Как найти область определения функции на ЕГЭ

Область определения функции — множество всех допустимых значений $x$, при которых функция существует. На профильном ЕГЭ это встречается в заданиях 3 и 6, а также как промежуточный шаг при решении уравнений и неравенств. Правило одно: смотришь на «опасные» выражения в функции и составляешь неравенства. Разберём четыре главных случая.

Дробная функция: знаменатель не равен нулю

Если функция имеет вид $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$, то $h(x)\ne 0$.

Пример. $f(x)=\frac{x+3}{x^2-4}$

Условие: $x^2-4\ne 0\Rightarrow x^2\ne 4\Rightarrow x\ne 2$ и $x\ne -2$.

Область определения: $(-\infty ;-2)\cup (-2;2)\cup (2;+\infty )$ — или коротко: $x\in \mathbb{R}$, $x\ne \pm 2$.

Частая ловушка: если знаменатель — квадратный трёхчлен, его корни могут быть нецелыми. Не забудь вычислить через дискриминант.

Квадратный корень: подкоренное выражение неотрицательно

Для $f(x)=\sqrt{g(x)}$ условие: $g(x)\ge 0$.

Пример. $f(x)=\sqrt{3-2x}$

$3-2x\ge 0\Rightarrow 2x\le 3\Rightarrow x\le \frac{3}{2}$

Область определения: $\left(-\infty ;\frac{3}{2}\right]$.

Для корня нечётной степени ($\sqrt[3]{x}$, $\sqrt[5]{x}$) — ограничений нет. Корень нечётной степени существует при любом $x$.

Комбинация: дробь под корнем. $f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}$

Условие: $\frac{x-1}{x+2}\ge 0$ и $x+2\ne 0$.

Решаем методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=1$ и $x=-2$.

Знак дроби на промежутках:

• $x<-2$: $(-)/(-)=(+)$ — подходит
• $-2<x<1$: $(-)/(+)=(-)$ — не подходит
• $x>1$: $(+)/(+)=(+)$ — подходит
• $x=-2$: знаменатель равен нулю, не входит
• $x=1$: дробь равна нулю, входит (неравенство нестрогое)

Область определения: $(-\infty ;-2)\cup [1;+\infty )$.

Логарифм: аргумент строго положителен

Для $f(x)={\log }_{a}g(x)$ (при любом основании $a>0$, $a\ne 1$) условие: $g(x)>0$.

Важно: неравенство строгое — аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, не просто неотрицателен.

Пример. $f(x)=\ln (x^2-9)$

$x^2-9>0\Rightarrow x^2>9\Rightarrow |x|>3\Rightarrow x<-3$ или $x>3$

Область определения: $(-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )$.

Частая ловушка: путают $\ge$ и $>$. Для корня — нестрогое. Для логарифма — строгое.

Логарифм с переменным основанием: если основание тоже содержит $x$, добавляй условия $a(x)>0$ и $a(x)\ne 1$.

Тангенс и котангенс

Для $f(x)=\tan x$: не определён при $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Для $f(x)=\cot x$: не определён при $x=\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Пример. $f(x)=\tan (3x)$

Условие: $3x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n\Rightarrow x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{\pi n}{3}$, $n\in \mathbb{Z}$.

На ЕГЭ тангенс в области определения встречается реже, чем логарифм и корень, но в задании 6 попадается.

Комбинированные функции: несколько условий

Если функция — комбинация нескольких «опасных» выражений, каждое условие записываешь отдельно, потом берёшь пересечение.

Пример. $f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\ln (4-x)}$

Условие 1 (корень): $x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1$

Условие 2 (логарифм): $4-x>0\Rightarrow x<4$

Условие 3 (знаменатель не равен нулю): $\ln (4-x)\ne 0\Rightarrow 4-x\ne 1\Rightarrow x\ne 3$

Пересечение: $x\ge 1$ и $x<4$ и $x\ne 3$ → $[1;3)\cup (3;4)$.

Смотри также все формулы ЕГЭ и задания с параметром, где ОДЗ играет ключевую роль.

Как оформлять ответ

На ЕГЭ область определения записывается в виде промежутка или объединения промежутков. Используй:

• $[a;b]$ — отрезок (включает концы)
• $(a;b)$ — интервал (не включает концы)
• $[a;b)$ или $(a;b]$ — полуинтервалы
• $(-\infty ;a)$ или $(b;+\infty )$ — лучи

Часто экономит время: если ОДЗ — это «все кроме нескольких точек», пишут $\mathbb{R}\setminus \{a,b\}$ или «$x\in \mathbb{R}$, $x\ne a$, $x\ne b$».

Памятка: какому выражению какое условие

Чтобы не запутаться в день экзамена, держи в голове короткую таблицу соответствий. Каждое «опасное» выражение всегда даёт одно и то же условие, независимо от того, как именно выглядит функция вокруг него.

Запомни ключевое различие, на котором валятся чаще всего: у корня неравенство нестрогое ($\ge$), а у логарифма — строгое ($>$). Это не каприз, а смысл операций. Под корнем может стоять ноль, потому что $\sqrt{0}=0$ — нормальное число. А вот логарифм нуля не существует, поэтому аргумент обязан быть строго больше нуля.

Зачем область определения нужна не только в задании 6

Может показаться, что область определения — это узкая тема одного задания. На деле она работает почти в каждой задаче второй части. В задании 12 (уравнения с отбором корней) ты сначала находишь ОДЗ, а потом отбрасываешь корни, которые в неё не попали. В логарифмических и показательных неравенствах задания 15 без правильно записанной области определения ответ почти всегда оказывается неверным — туда попадают лишние точки.

Поэтому привычку «сначала область определения, потом всё остальное» стоит выработать как можно раньше. Она экономит баллы там, где их теряют по невнимательности, а не по незнанию.

Частые вопросы об области определения

Что такое ОДЗ и чем оно отличается от области определения?

ОДЗ (область допустимых значений) — устаревший и неформальный термин, который в школе часто используют как синоним области определения. В контексте ЕГЭ это одно и то же.

Нужно ли проверять ОДЗ в задании 12?

Да, обязательно. Задание 12 — уравнение с отбором корней. После решения каждый найденный корень нужно проверить, принадлежит ли он ОДЗ.

Если подкоренное выражение всегда неотрицательно — нужно ли писать условие?

На экзамене — лучше написать. Даже если $g(x)=x^2+1\ge 0$ при любом $x$, укажи это явно и объясни, почему ограничений нет.

Где обычно ошибаются при нахождении ОДЗ логарифма?

Чаще всего пишут $\ge$ вместо $>$. Ноль не входит в область определения логарифма: ${\log }_{a}0$ не существует.

Можно ли найти область определения «на глаз»?

Для простых функций — да. Для комбинированных — лучше записать систему условий, иначе легко пропустить одно из ограничений.

Источники

1. ФИПИ. Спецификация ЕГЭ по математике (профильный уровень), 2026.
2. ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ, задание 6, ege.fipi.ru.