Правильная пирамида: все формулы для ЕГЭ

В задании 3 ЕГЭ профиль правильная пирамида появляется примерно в каждой второй задаче. Главное — знать одну общую формулу объёма, четыре площади оснований и две связи через теорему Пифагора. Разбираем структурно.

Определение

Правильная $n$ -угольная пирамида — это пирамида, у которой:

Основание — правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и т.д.).
Вершина проектируется в центр основания.

Из этих двух условий следуют сильные симметрии:

Все боковые рёбра равны.
Все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Все апофемы равны.

Ключевые элементы

Правильная четырёхугольная пирамида SABCD с обозначенными элементами: высота h, апофема l, боковое ребро b, радиусы r и R

Элемент	Обозначение	Что это
Высота	$h$	Перпендикуляр от вершины до плоскости основания
Апофема	$l$	Высота боковой грани (на сторону основания)
Боковое ребро	$b$	Отрезок вершина → вершина основания
Радиус вписанной (в основание)	$r$	От центра основания до его стороны
Радиус описанной	$R$	От центра до вершины основания

Главная формула объёма

V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h

Особенность правильной пирамиды — в том, что $S_{осн}$ считается через сторону $a$ правильного многоугольника.

Площади оснований и радиусы для трёх типов

Многоугольник	$S$	$r$	$R$
Равносторонний треугольник	$a^2\sqrt{3}/4$	$a/(2\sqrt{3})$	$a/\sqrt{3}$
Квадрат	$a^2$	$a/2$	$a\sqrt{2}/2$
Правильный шестиугольник	$3a^2\sqrt{3}/2$	$a\sqrt{3}/2$	$a$

Особенность шестиугольника: $R = a$ — расстояние от центра до вершины равно стороне. Полезно помнить.

Две связи через теорему Пифагора

Осевое сечение пирамиды: два прямоугольных треугольника, l² = h² + r² и b² = h² + R²

В осевом сечении правильной пирамиды есть две ключевые формулы.

Связь высоты, апофемы и радиуса вписанной

l^2 = h^2 + r^2

Используется когда даны два из трёх: $h, l, r$ . Находим третий.

Связь высоты, ребра и радиуса описанной

b^2 = h^2 + R^2

Используется когда даны $h, b, R$ (два из трёх).

Площадь боковой поверхности

S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l

где $P_{осн}$ — периметр основания. Это сумма площадей боковых граней (каждая — равнобедренный треугольник).

Полная поверхность: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$ .

Объёмы по типам (готовые формулы)

Тип пирамиды	Формула объёма
Правильная треугольная	$V = \dfrac{a^2 h \sqrt{3}}{12}$
Правильная четырёхугольная	$V = \dfrac{a^2 h}{3}$
Правильная шестиугольная	$V = \dfrac{a^2 h \sqrt{3}}{2}$

Задача 1: объём четырёхугольной

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида со стороной 6 и высотой 8. Найди объём.

Решение. $V = \dfrac{6^2 \cdot 8}{3} = 96$ .

Ответ: $96$ .

Задача 2: ребро через сторону и высоту

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона 4, высота 6. Найди боковое ребро.

Решение. $R = a\sqrt{2}/2 = 2\sqrt{2}$ .

По формуле: $b^2 = h^2 + R^2 = 36 + 8 = 44 \Rightarrow b = 2\sqrt{11}$ .

Ответ: $b = 2\sqrt{11}$ .

Задача 3: апофема через сторону и боковое ребро

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона 4, боковое ребро 5. Найди апофему.

Решение. Боковая грань — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 5 и основанием 4.

Апофема — высота треугольника на основание:

l^2 = 5^2 - 2^2 = 21 \Rightarrow l = \sqrt{21}

Ответ: $l = \sqrt{21}$ .

Задача 4: высота через апофему

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида: сторона 6, апофема 5. Найди высоту.

Решение. $r = a/2 = 3$ .

По формуле $l^2 = h^2 + r^2$ :

25 = h^2 + 9 \Rightarrow h^2 = 16 \Rightarrow h = 4

Ответ: $h = 4$ .

Задача 5: объём шестиугольной

Условие. Правильная шестиугольная пирамида: сторона 2, боковое ребро 3. Найди объём.

Решение. Для шестиугольника $R = a = 2$ .

Высота: $h^2 = b^2 - R^2 = 9 - 4 = 5 \Rightarrow h = \sqrt{5}$ .

Площадь шестиугольника: $S = \dfrac{3 \cdot 4 \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ .

Объём: $V = \dfrac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{15}$ .

Ответ: $V = 2\sqrt{15}$ .

Алгоритм решения

Определи тип пирамиды (треугольная / четырёхугольная / шестиугольная).
Запиши известные элементы.
Если нужно $V$ — найди $h$ , подставь в формулу объёма.
Если нужно $S_{пов}$ — найди апофему, посчитай $\dfrac{1}{2} P l + S_{осн}$ .
Для нахождения $h$ , $l$ , $b$ используй две связи через Пифагор.

Когда какая формула

Дано	Что найти	Формула
$a, h$	$V$	$V = \dfrac{1}{3} S(a) \cdot h$
$a, l$	$S_{бок}$	$\dfrac{1}{2} \cdot na \cdot l$
$a, h$	$l$	$l^2 = h^2 + r(a)^2$
$a, h$	$b$	$b^2 = h^2 + R(a)^2$
$a, b$	$l$	$l^2 = b^2 - (a/2)^2$ (теорема Пифагора в грани)
$a, l$	$h$	$h^2 = l^2 - r(a)^2$
$a, b$	$h$	$h^2 = b^2 - R(a)^2$

Типичные ошибки

Ошибка 1: путают апофему и боковое ребро. В формуле $\dfrac{1}{2} P l$ нужна апофема. Если подставить ребро — площадь будет завышена.

Ошибка 2: путают $r$ и $R$ . В $l^2 = h^2 + r^2$ нужен $r$ (вписанная). В $b^2 = h^2 + R^2$ нужен $R$ (описанная).

Ошибка 3: для шестиугольника берут $R = a/\sqrt{3}$ как у треугольника. Шестиугольник — особенный, $R = a$ .

Ошибка 4: забывают $\dfrac{1}{3}$ в формуле объёма. Без этого получается объём призмы.

Ресурсы

Учебник Сот: Правильная пирамида формулы, Объём правильной пирамиды, Площадь поверхности пирамиды.
Сборник задач: ФИПИ профиль №3 за 2024–2025 — задачи на пирамиды.

Что в итоге

Правильная пирамида — самое распространённое тело в задаче 3. Семь формул, две связи через Пифагор, три типа оснований. После 10 разобранных задач формулы сидят на автомате, и №3 закрывается за 2 минуты.

Удачи на экзамене.

Правильная пирамида: все формулы для №3 и №14 ЕГЭ