Задание 14 ЕГЭ профиль: стереометрия с доказательством

Задание 14 — самое объёмное в части 2: 6 баллов. Оно состоит из двух пунктов: а) доказательство (перпендикулярность, параллельность) и б) вычисление (расстояние, угол, площадь сечения). Разбираем все типы и оба метода.

Структура задания 14

Пункт а) — доказательство:

Доказать перпендикулярность (прямой и плоскости, двух плоскостей)
Доказать параллельность (прямой и плоскости, двух плоскостей)
Доказать, что прямая является биссектрисой / серединным перпендикуляром

Пункт б) — вычисление:

Расстояние от точки до плоскости
Расстояние между скрещивающимися прямыми
Угол между прямыми / плоскостями / прямой и плоскостью
Площадь сечения
Объём (реже в б, чаще в задании 16)

Распределение баллов: обычно 2 балла за а) и 4 балла за б), или 3+3. Уточняй в условии.

Метод 1: Координатный метод

Универсальный. Подходит для большинства задач б). Для а) — сложнее, но возможен.

Алгоритм:

Ввести систему координат (выбрать вершину за начало, рёбра — за оси)
Записать координаты всех нужных точек
Найти нужные векторы
Применить формулу (скалярное произведение, векторное, расстояние)

Ключевые формулы:

Угол между векторами $a$ и $b$ : $cos α = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}$

Расстояние от точки $M (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ до плоскости $A x + B y + C z + D = 0$ : $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$

Угол между плоскостями (через нормали $n_{1}$ и $n_{2}$ ): $cos α = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣∣ n _{2} ∣}$

Метод 2: Геометрический метод

Быстрее для а) — особенно для перпендикулярности. Требует знания теорем.

Ключевые признаки:

Прямая ⊥ плоскость: Прямая $l ⊥$ плоскости $α$ , если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости.

Плоскость ⊥ плоскость: $α ⊥ β$ , если в $α$ есть прямая, перпендикулярная $β$ .

Параллельность: $l ∥ α$ , если $l$ не лежит в $α$ и параллельна прямой из $α$ .

Тип 1: Перпендикулярность прямой и плоскости (пункт а)

Пример. В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ с ребром 1. Доказать, что диагональ $B D_{1}$ перпендикулярна плоскости $A B C$ .

Геометрический метод:

$B D ⊥ A C$ (диагонали квадрата перпендикулярны)
$B D ⊥ A A_{1}$ (ребро перпендикулярно основанию)
Поскольку $B D$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $A_{1} A C$ ... (полное доказательство займёт 3–4 шага)

Тип 2: Расстояние от точки до плоскости (пункт б)

Пример. В правильной треугольной пирамиде $S A B C$ все рёбра равны 2. Найти расстояние от вершины $S$ до плоскости $A B C$ .

Координатный метод: Введём систему: $A (0, 0, 0)$ , $B (2, 0, 0)$ , $C (1, 3, 0)$ . Центр основания: $O (1, \frac{3}{3}, 0)$ .

Высота пирамиды: $h = S A^{2} - O A^{2} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3} = \frac{2 6}{3}$ .

Тип 3: Угол между плоскостями

Метод: найти нормали $n_{1}$ и $n_{2}$ к обеим плоскостям, потом применить формулу через скалярное произведение.

Нормаль к плоскости через три точки: берёшь два вектора в плоскости и находишь их векторное произведение.

$n = A B \times A C = i x_{1} x_{2} j y_{1} y_{2} k z_{1} z_{2}$

Тип 4: Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми = угол между их направляющими векторами (берём острый угол).

$cos α = \frac{∣ a \cdot b ∣}{∣ a ∣∣ b ∣}$

Что выбрать: координаты или геометрия?

Ситуация	Рекомендация
Пункт а): доказательство параллельности	Геометрический (быстрее)
Пункт а): доказательство перпендикулярности	Геометрический (через признак)
Пункт б): расстояния	Координатный (надёжнее)
Пункт б): углы	Координатный (через нормали/направляющие)
Фигура неправильная, много координат	Геометрический для понимания, координатный для расчёта

Типичные ошибки в задании 14

Ошибка 1. Пропустить пункт а) (доказательство) ради б) — теряешь 2–3 балла. Даже частичное правильное доказательство даёт баллы.

Ошибка 2. В координатном методе ошибиться при введении системы координат (перепутать оси).

Ошибка 3. Взять угол между нормалями, а нужен угол между плоскостями — они равны или дополняют друг друга до 90°. Берём острый.

Ошибка 4. Забыть, что расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина общего перпендикуляра.

Ошибка 5. Доказательство написать без ссылок на теоремы («тогда прямая перпендикулярна плоскости, что и требовалось»). ФИПИ требует обоснований.

Чек-лист по заданию 14

Знаю признак перпендикулярности прямой и плоскости
Знаю признак перпендикулярности двух плоскостей
Умею вводить координатную систему в призмах, пирамидах, кубе
Нахожу уравнение плоскости через три точки
Считаю расстояние от точки до плоскости по формуле
Нахожу угол между плоскостями через нормали

Связанные темы

Соты дают задание 14 поэтапно: сначала а) в простых конфигурациях (куб, прямая призма), потом б) с координатами. Система не бросает сразу на сложный пример.