Двойные неравенства: a < f(x) < b

Двойное неравенство — это компактная запись системы двух неравенств. Умение решать их быстро важно для задания 15, где они встречаются как самостоятельно, так и как промежуточный шаг.

Что такое двойное неравенство

Двойное неравенство $a < f(x) < b$ означает два условия одновременно: $a < f(x) < b \iff \begin{cases} f(x) > a \\ f(x) < b \end{cases}$

Это не то же самое, что «или» — нужно выполнение обоих условий сразу. Ответ — пересечение, а не объединение.

Знаки могут быть строгими ($<$, $>$) или нестрогими ($\leq$, $\geq$) в любой комбинации:

• $a \leq f(x) < b$ — левая граница включена, правая нет.
• $a < f(x) \leq b$ — наоборот.
• $a \leq f(x) \leq b$ — обе включены.

Алгоритм решения

Шаг 1. Запиши как систему двух неравенств.

Шаг 2. Реши каждое неравенство отдельно.

Шаг 3. Найди пересечение решений (то что выполняется для обоих).

Примеры

Пример 1 (уровень А). Реши $-3 < 2x + 1 \leq 7$.

Система: $\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ 2x + 1 \leq 7 \end{cases}$

Первое: $2x > -4 \Rightarrow x > -2$.

Второе: $2x \leq 6 \Rightarrow x \leq 3$.

Пересечение: $-2 < x \leq 3$.

Ответ: $x \in (-2;\,3]$.

Пример 2 (уровень А). Реши $1 \leq \dfrac{3 - x}{2} < 4$.

Умножаем все части на 2: $2 \leq 3 - x < 8$.

Вычитаем 3: $-1 \leq -x < 5$.

Умножаем на $-1$ (знаки меняются): $-5 < x \leq 1$.

Ответ: $x \in (-5;\,1]$.

Пример 3 (уровень Б). Реши $-2 < x^2 - 3x \leq 4$.

Система: $\begin{cases} x^2 - 3x > -2 \\ x^2 - 3x \leq 4 \end{cases}$

Первое: $x^2 - 3x + 2 > 0 \Rightarrow (x-1)(x-2) > 0$.

Нули: $x = 1$, $x = 2$. Решение: $x < 1$ или $x > 2$.

Второе: $x^2 - 3x - 4 \leq 0 \Rightarrow (x-4)(x+1) \leq 0$.

Нули: $x = -1$, $x = 4$. Решение: $-1 \leq x \leq 4$.

Пересечение:

$\{x < 1$ или $x > 2\} \cap \{-1 \leq x \leq 4\} = [-1;\,1) \cup (2;\,4]$.

Ответ: $x \in [-1;\,1) \cup (2;\,4]$.

Пример 4 (уровень Б). Реши $3 < \dfrac{x^2 - 1}{x + 2} \leq 5$ при $x > -2$.

Так как $x > -2$, знаменатель $x+2 > 0$, умножаем на него без смены знака:

$3(x+2) < x^2 - 1 \leq 5(x+2)$

$3x + 6 < x^2 - 1 \quad \text{и} \quad x^2 - 1 \leq 5x + 10$

Первое: $x^2 - 3x - 7 > 0$.

$D = 9 + 28 = 37$. Корни: $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{37}}{2}$. Решение: $x < \dfrac{3-\sqrt{37}}{2}$ или $x > \dfrac{3+\sqrt{37}}{2}$.

Второе: $x^2 - 5x - 11 \leq 0$.

$D = 25 + 44 = 69$. Корни: $x = \dfrac{5 \pm \sqrt{69}}{2}$. Решение: $\dfrac{5-\sqrt{69}}{2} \leq x \leq \dfrac{5+\sqrt{69}}{2}$.

Пересечение на $x > -2$:

$\dfrac{3-\sqrt{37}}{2} \approx -1{,}5$, $\dfrac{3+\sqrt{37}}{2} \approx 4{,}5$, $\dfrac{5-\sqrt{69}}{2} \approx -1{,}6$, $\dfrac{5+\sqrt{69}}{2} \approx 6{,}6$.

С учётом $x > -2$: ответ $x \in \left(\dfrac{3+\sqrt{37}}{2};\,\dfrac{5+\sqrt{69}}{2}\right]$.

Двойное неравенство и модуль

$|f(x)| < a$ при $a > 0$ — это стандартное двойное неравенство: $|f(x)| < a \iff -a < f(x) < a$

Это связывает тему с неравенствами с модулем.

Пример 5. Реши $|2x - 1| \leq 3$ через двойное неравенство.

$-3 \leq 2x - 1 \leq 3$.

$-2 \leq 2x \leq 4$.

$-1 \leq x \leq 2$.

Ответ: $x \in [-1;\,2]$.

Типичные ошибки

1. Принимать двойное неравенство за «или». $a < f(x) < b$ — это «и», пересечение. Не путай с $f(x) < a$ или $f(x) > b$.

2. Забывать менять оба знака при умножении на отрицательное. Например: $-3 < -2x < 6$. Делим каждую часть на $-2$ и меняем оба знака: $\dfrac{-3}{-2} > x > \dfrac{6}{-2}$, то есть $\dfrac{3}{2} > x > -3$, то есть $-3 < x < \dfrac{3}{2}$.

3. Не учитывать ОДЗ при дробном знаменателе. Нули знаменателя — закрытые точки.

4. Не проверять что $a < b$. Если $a \geq b$, двойное неравенство не имеет решений.

Связь с другими темами

• Неравенства с модулем — шаблон $|f| < a$ = двойное неравенство.
• Рациональные неравенства — после приведения к системе.
• Метод интервалов — для каждого из двух неравенств в системе.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 15 — двойные неравенства встречаются прямо или после преобразований.