Один материал, чтобы закрыть всю планиметрию ЕГЭ — от базовых свойств до задания 17 второй части. Используй как карту и возвращайся по мере прогресса.

Содержание:

  1. Как устроена планиметрия в ЕГЭ
  2. Базовые свойства фигур
  3. Треугольники: теоремы и признаки
  4. Четырёхугольники
  5. Окружности
  6. Главные теоремы
  7. Задание 1 (часть 1)
  8. Задание 17 (часть 2)
  9. Маршрут тренировки

Как устроена планиметрия в ЕГЭ

Планиметрия — раздел геометрии о плоских фигурах: точках, прямых, многоугольниках, окружностях и их свойствах.

На ЕГЭ по профильной математике планиметрия появляется в двух местах:

  • Задание 1 (часть 1) — 1 первичный балл. Базовая задача: найти длину, угол или площадь. Решается за 3–5 минут по известной формуле.
  • Задание 17 (часть 2) — 3 первичных балла. Комбинированная задача с доказательством или сложным вычислением.

Итого: до 4 первичных баллов за планиметрию. На шкале перевода — около 10–12 вторичных.

Базовые свойства фигур

Углы

Смежные углы в сумме дают 180°. Вертикальные углы равны. При пересечении двух параллельных прямых секущей: накрест лежащие углы равны, односторонние углы в сумме дают 180°.

Площади

ФигураФормула площади
ТреугольникS=12ahaS = \frac{1}{2} a h_a
Треугольник (через стороны)S=12absin⁡CS = \frac{1}{2} ab \sin C
ПрямоугольникS=abS = ab
ПараллелограммS=ahS = a h
ТрапецияS=(a+b)2hS = \frac{(a + b)}{2} h
КругS=πr2S = \pi r^2

Треугольники: теоремы и признаки

Основные свойства

Сумма углов треугольника равна 180°. Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов.

Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других.

Виды треугольников

Равнобедренный: две стороны равны → два равных угла при основании. Медиана к основанию = высота = биссектриса.

Равносторонний: все стороны равны → все углы по 60°. Высота = a32\frac{a\sqrt{3}}{2}.

Прямоугольный: один угол 90°. Гипотенуза квадрат = сумма квадратов катетов (теорема Пифагора): c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2.

Частые ловушки на ЕГЭ:

  • Треугольник может быть равнобедренным, но не выглядеть таким на рисунке
  • «Почти вписанный» угол — проверяй, лежит ли вершина на окружности или нет

Признаки подобия

Два треугольника подобны если:

  1. Две пары углов равны (AA)
  2. Две пары сторон пропорциональны и углы между ними равны (SAS)
  3. Три пары сторон пропорциональны (SSS)

При подобии с коэффициентом kk: отношение площадей = k2k^2, периметров = kk.

Примеры задач с треугольниками

Пример 1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 и 4. Найди гипотенузу.

Решение: c=32+42=9+16=25=5c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.

Пример 2. В равнобедренном треугольнике основание 10, боковая сторона 13. Найди высоту.

Решение: высота к основанию делит его пополам. По теореме Пифагора: h=132−52=169−25=144=12h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12.

Четырёхугольники

Параллелограмм

Противоположные стороны равны и параллельны. Диагонали делятся пополам. Сумма углов = 360°.

Ромб — параллелограмм с равными сторонами. Диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.

Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами. Диагонали равны.

Квадрат = прямоугольник + ромб. Диагональ квадрата со стороной aa: d=a2d = a\sqrt{2}.

Трапеция

Одна пара параллельных сторон (основания). Средняя линия = полусумма оснований и параллельна им.

В равнобедренной трапеции высоты из вершин меньшего основания равны и отсекают от большего основания по AD−BC2\frac{AD-BC}{2} с каждой стороны. Диагонали равны.

Частые ловушки

На рисунке в задаче 1 ЕГЭ могут нарисовать «почти ромб» — но он может быть просто параллелограммом. Проверяй по условию, не «на глаз».

Окружности

Основные понятия

  • Радиус rr — отрезок от центра до точки на окружности
  • Диаметр d=2rd = 2r — хорда через центр
  • Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности
  • Дуга — часть окружности
  • Сегмент — фигура между хордой и дугой
  • Сектор — фигура между двумя радиусами и дугой

Теоремы об углах

Вписанный угол — вершина на окружности, стороны — хорды. Вписанный угол равен половине соответствующей центральной дуги.

Следствие: все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Вписанный угол в полуокружность = 90°.

Угол между касательной и хордой = вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.

Вписанные и описанные фигуры

Вписанная окружность (инокружность) треугольника касается всех трёх сторон. Радиус: r=Spr = \frac{S}{p}, где SS — площадь, pp — полупериметр.

Описанная окружность проходит через все вершины треугольника. Радиус: R=abc4SR = \frac{abc}{4S}, где a,b,ca, b, c — стороны.

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180° (то есть можно описать окружность вокруг этого четырёхугольника).

Хочешь проверить, как ты решаешь планиметрические задачи задания 1? Пройди диагностику — Соты покажут, что закрепить в первую очередь.

Главные теоремы: синусов, косинусов, подобия

Теорема синусов

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

где a,b,ca, b, c — стороны, A,B,CA, B, C — противолежащие углы, RR — радиус описанной окружности.

Применение: когда знаешь угол и противолежащую сторону, нужно найти другую сторону или угол.

Теорема косинусов

c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Применение: когда знаешь две стороны и угол между ними (или все три стороны — найди угол).

Частный случай при C=90°C = 90°: c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2 — теорема Пифагора.

Практический пример

Задача: В треугольнике ABCABC стороны AB=7AB = 7, BC=5BC = 5, угол B=60°B = 60°. Найди ACAC.

Решение (по теореме косинусов): AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos⁡BAC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B AC2=49+25−2⋅7⋅5⋅cos⁡60°=74−70⋅12=74−35=39AC^2 = 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos 60° = 74 - 70 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39 AC=39AC = \sqrt{39}

Задание 1 (часть 1)

Задание 1 — самый «дешёвый» балл при ошибке и самый «доступный» при правильном подходе.

Типичные конфигурации

  • Прямоугольный треугольник — по теореме Пифагора
  • Равнобедренный треугольник — высота делит его пополам
  • Параллелограмм — диагональ или высота
  • Окружность — вписанный угол, хорда, радиус
  • Комбинация: прямоугольник + окружность

Алгоритм решения задания 1

  1. Прочитай условие медленно. Выдели: что дано, что найти.
  2. Нарисуй схему (даже схематичную).
  3. Определи, к какому типу относится задача.
  4. Применяй формулу.
  5. Проверь: ответ в разумных пределах?

Частые ловушки:

  • «Радиус vs диаметр»: дан диаметр — не забудь взять r=d/2r = d/2
  • Неявный прямой угол: «трапеция с боковой стороной, перпендикулярной основанию» — это прямоугольная трапеция
  • Неявное равнобедренное свойство: «медиана к основанию» в равнобедренном = высота

Мини-разбор

Задача: В прямоугольной трапеции основания 6 и 10, боковая сторона (перпендикулярная основанию) = 8. Найди диагональ.

Решение: Рисуем трапецию. Разность оснований: 10−6=410 - 6 = 4. Образуется прямоугольный треугольник с катетами 4 и 8. Диагональ = 42+82=16+64=80=45\sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}.

Задание 17 (часть 2)

Задание 17 — планиметрическая задача второй части. Три первичных балла: за пункт А (1 балл) и пункт Б (2 балла). Часто пункт А — отдельная задача или часть, пункт Б — доказательство или более сложное вычисление.

Структура задания 17

Пункт А (1 первичный балл): вычислить конкретную величину — угол, сторону, площадь. Обычно по тем же формулам, что задание 1, но с несколькими шагами.

Пункт Б (2 первичных балла): более глубокая задача. Варианты: доказать равенство или подобие, найти угол с обоснованием, найти отношение площадей.

Типовые темы задания 17

  • Вписанные и описанные окружности
  • Подобие треугольников + отношение площадей
  • Вычисление площади составной фигуры
  • Углы в окружности (вписанные, центральные)
  • Касательные к окружности

Стратегия подготовки к заданию 17

Начни с пункта А — он берётся отдельно. Разбери 15–20 задач задания 17, решая только пункт А. Это уже 1 первичный балл стабильно.

Затем добавляй пункт Б. Доказательные задачи требуют навыка «цепочки рассуждений»: от данных шаг за шагом к тому, что нужно доказать.

Пример структуры решения пункта Б:

  1. Что дано (из условия)
  2. Что нужно доказать или найти
  3. Вспомогательные построения (если нужны)
  4. Цепочка шагов с обоснованием
  5. Вывод

Маршрут тренировки

Для тех, кто начинает с нуля по планиметрии:

Неделя 1–2: Треугольники. Пифагор, признаки подобия, равнобедренный. 10+ задач задания 1 на треугольники.

Неделя 3–4: Четырёхугольники и окружности. Формулы площадей, вписанный угол, теорема Пифагора в новых конфигурациях.

Неделя 5–6: Теоремы синусов и косинусов. 8–10 задач с применением каждой.

Неделя 7–8: Задание 1 целиком. Пробник части 1 (только задание 1) — без потерь.

Неделя 9–10: Задание 17, пункт А. 15 задач.

Неделя 11–12: Задание 17, пункт Б. 10 задач доказательного типа.

FAQ

Сколько задач по планиметрии на ЕГЭ? Два задания: задание 1 (часть 1, 1 первичный балл) и задание 17 (часть 2, 3 первичных балла). Итого до 4 первичных баллов.

Можно ли сдать ЕГЭ без планиметрии? Да, но это потеря 4 первичных баллов — примерно 10–12 вторичных. Если цель 65–70 — можно обойтись без задания 17. Если 80+ — нужны оба.

Нужна ли планиметрия для задания 14? Нет — задание 14 это стереометрия (трёхмерные фигуры). Планиметрия косвенно используется при вычислении сечений, но это отдельные задачи.

Как тренировать планиметрию дома? Открытый банк заданий ФИПИ на fipi.ru — фильтр по теме «Планиметрия». Решай по 5–7 задач ежедневно, каждую ошибку разбирай.

Какие книги использовать дополнительно? Официальные сборники ФИПИ + учебник геометрии Атанасяна (9–11 классы). Для самостоятельного изучения — YouTube-разборы по конкретным темам.

Источники

Смотри также: Задание 17 ЕГЭ: планиметрия — разбор · Все формулы ЕГЭ — профильная математика