Задание 16 ЕГЭ профиль: финансовая задача

Задание 17 — 4 балла за финансовую задачу. Темы: вклад (депозит), кредит (ипотека), аннуитет. Всё решается через 2–3 формулы — главное не путать их и правильно считать. Разбираем все типы.

Ключевые формулы — обязательно знать

Сложный процент (вклад)

$A = A_{0} \cdot (1 + r)^{n}$

$A_{0}$ — начальная сумма
$r$ — процентная ставка за период (если дана годовая 12%, то $r = 0, 12$ )
$n$ — число периодов
$A$ — итоговая сумма

Аннуитетный платёж (кредит)

$P = A_{0} \cdot \frac{r ( 1 + r ) ^{n}}{( 1 + r ) ^{n} - 1}$

$P$ — ежемесячный (ежегодный) платёж
$A_{0}$ — сумма кредита
$r$ — ставка за период
$n$ — число платежей

Важно: формула аннуитета — это НЕ «просто процент на сумму долга». Это равные платежи, которые покрывают и тело долга, и проценты. Не путай с простым процентом.

Итоговая переплата по кредиту

$Переплата = P \cdot n - A_{0}$

Тип 1: Задачи на вклад (депозит)

Пример. Вложили 500 000 руб. под 8% годовых с ежегодным начислением на 4 года. Сколько будет на счету?

Решение: $A = 500000 \cdot (1 + 0, 08)^{4} = 500000 \cdot 1, 0 8^{4}$

$1, 0 8^{4} = 1, 0 8^{2} \cdot 1, 0 8^{2} = 1, 1664 \cdot 1, 1664 \approx 1, 3605$

$A \approx 500000 \cdot 1, 3605 = 680250 руб .$

Ответ: 680 250 руб.

Тип 2: Задачи на кредит (аннуитет)

Пример. Кредит 1 000 000 руб. под 12% годовых на 10 лет. Найти ежегодный платёж.

Решение: $r = 0, 12$ , $n = 10$ .

$P = 1000000 \cdot \frac{0 , 12 \cdot ( 1 , 12 ) ^{10}}{( 1 , 12 ) ^{10} - 1}$

Считаем $(1, 12)^{10}$ :

$(1, 12)^{2} = 1, 2544$
$(1, 12)^{4} = 1, 254 4^{2} \approx 1, 5735$
$(1, 12)^{8} \approx 2, 4760$
$(1, 12)^{10} \approx 2, 4760 \cdot 1, 2544 \approx 3, 1058$

$P = 1000000 \cdot \frac{0 , 12 \cdot 3 , 1058}{3 , 1058 - 1} = 1000000 \cdot \frac{0 , 3727}{2 , 1058} \approx 1000000 \cdot 0, 17698 \approx 176980 руб .$

Ответ: около 176 980 руб. в год.

Тип 3: Найти срок или ставку

Иногда вместо суммы нужно найти $n$ или $r$ .

Пример. За сколько лет вклад 100 000 руб. под 10% годовых вырастет до 160 000 руб.?

$100000 \cdot (1, 10)^{n} = 160000$ $(1, 10)^{n} = 1, 6$

Логарифмируем: $n \cdot ln (1, 10) = ln (1, 6)$ $n = \frac{l n 1 , 6}{l n 1 , 10} \approx \frac{0 , 470}{0 , 0953} \approx 4, 93 лет$

Т.е. через 5 лет (округляем вверх, так как задача спрашивает «через сколько лет вырастет до»).

Тип 4: Сравнительные задачи (выгоднее А или Б?)

В ЕГЭ 2025–2026 появились задачи вида: «Сравнить, что выгоднее: взять в кредит сейчас или накопить».

Алгоритм:

Посчитать итоговую сумму при кредите (общая выплата = $P \cdot n$ )
Посчитать итоговую сумму при накоплении ( $A_{0} \cdot (1 + r)^{n}$ )
Сравнить

Что чаще встречается в ЕГЭ-2026

По открытому банку ФИПИ:

Вклад с ежегодным или ежемесячным начислением — 40%
Кредит с аннуитетными платежами — 35%
Смешанная задача (накопить → купить с остатком от кредита) — 25%

Типичные ошибки в задании 17

Ошибка 1. В формуле аннуитета перепутать числитель и знаменатель. Запомни: числитель — $r (1 + r)^{n}$ , знаменатель — $(1 + r)^{n} - 1$ .

Ошибка 2. Использовать простой процент вместо сложного. Простой: $A = A_{0} (1 + r n)$ . Сложный: $A = A_{0} (1 + r)^{n}$ . В большинстве задач 17 используется сложный.

Ошибка 3. Неправильно перевести ставку: «12% годовых, начисление ежемесячное» → $r = 0, 12/12 = 0, 01$ в месяц, $n$ — в месяцах.

Ошибка 4. При округлении взять «ниже» — если нужно накопить X руб., а расчёт даёт 4,93 года, ответ — 5 лет (а не 4).

Ошибка 5. Не записать ход решения — просто написать ответ. ФИПИ требует показать вычисления.

Лайфхак: $(1 + r)^{n}$ из условия

В задачах ЕГЭ $(1 + r)^{n}$ часто даётся уже посчитанным в условии или выходит целым числом — это специально подбирают. Всегда проверяй, нет ли подсказки в условии.

Чек-лист по заданию 17

Знаю формулу сложного процента $A = A_{0} (1 + r)^{n}$
Знаю формулу аннуитетного платежа (числитель и знаменатель)
Умею переводить годовую ставку в месячную (и наоборот)
При округлении сроков — всегда вверх (если нужно «достичь»)
Записываю ход вычислений, а не только ответ

Связанные темы

В Сотах задание 17 начинается с простых вкладов, потом вводится аннуитет. Формулу аннуитета нужно знать наизусть — она не вошла в справочный лист ЕГЭ.