Задание 1 ЕГЭ по математике: все типы планиметрии

Задание 1 — базовая планиметрия. Один балл, решается за 1–3 минуты. Разберём все типы задач, чтобы не терять время на экзамене.

Структура задания 1

• Формат: задача с кратким ответом (целое или десятичное число).
• Балл: 1 первичный балл.
• Тематика: планиметрия 7–9 класса — треугольники, четырёхугольники, окружности.
• Сложность: базовая. Практически все справляются при подготовке.

Тип 1: Углы в треугольнике и многоугольнике

Ключевые факты:

• Сумма углов треугольника: $180°$.
• Сумма углов выпуклого $n$-угольника: $(n-2) \cdot 180°$.
• Внешний угол треугольника = сумма двух несмежных внутренних.

Пример 1. В треугольнике два угла: 47° и 68°. Найти третий.

$\angle C = 180° - 47° - 68° = 65°$.

Пример 2. В правильном шестиугольнике найти угол.

$(6-2) \cdot 180° / 6 = 720° / 6 = 120°$.

Тип 2: Прямоугольный треугольник

Ключевые факты:

• Теорема Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.
• $\sin A = a/c$, $\cos A = b/c$, $\tg A = a/b$.
• Сумма острых углов: $90°$.

Пример 3. В прямоугольном треугольнике катеты 6 и 8. Гипотенуза?

$c = \sqrt{36+64} = 10$.

Пример 4. Гипотенуза 13, один катет 5. Другой катет?

$b = \sqrt{169-25} = 12$.

Пример 5. $\angle A = 30°$, гипотенуза $= 20$. Катет напротив $A$?

$a = 20 \cdot \sin 30° = 20 \cdot 0{,}5 = 10$.

Тип 3: Трапеция

Ключевые факты:

• Средняя линия трапеции = $(a+b)/2$ (полусумма оснований).
• Прямоугольная трапеция: один угол 90°.
• Равнобедренная трапеция: боковые стороны равны, диагонали равны.
• Высота прямоугольной трапеции = меньшему боковому ребру.

Пример 6. Основания трапеции 10 и 16. Средняя линия?

$m = (10+16)/2 = 13$.

Пример 7. В прямоугольной трапеции: основания 5 и 9, высота 4. Найти боковые стороны.

Меньшая боковая = высоте = 4.

Большая боковая: $\sqrt{4^2 + (9-5)^2} = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}$.

Тип 4: Параллелограмм и ромб

Ключевые факты:

• В параллелограмме: сумма смежных углов = $180°$.
• Ромб: все стороны равны; диагонали перпендикулярны и делятся пополам.
• Прямоугольник: все углы 90°; диагонали равны.

Пример 8. В параллелограмме один угол 70°. Найти другие углы.

Смежный: $180° - 70° = 110°$. Параллелограмм: $70°, 110°, 70°, 110°$.

Тип 5: Окружность — вписанный угол и дуга

Ключевые факты:

• Вписанный угол = половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Угол, вписанный в полуокружность = $90°$ (угол Фалеса).
• Центральный угол = дуге (в градусах).

Пример 9. Вписанный угол опирается на дугу 80°. Найти угол.

Вписанный = $80°/2 = 40°$.

Пример 10. Два вписанных угла опираются на одну дугу 100°. Оба = $50°$.

Тип 6: Касательная к окружности

Ключевые факты:

• Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.
• Из внешней точки можно провести две равные касательные.
• Угол между касательной и хордой = вписанному углу на ту же дугу.

Пример 11. Из точки $P$ вне окружности проведена касательная, длина $PT = 5$. Расстояние от $P$ до центра $O = 13$. Радиус?

$OT \perp PT$: $R = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = 12$.

Тип 7: Площади фигур

Ключевые факты (задание 1 иногда требует площадь):

Пример 12. Прямоугольник: стороны 6 и 9. Площадь?

$S = 6 \cdot 9 = 54$.

Стратегия на экзамене

1. Прочитай задачу и определи тип (из 7 выше).
2. Запиши формулу.
3. Подставь числа и вычисли.
4. Проверь ответ визуально (разумен ли по порядку величины).

Время: не более 2 минут. Если задача зависает — пропусти, вернись.

Связь с другими темами

• Свойства прямоугольного треугольника — типы 2 и 3.
• Свойства окружности — типы 5 и 6.
• Теорема Пифагора — базовый инструмент типа 2.