3x\le 4\end{array}$

Первое: $x^2-3x+2>0\Rightarrow (x-1)(x-2)>0$.

Нули: $x=1$, $x=2$. Решение: $x<1$ или $x>2$.

Второе: $x^2-3x-4\le 0\Rightarrow (x-4)(x+1)\le 0$.

Нули: $x=-1$, $x=4$. Решение: $-1\le x\le 4$.

Пересечение:

$\{x<1$ или $x>2\}\cap \{-1\le x\le 4\}=[-1;1)\cup (2;4]$.

Ответ: $x\in [-1;1)\cup (2;4]$.

Разберём, как получилось пересечение. Первое неравенство выкинуло «середину» $[1;2]$ (там $(x-1)(x-2)\le 0$). Второе ограничило всё отрезком $[-1;4]$. Накладываем: остаётся отрезок $[-1;4]$ минус выколотая середина $[1;2]$ — то есть два куска $[-1;1)$ и $(2;4]$. Концы $-1$ и $4$ входят (они от нестрогого второго неравенства), а $1$ и $2$ выколоты (они от строгого первого). Здесь критично не потерять второй кусок $(2;4]$ — самая частая ошибка в таких задачах.

Пример 4 (уровень Б). Реши $3<\frac{x^2-1}{x+2}\le 5$ при $x>-2$.

Так как $x>-2$, знаменатель $x+2>0$, умножаем на него без смены знака:

$3(x+2)<x^2-1\le 5(x+2)$

$3x+6<x^2-1\text{и}{x}^2-1\le 5x+10$

Первое: $x^2-3x-7>0$.

$D=9+28=37$. Корни: $x=\frac{3\pm \sqrt{37}}{2}$. Решение: $x<\frac{3-\sqrt{37}}{2}$ или $x>\frac{3+\sqrt{37}}{2}$.

Второе: $x^2-5x-11\le 0$.

$D=25+44=69$. Корни: $x=\frac{5\pm \sqrt{69}}{2}$. Решение: $\frac{5-\sqrt{69}}{2}\le x\le \frac{5+\sqrt{69}}{2}$.

Пересечение на $x>-2$:

$\frac{3-\sqrt{37}}{2}\approx -1,5$, $\frac{3+\sqrt{37}}{2}\approx 4,5$, $\frac{5-\sqrt{69}}{2}\approx -1,6$, $\frac{5+\sqrt{69}}{2}\approx 6,6$.

С учётом $x>-2$: ответ $x\in \left(\frac{3+\sqrt{37}}{2};\frac{5+\sqrt{69}}{2}\right]$.

Здесь важны два момента. Первый: знаменатель $x+2$ положителен на всей области $x>-2$, поэтому умножение на него не меняет знаков — именно условие $x>-2$ и делает задачу решаемой «сразу с тремя частями» после умножения. Второй: ответ оставляют с радикалами, не вычисляя их приближённо — на ЕГЭ точная форма $\frac{3+\sqrt{37}}{2}$ и есть правильная запись, а десятичные приближения $\approx 4,5$ нужны лишь для того, чтобы понять взаимное расположение корней и собрать пересечение.

Когда двойное неравенство не имеет решений

Прежде чем решать, полезно бросить взгляд на границы. Если в записи $a<f(x)<b$ оказалось, что $a\ge b$, то решений нет вообще: ни одно число не может быть одновременно больше большего и меньше меньшего. Например, $5<x<2$ — это пустое множество, потому что число не бывает одновременно больше $5$ и меньше $2$.

Этот же эффект возникает в скрытом виде, когда после преобразований получается, что два неравенства системы дают непересекающиеся множества. Тогда пересечение пусто, и правильный ответ — «решений нет». Не пугайся такого исхода: пустой ответ — это тоже ответ, и на ЕГЭ он встречается. Главное — убедиться, что пустота получилась не из-за арифметической ошибки, а действительно из условия.

Ещё один частый случай — нестрогие границы при равенстве. Если $a=b$ и оба знака нестрогие ($a\le f(x)\le a$), то решение — это уравнение $f(x)=a$: подходят только те $x$, при которых $f$ принимает ровно значение $a$.

Двойное неравенство и модуль

$|f(x)|<a$ при $a>0$ — это стандартное двойное неравенство: $|f(x)|<a⟺-a<f(x)<a$

Геометрически модуль $|f(x)|$ — это расстояние от числа $f(x)$ до нуля на числовой прямой. Условие «расстояние меньше $a$» означает, что точка лежит ближе чем $a$ к нулю, то есть в полосе от $-a$ до $a$. Отсюда и двойное неравенство. Это связывает тему с неравенствами с модулем: любой такой пример можно решать через двойное неравенство, не раскрывая модуль по определению.

Пример 5. Реши $|2x-1|\le 3$ через двойное неравенство.

$-3\le 2x-1\le 3$.

$-2\le 2x\le 4$.

$-1\le x\le 2$.

Ответ: $x\in [-1;2]$.

Здесь модуль превратился в двойное неравенство в одну строчку, и дальше всё решилось линейно — вычли единицу из всех частей, разделили на два. Никакого разбора случаев «модуль раскрывается со знаком плюс / минус» не понадобилось: для неравенства «модуль меньше» двойное неравенство всегда короче, чем раскрытие модуля по определению.

Обрати внимание: запись $|2x-1|\le 3$ означает «расстояние от $2x-1$ до нуля не больше $3$», то есть $2x-1$ зажат между $-3$ и $3$. Поэтому модульное неравенство «меньше» всегда превращается в одно двойное неравенство. А вот неравенство «больше» ($|f(x)|>a$) превращается уже в совокупность («или»): $f(x)>a$ или $f(x)<-a$ — и записать его одной строкой нельзя. Это важная развилка: «модуль меньше» — двойное неравенство, «модуль больше» — объединение.

Геометрический смысл и поиск пересечения

Чтобы не путаться с пересечением, рисуй числовую прямую. Реши каждое из двух неравенств и заштрихуй его решение над осью. Двойное неравенство истинно там, где обе штриховки накладываются друг на друга — это и есть пересечение. Если штриховки нигде не пересекаются, решений нет.

Особенно полезен рисунок в Примере 3, где первое неравенство дало два луча ($x<1$ или $x>2$), а второе — отрезок ($-1\le x\le 4$). Накладывая их, видим: общая часть — это отрезок $[-1;4]$ без «дырки» $[1;2]$, то есть $[-1;1)\cup (2;4]$. Без картинки в таких задачах легко потерять один из кусков ответа или перепутать, какие концы включены.

При записи ответа аккуратно следи за скобками: круглая там, где граница не входит (строгий знак или ноль знаменателя), квадратная — где входит (нестрогий знак, ноль числителя). Одна перепутанная скобка на ЕГЭ — это потеря балла за «неточную запись множества решений».

Пример 6: двойное неравенство с проверкой границ

Реши $-1\le \frac{x-4}{x-1}<2$.

Здесь знаменатель $x-1$ меняет знак, поэтому «сразу на три части» умножать нельзя. Разбиваем на систему и решаем каждое неравенство как рациональное.

Первое: $\frac{x-4}{x-1}\ge -1$. Переносим: $\frac{x-4}{x-1}+1\ge 0⟹\frac{(x-4)+(x-1)}{x-1}\ge 0⟹\frac{2x-5}{x-1}\ge 0$. Нули: числитель $x=2,5$ (закрашен), знаменатель $x=1$ (выколот). Решение: $x<1$ или $x\ge 2,5$.

Второе: $\frac{x-4}{x-1}<2$. Переносим: $\frac{x-4}{x-1}-2<0⟹\frac{(x-4)-2(x-1)}{x-1}<0⟹\frac{-x-2}{x-1}<0$. Умножим числитель и знаменатель на $-1$ (с разворотом знака): $\frac{x+2}{x-1}>0$. Нули: $x=-2$ и $x=1$, оба выколоты. Решение: $x<-2$ или $x>1$.

Пересечение. Первое: $(-\infty ;1)\cup [2,5;+\infty )$. Второе: $(-\infty ;-2)\cup (1;+\infty )$. Общая часть: $(-\infty ;-2)\cup [2,5;+\infty )$.

Ответ: $x\in (-\infty ;-2)\cup [2,5;+\infty )$.

Типичные ошибки

1. Принимать двойное неравенство за «или». $a<f(x)<b$ — это «и», пересечение. Не путай с $f(x)<a$ или $f(x)>b$.

2. Забывать менять оба знака при умножении на отрицательное. Например: $-3<-2x<6$. Делим каждую часть на $-2$ и меняем оба знака: $\frac{-3}{-2}>x>\frac{6}{-2}$, то есть $\frac{3}{2}>x>-3$, то есть $-3<x<\frac{3}{2}$.

3. Не учитывать ОДЗ при дробном знаменателе. Нули знаменателя всегда выколоты — они исключены из ОДЗ, в ответ входить не могут, даже если формально удовлетворяют неравенству.

4. Не проверять что $a<b$. Если $a\ge b$, двойное неравенство не имеет решений. Беглый взгляд на границы экономит время: иногда ответ «решений нет» виден сразу.

5. Умножать «на три части» на выражение с переменной. Этот приём законен только для множителя постоянного знака. Если в середине дробь со знаменателем неизвестного знака — разбивай на систему и решай каждое неравенство методом интервалов.

6. Терять кусок ответа при пересечении. Когда одно из неравенств даёт два луча, а другое — отрезок, пересечение может состоять из двух частей. Рисуй числовую прямую и заштриховывай — так ни один кусок не потеряется.

Связь с другими темами

• Неравенства с модулем — шаблон $|f|<a$ = двойное неравенство.
• Рациональные неравенства — после приведения к системе.
• Метод интервалов — для каждого из двух неравенств в системе.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 15 — двойные неравенства встречаются прямо или после преобразований.

Что запомнить

1. Двойное неравенство — это «И»: $a<f(x)<b$ означает $f(x)>a$ и $f(x)<b$ одновременно. Ответ — пересечение, не объединение.
2. Для линейных $f(x)$ работай сразу с тремя частями: одинаковое действие над каждой. При умножении на отрицательное оба знака разворачиваются.
3. Для нелинейных (квадратных, дробных) $f(x)$ разбивай на систему и решай каждое неравенство методом интервалов, затем бери пересечение.
4. Модуль меньше ($|f|<a$) — это двойное неравенство $-a<f<a$. Модуль больше ($|f|>a$) — это уже объединение, одной строкой не записывается.
5. Рисуй числовую прямую для пересечения — так не потеряешь ни один кусок ответа и не перепутаешь скобки.
6. Проверяй границы: если $a\ge b$, решений нет; ОДЗ (нули знаменателя) всегда выколоты.

Двойные неравенства — несложная, но «техничная» тема: почти все ошибки тут не в идее, а в аккуратности — знаках, скобках и пересечении. Доведи эти шаги до автоматизма, и задание 15 в этой части перестанет отнимать баллы.