Задание 10 ЕГЭ профиль — полная вероятность, Байес, независимые события

Что такое задание 10 ЕГЭ

Задание 10 — самая сложная задача части 1 (1 балл). Это не значит, что она неподъёмна — у неё есть шаблоны. Четыре основных типа:

1. Формула полной вероятности — несколько гипотез, найти $P(A)$.
2. Теорема Байеса — после наступления $A$ найти $P(H_k \mid A)$.
3. Независимые события: несколько испытаний, найти вероятность составного события.
4. Комбинированные задачи — два этапа, каждый с разными типами вероятностей.

Тип 1: формула полной вероятности

Формула: $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i) \cdot P(A \mid H_i)$

Подробно: Формула полной вероятности.

Пример 1. В компании 60 % сотрудников мужчины, 40 % — женщины. Мужчины берут больничный с вероятностью 0.05, женщины — 0.08. Найти вероятность что случайный сотрудник сегодня на больничном.

$P = 0.6 \cdot 0.05 + 0.4 \cdot 0.08 = 0.03 + 0.032 = 0.062$.

Ответ: 0.062.

Тип 2: теорема Байеса

Формула: $P(H_k \mid A) = \frac{P(H_k) \cdot P(A \mid H_k)}{P(A)}$

где $P(A)$ вычислена по формуле полной вероятности.

Пример 2. Из предыдущей задачи: если сотрудник оказался на больничном, какова вероятность что это женщина?

$P(H_{\text{ж}} \mid A) = \dfrac{P(H_{\text{ж}}) \cdot P(A \mid H_{\text{ж}})}{P(A)} = \dfrac{0.4 \cdot 0.08}{0.062} = \dfrac{0.032}{0.062} \approx 0.516$.

Ответ: $\approx 0.516$.

Тип 3: независимые события — цепочки

Шаблон «хотя бы один»: $P(\text{хотя бы одно из } n) = 1 - P(\text{ни одного}) = 1 - \prod_{i=1}^{n} (1 - p_i)$

Пример 3. Три независимых устройства. Вероятность отказа каждого: 0.1, 0.2, 0.15. Система ломается если хотя бы одно откажет. Найти вероятность поломки.

$P(\text{поломка}) = 1 - (1-0.1)(1-0.2)(1-0.15) = 1 - 0.9 \cdot 0.8 \cdot 0.85 = 1 - 0.612 = 0.388$.

Ответ: 0.388.

Тип 4: комбинированная задача

Пример 4. В коробке 3 красных и 2 синих шара. Берут два шара последовательно без возврата. Найти вероятность что оба красных.

$P(\text{1-й красный}) = \dfrac{3}{5}$. $P(\text{2-й красный} \mid \text{1-й красный}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ (осталось 4 шара, 2 красных).

$P = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{10} = 0.3$.

Ответ: 0.3.

Тип 5: две урны (с гипотезами и выбором)

Пример 5. Две урны. В первой: 4 белых, 6 чёрных. Во второй: 7 белых, 3 чёрных. Бросают монету: орёл → из первой, решка → из второй (равновероятно). Вытащили белый. Из какой урны?

$P(H_1) = P(H_2) = 0.5$. $P(\text{бел} \mid H_1) = 0.4$, $P(\text{бел} \mid H_2) = 0.7$.

$P(\text{бел}) = 0.5 \cdot 0.4 + 0.5 \cdot 0.7 = 0.55$.

$P(H_1 \mid \text{бел}) = \dfrac{0.5 \cdot 0.4}{0.55} = \dfrac{0.2}{0.55} \approx 0.364$.

$P(H_2 \mid \text{бел}) = \dfrac{0.5 \cdot 0.7}{0.55} \approx 0.636$.

Ответ: вероятнее всего шар из второй урны ($\approx 0.636$).

Алгоритм решения задания 10

1. Определи тип задачи (полная вероятность / Байес / независимые / комбинация).
2. Если несколько гипотез: запиши $P(H_i)$ и $P(A \mid H_i)$.
3. Если нужна $P(A)$: примени формулу полной вероятности.
4. Если нужна $P(H_k \mid A)$: примени Байес.
5. Если независимые события: перемножай для «все» или применяй дополнение для «хотя бы одно».
6. Проверь что $\sum P(H_i) = 1$.

Типичные ошибки

Что запомнить

1. Полная вероятность: $P(A) = \sum P(H_i) \cdot P(A \mid H_i)$.
2. Байес: $P(H_k \mid A) = \frac{P(H_k) \cdot P(A \mid H_k)}{P(A)}$.
3. Хотя бы одно: $1 - \prod(1 - p_i)$.
4. Без возврата — зависимые события, учитывай уменьшение знаменателя.