Топ ошибок в задании 15: неравенства ЕГЭ

Задание 15 — неравенство в части 2. За него дают 3 первичных балла. Примерно 30–40% сдающих получают 0 баллов не потому, что не знают метод решения, а потому что делают одну из нескольких системных ошибок (ФИПИ, 2025). Разберём их — по убыванию частоты.

Ошибка 1: перепутать направление неравенства при логарифмировании

Это самая массовая ошибка задания 15.

При логарифмировании обеих частей неравенства направление знака зависит от основания:

• Основание больше 1 (например, $\ln$, $\log_2$, $\log_{10}$): знак неравенства сохраняется
• Основание от 0 до 1 (например, $\log_{0,5}$, $\log_{1/3}$): знак неравенства меняется на противоположный

Пример с ошибкой. $\left(\frac{1}{2}\right)^x > 4$

Логарифмируем по основанию $\frac{1}{2}$:

$x > \log_{1/2} 4$

Ошибка: знак не поменяли. Правильно:

$x < \log_{1/2} 4 = -2$

Проверка: при $x = -3$: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 8 > 4$. Верно.

Правило запоминания: показательная функция с основанием меньше 1 — убывающая. Больше значение показателя → меньше значение функции. Поэтому неравенство переворачивается.

Ошибка 2: забыть ОДЗ логарифма

Любое логарифмическое неравенство требует проверки: аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

Пример. $\log_2(x - 3) > 1$

Решение без ОДЗ: $x - 3 > 2^1 \Rightarrow x > 5$.

Это правильный ответ в данном случае — но только потому, что ОДЗ ($x > 3$) автоматически включается в ответ $x > 5$.

Опасный случай. $\log_2(x^2 - 9) > 1$

Решение: $x^2 - 9 > 2 \Rightarrow x^2 > 11 \Rightarrow |x| > \sqrt{11}$.

Но ОДЗ: $x^2 - 9 > 0 \Rightarrow |x| > 3$.

Ответ без ОДЗ: $x \in (-\infty; -\sqrt{11}) \cup (\sqrt{11}; +\infty)$.

Ответ с учётом ОДЗ — тот же, потому что $\sqrt{11} > 3$. Но в другом примере ОДЗ может урезать ответ.

Правило: всегда записывай ОДЗ отдельной строкой перед решением неравенства.

Ошибка 3: неверный метод интервалов при рациональном неравенстве

Метод интервалов применяется для неравенств вида $f(x) > 0$ или $f(x) < 0$, где $f(x)$ — произведение или частное скобок.

Типичная ошибка: не разложить неравенство на множители перед применением метода.

Пример. $x^2 - 5x + 6 < 0$

Шаг 1: разложить на множители: $(x - 2)(x - 3) < 0$

Шаг 2: нули: $x = 2$ и $x = 3$

Шаг 3: знак произведения на промежутках:

• $x < 2$: $(-)(-) = (+)$ — не подходит
• $2 < x < 3$: $(-)(+) = (-)$ — подходит
• $x > 3$: $(+)(+) = (+)$ — не подходит

Ответ: $x \in (2; 3)$.

Частая ошибка: не учесть, что граничные точки не входят в ответ при строгом неравенстве.

Ошибка 4: умножить обе части на переменное выражение

Если умножаешь обе части неравенства на выражение, содержащее переменную, нужно рассмотреть знак этого выражения.

Пример. $\frac{x - 1}{x + 2} > 3$

Неверно: умножить на $(x + 2)$ без учёта знака:

$x - 1 > 3(x + 2) \Rightarrow x - 1 > 3x + 6 \Rightarrow -2x > 7 \Rightarrow x < -3{,}5$

Это неверно, потому что при $x < -2$ мы умножали на отрицательное число, а значит знак должен был поменяться.

Верно: привести к виду $\frac{f(x)}{g(x)} > 0$ или $< 0$ и применить метод интервалов:

$\frac{x - 1}{x + 2} - 3 > 0 \Rightarrow \frac{x - 1 - 3(x + 2)}{x + 2} > 0 \Rightarrow \frac{-2x - 7}{x + 2} > 0$

Нули: $x = -3{,}5$ и $x = -2$.

Знак на промежутках (сначала $+$, потом чередование, начиная с правой бесконечности):

• $x > -2$: $(-)/(+) = (-)$ — не подходит
• $-3{,}5 < x < -2$: $(-)/(-) = (+)$ — подходит
• $x < -3{,}5$: $(+)/(-) = (-)$ — не подходит

Ответ: $x \in (-3{,}5; -2)$.

Ошибка 5: неверная запись ответа (включить/не включить граничные точки)

• Строгое неравенство ($<$, $>$): граничные точки не входят — скобки $($ и $)$.
• Нестрогое ($\leq$, $\geq$): граничные точки входят — квадратные скобки $[$ и $]$.
• При ОДЗ (знаменатель не равен нулю): граничные точки знаменателя никогда не входят — даже при нестрогом неравенстве.

Пример частой ошибки. $\frac{(x-1)(x-4)}{x - 2} \leq 0$

Нули: $x = 1$, $x = 2$, $x = 4$. Нуль $x = 2$ — от знаменателя, не входит.

Ответ: $(-\infty; 1] \cup (2; 4]$ — не $[-\infty; 1] \cup [2; 4]$.

Ошибка 6: не взять пересечение с ОДЗ в конце

После решения неравенства нужно пересечь полученный ответ с ОДЗ.

Алгоритм оформления:

1. Записать ОДЗ.
2. Решить неравенство (без ОДЗ).
3. Пересечь с ОДЗ.
4. Записать ответ.

Пропуск шага 3 — типичная причина потери балла в задании 15.

Быстрый чек-лист перед финальным ответом

Перед тем как записать ответ в бланк, пробегись:

• Учёл ли я ОДЗ?
• Не перевернул ли знак при умножении на отрицательное?
• Правильно указал ли граничные точки (включены / не включены)?
• Пересёк ли ответ с ОДЗ?
• Проверил ли одну точку из ответа — удовлетворяет ли исходному неравенству?

Подстановка одной контрольной точки занимает 30–60 секунд и позволяет поймать знаковую ошибку.

Смотри также все формулы ЕГЭ и задания с параметром, где неравенства тоже активно используются.

Частые вопросы о задании 15

Сколько первичных баллов дают задания 15?

3 первичных балла. По шкале 2026 это примерно 4 тестовых балла (ФИПИ, 2026).

Можно ли получить частичный балл за задание 15?

Да. 1 балл за правильное начало (корректная постановка задачи), 2 балла за верное решение без ответа, 3 балла за полное правильное решение с обоснованием.

Что если ОДЗ пустое?

Если ОДЗ — пустое множество, уравнение или неравенство не имеет решений. Написать «нет решений» — правильный ответ.

Обязательно ли использовать метод интервалов?

Нет. Метод интервалов — один из методов. Для простых неравенств можно разбирать знак вручную. Главное — обоснованность.

Как проверить ответ задания 15 на экзамене?

Подставь одну точку из предполагаемого ответа в исходное неравенство — проверь, выполняется ли оно. Это не полная проверка, но ловит грубые знаковые ошибки.

Источники

1. ФИПИ. Спецификация ЕГЭ по математике (профильный уровень), 2026.
2. ФИПИ. Статистика выполнения заданий ЕГЭ, 2025.
3. ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ, задание 15, ege.fipi.ru.