Задание 10 ЕГЭ профиль — полная вероятность, Байес, независимые события

Что такое задание 10 ЕГЭ

Задание 10 — самая сложная задача части 1 (1 балл). Это не значит, что она неподъёмна — у неё есть шаблоны. Четыре основных типа:

1. Формула полной вероятности — несколько гипотез, найти $P(A)$.
2. Теорема Байеса — после наступления $A$ найти $P(H_k\mid A)$.
3. Независимые события: несколько испытаний, найти вероятность составного события.
4. Комбинированные задачи — два этапа, каждый с разными типами вероятностей.

Тип 1: формула полной вероятности

Формула: $P(A)={\sum }_{i=1}^{n}P(H_i)\cdot P(A\mid H_i)$

Подробно: Формула полной вероятности.

Пример 1. В компании 60 % сотрудников мужчины, 40 % — женщины. Мужчины берут больничный с вероятностью 0.05, женщины — 0.08. Найти вероятность что случайный сотрудник сегодня на больничном.

$P=0.6\cdot 0.05+0.4\cdot 0.08=0.03+0.032=0.062$.

Ответ: 0.062.

Тип 2: теорема Байеса

Формула: $P(H_k\mid A)=\frac{P(H_k)\cdot P(A\mid H_k)}{P(A)}$

где $P(A)$ вычислена по формуле полной вероятности.

Пример 2. Из предыдущей задачи: если сотрудник оказался на больничном, какова вероятность что это женщина?

$P(H_{\text{ж}}\mid A)=\frac{P(H_{\text{ж}})\cdot P(A\mid H_{\text{ж}})}{P(A)}=\frac{0.4\cdot 0.08}{0.062}=\frac{0.032}{0.062}\approx 0.516$.

Ответ: $\approx 0.516$.

Тип 3: независимые события — цепочки

Шаблон «хотя бы один»: $P(\text{хотя бы одно из }n)=1-P(\text{ни одного})=1-{\prod }_{i=1}^n(1-p_i)$

Пример 3. Три независимых устройства. Вероятность отказа каждого: 0.1, 0.2, 0.15. Система ломается если хотя бы одно откажет. Найти вероятность поломки.

$P(\text{поломка})=1-(1-0.1)(1-0.2)(1-0.15)=1-0.9\cdot 0.8\cdot 0.85=1-0.612=0.388$.

Ответ: 0.388.

Тип 4: комбинированная задача

Пример 4. В коробке 3 красных и 2 синих шара. Берут два шара последовательно без возврата. Найти вероятность что оба красных.

$P(\text{1-й красный})=\frac{3}{5}$. $P(\text{2-й красный}\mid \text{1-й красный})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ (осталось 4 шара, 2 красных).

$P=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{10}=0.3$.

Ответ: 0.3.

Тип 5: две урны (с гипотезами и выбором)

Пример 5. Две урны. В первой: 4 белых, 6 чёрных. Во второй: 7 белых, 3 чёрных. Бросают монету: орёл → из первой, решка → из второй (равновероятно). Вытащили белый. Из какой урны?

$P(H_1)=P(H_2)=0.5$. $P(\text{бел}\mid H_1)=0.4$, $P(\text{бел}\mid H_2)=0.7$.

$P(\text{бел})=0.5\cdot 0.4+0.5\cdot 0.7=0.55$.

$P(H_1\mid \text{бел})=\frac{0.5\cdot 0.4}{0.55}=\frac{0.2}{0.55}\approx 0.364$.

$P(H_2\mid \text{бел})=\frac{0.5\cdot 0.7}{0.55}\approx 0.636$.

Ответ: вероятнее всего шар из второй урны ($\approx 0.636$).

Алгоритм решения задания 10

1. Определи тип задачи (полная вероятность / Байес / независимые / комбинация).
2. Если несколько гипотез: запиши $P(H_i)$ и $P(A\mid H_i)$.
3. Если нужна $P(A)$: примени формулу полной вероятности.
4. Если нужна $P(H_k\mid A)$: примени Байес.
5. Если независимые события: перемножай для «все» или применяй дополнение для «хотя бы одно».
6. Проверь что $\sum P(H_i)=1$.

Типичные ошибки

Что запомнить

1. Полная вероятность: $P(A)=\sum P(H_i)\cdot P(A\mid H_i)$.
2. Байес: $P(H_k\mid A)=\frac{P(H_k)\cdot P(A\mid H_k)}{P(A)}$.
3. Хотя бы одно: $1-\prod (1-p_i)$.
4. Без возврата — зависимые события, учитывай уменьшение знаменателя.