Задание 14 ЕГЭ профиль: стереометрия с доказательством

Задание 14 — самое объёмное в части 2: 6 баллов. Оно состоит из двух пунктов: а) доказательство (перпендикулярность, параллельность) и б) вычисление (расстояние, угол, площадь сечения). Разбираем все типы и оба метода.

Структура задания 14

Пункт а) — доказательство:

• Доказать перпендикулярность (прямой и плоскости, двух плоскостей)
• Доказать параллельность (прямой и плоскости, двух плоскостей)
• Доказать, что прямая является биссектрисой / серединным перпендикуляром

Пункт б) — вычисление:

• Расстояние от точки до плоскости
• Расстояние между скрещивающимися прямыми
• Угол между прямыми / плоскостями / прямой и плоскостью
• Площадь сечения
• Объём (реже в б, чаще в задании 16)

Распределение баллов: обычно 2 балла за а) и 4 балла за б), или 3+3. Уточняй в условии.

Метод 1: Координатный метод

Универсальный. Подходит для большинства задач б). Для а) — сложнее, но возможен.

Алгоритм:

1. Ввести систему координат (выбрать вершину за начало, рёбра — за оси)
2. Записать координаты всех нужных точек
3. Найти нужные векторы
4. Применить формулу (скалярное произведение, векторное, расстояние)

Ключевые формулы:

Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

Расстояние от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Угол между плоскостями (через нормали $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$): $\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$

Метод 2: Геометрический метод

Быстрее для а) — особенно для перпендикулярности. Требует знания теорем.

Ключевые признаки:

Прямая ⊥ плоскость: Прямая $l \perp$ плоскости $\alpha$, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости.

Плоскость ⊥ плоскость: $\alpha \perp \beta$, если в $\alpha$ есть прямая, перпендикулярная $\beta$.

Параллельность: $l \parallel \alpha$, если $l$ не лежит в $\alpha$ и параллельна прямой из $\alpha$.

Тип 1: Перпендикулярность прямой и плоскости (пункт а)

Пример. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 1. Доказать, что диагональ $BD_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

Геометрический метод:

• $BD \perp AC$ (диагонали квадрата перпендикулярны)
• $BD \perp AA_1$ (ребро перпендикулярно основанию)
• Поскольку $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $A_1AC$ ... (полное доказательство займёт 3–4 шага)

Тип 2: Расстояние от точки до плоскости (пункт б)

Пример. В правильной треугольной пирамиде $SABC$ все рёбра равны 2. Найти расстояние от вершины $S$ до плоскости $ABC$.

Координатный метод: Введём систему: $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$, $C(1, \sqrt{3}, 0)$. Центр основания: $O(1, \frac{\sqrt{3}}{3}, 0)$.

Высота пирамиды: $h = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{4 - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Тип 3: Угол между плоскостями

Метод: найти нормали $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ к обеим плоскостям, потом применить формулу через скалярное произведение.

Нормаль к плоскости через три точки: берёшь два вектора в плоскости и находишь их векторное произведение.

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}$

Тип 4: Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми = угол между их направляющими векторами (берём острый угол).

$\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

Что выбрать: координаты или геометрия?

Типичные ошибки в задании 14

Ошибка 1. Пропустить пункт а) (доказательство) ради б) — теряешь 2–3 балла. Даже частичное правильное доказательство даёт баллы.

Ошибка 2. В координатном методе ошибиться при введении системы координат (перепутать оси).

Ошибка 3. Взять угол между нормалями, а нужен угол между плоскостями — они равны или дополняют друг друга до 90°. Берём острый.

Ошибка 4. Забыть, что расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина общего перпендикуляра.

Ошибка 5. Доказательство написать без ссылок на теоремы («тогда прямая перпендикулярна плоскости, что и требовалось»). ФИПИ требует обоснований.

Чек-лист по заданию 14

• Знаю признак перпендикулярности прямой и плоскости
• Знаю признак перпендикулярности двух плоскостей
• Умею вводить координатную систему в призмах, пирамидах, кубе
• Нахожу уравнение плоскости через три точки
• Считаю расстояние от точки до плоскости по формуле
• Нахожу угол между плоскостями через нормали

Связанные темы

• Метод координат в пространстве
• Уравнение плоскости
• Угол между прямыми в пространстве
• Задание 14: полный гайд (блог)

Соты дают задание 14 поэтапно: сначала а) в простых конфигурациях (куб, прямая призма), потом б) с координатами. Система не бросает сразу на сложный пример.