Правильная пирамида: все формулы для ЕГЭ

Правильная пирамида встречается и в части 1 (задание 3), и в части 2: в проекте демоверсии ЕГЭ-2027 задание 15 как раз про правильную шестиугольную пирамиду. Для №3 достаточно общей формулы объёма, трёх площадей оснований и двух связей через теорему Пифагора. Полный вывод формулы объёма и общий случай пирамиды — на странице объёма пирамиды.

Определение

Правильная $n$ -угольная пирамида — это пирамида, у которой:

Основание — правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и т.д.).
Вершина проектируется в центр основания.

Из этих двух условий следуют сильные симметрии:

Все боковые рёбра равны.
Все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Все апофемы равны.

Ключевые элементы

Правильная четырёхугольная пирамида SABCD с обозначенными элементами: высота h, апофема l, боковое ребро b, радиусы r и R

Элемент	Обозначение	Что это
Высота	$h$	Перпендикуляр от вершины до плоскости основания
Апофема	$l$	Высота боковой грани (на сторону основания)
Боковое ребро	$b$	Отрезок вершина → вершина основания
Радиус вписанной (в основание)	$r$	От центра основания до его стороны
Радиус описанной	$R$	От центра до вершины основания

Главная формула объёма

V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h

В правильной пирамиде $S_{осн}$ считается через сторону $a$ правильного многоугольника.

Площади оснований и радиусы для трёх типов

Многоугольник	$S$	$r$	$R$
Равносторонний треугольник	$a^{2} 3 /4$	$a / (23)$	$a / 3$
Квадрат	$a^{2}$	$a /2$	$a 2 /2$
Правильный шестиугольник	$3 a^{2} 3 /2$	$a 3 /2$	$a$

Особенность шестиугольника: $R = a$ — расстояние от центра до вершины равно стороне. Полезно помнить.

Две связи через теорему Пифагора

Осевое сечение пирамиды: два прямоугольных треугольника, l² = h² + r² и b² = h² + R²

В осевом сечении правильной пирамиды есть две ключевые формулы.

Связь высоты, апофемы и радиуса вписанной

l^{2} = h^{2} + r^{2}

Используется когда даны два из трёх: $h, l, r$ . Находим третий.

Связь высоты, ребра и радиуса описанной

b^{2} = h^{2} + R^{2}

Используется когда даны $h, b, R$ (два из трёх).

Площадь боковой поверхности

S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l

где $P_{осн}$ — периметр основания. Это сумма площадей боковых граней (каждая — равнобедренный треугольник).

Полная поверхность: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$ .

Объёмы по типам (готовые формулы)

Тип пирамиды	Формула объёма
Правильная треугольная	$V = \frac{a ^{2} h 3}{12}$
Правильная четырёхугольная	$V = \frac{a ^{2} h}{3}$
Правильная шестиугольная	$V = \frac{a ^{2} h 3}{2}$

Задача 1: объём четырёхугольной

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида со стороной 6 и высотой 8. Найди объём.

Решение. $V = \frac{6 ^{2} \cdot 8}{3} = 96$ .

Ответ: $96$ .

Задача 2: ребро через сторону и высоту

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона 4, высота 6. Найди боковое ребро.

Решение. $R = a 2 /2 = 22$ .

По формуле: $b^{2} = h^{2} + R^{2} = 36 + 8 = 44 \Rightarrow b = 211$ .

Ответ: $b = 211$ .

Задача 3: апофема через сторону и боковое ребро

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона 4, боковое ребро 5. Найди апофему.

Решение. Боковая грань — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 5 и основанием 4.

Апофема — высота треугольника на основание:

l^{2} = 5^{2} - 2^{2} = 21 \Rightarrow l = 21

Ответ: $l = 21$ .

Задача 4: высота через апофему

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона 6, апофема 5. Найди высоту.

Решение. $r = a /2 = 3$ .

По формуле $l^{2} = h^{2} + r^{2}$ :

25 = h^{2} + 9 \Rightarrow h^{2} = 16 \Rightarrow h = 4

Ответ: $h = 4$ .

Задача 5: объём шестиугольной

Условие. Правильная шестиугольная пирамида: сторона 2, боковое ребро 3. Найди объём.

Решение. Для шестиугольника $R = a = 2$ .

Высота: $h^{2} = b^{2} - R^{2} = 9 - 4 = 5 \Rightarrow h = 5$ .

Площадь шестиугольника: $S = \frac{3 \cdot 4 3}{2} = 63$ .

Объём: $V = \frac{1}{3} \cdot 63 \cdot 5 = 215$ .

Ответ: $V = 215$ .

Алгоритм решения

Определи тип пирамиды (треугольная / четырёхугольная / шестиугольная).
Запиши известные элементы.
Если нужно $V$ — найди $h$ , подставь в формулу объёма.
Если нужно $S_{пов}$ — найди апофему, посчитай $\frac{1}{2} P l + S_{осн}$ .
Для нахождения $h$ , $l$ , $b$ используй две связи через Пифагор.

Когда какая формула

Дано	Что найти	Формула
$a, h$	$V$	$V = \frac{1}{3} S (a) \cdot h$
$a, l$	$S_{бок}$	$\frac{1}{2} \cdot na \cdot l$
$a, h$	$l$	$l^{2} = h^{2} + r (a)^{2}$
$a, h$	$b$	$b^{2} = h^{2} + R (a)^{2}$
$a, b$	$l$	$l^{2} = b^{2} - (a /2)^{2}$ (теорема Пифагора в грани)
$a, l$	$h$	$h^{2} = l^{2} - r (a)^{2}$
$a, b$	$h$	$h^{2} = b^{2} - R (a)^{2}$

Типичные ошибки

Ошибка 1: путают апофему и боковое ребро. Апофема идёт от вершины пирамиды к середине стороны основания, боковое ребро — к вершине основания, поэтому ребро длиннее апофемы. В формуле $\frac{1}{2} P l$ нужна апофема: если подставить ребро, площадь окажется завышенной.

Ошибка 2: путают $r$ и $R$ . В $l^{2} = h^{2} + r^{2}$ нужен $r$ (вписанная окружность основания): апофема — гипотенуза. В $b^{2} = h^{2} + R^{2}$ нужен $R$ (описанная): гипотенуза — боковое ребро. Перед счётом спроси себя, куда приходит отрезок: в угол основания или в середину стороны.

Ошибка 3: для шестиугольника берут $R = a / 3$ как у треугольника. Шестиугольник — особенный, $R = a$ .

Ошибка 4: забывают $\frac{1}{3}$ в формуле объёма. Без этого получается объём призмы.

Что почитать дальше

Объём пирамиды: формула и вывод — общий случай, не только правильная пирамида.
Задание 3 ЕГЭ: стереометрия, все типы — другие тела из первой части.
Тетраэдр и правильные многогранники — частный случай правильной треугольной пирамиды.

Что в итоге

Нужны общая формула объёма, три площади оснований и две связи через теорему Пифагора. Разбери пять задач выше и реши по одной своей на каждый тип основания.

Проверено: 2026-10-08.

Правильная пирамида: все формулы для №3 ЕГЭ