Комбинаторика для ЕГЭ: все формулы за один пост

В заданиях 4 и 5 ЕГЭ комбинаторика — рабочий инструмент. Без неё считать вероятности через сочетания не получится. К счастью, формул всего пять, и все они выводятся из одного принципа — правила умножения.

Пять базовых формул

1. Правило умножения

Если первое действие можно сделать $n_1$ способами, второе $n_2$ способами, ..., $k$ -е $n_k$ способами, то общее число способов выполнить всю последовательность: $n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$ .

Пример: в кафе 5 бутербродов и 4 напитка. Сколько обедов? $5 \cdot 4 = 20$ .

2. Факториал

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n, \quad 0! = 1

Несколько значений:

$1! = 1$ , $2! = 2$ , $3! = 6$ , $4! = 24$ , $5! = 120$ , $6! = 720$ , $7! = 5040$ .

3. Перестановки

«Сколькими способами можно упорядочить $n$ предметов?»

P_n = n!

Пример: $5$ человек в очереди = $5! = 120$ способов.

4. Размещения

«Сколькими способами можно выбрать $k$ предметов из $n$ , с учётом порядка?»

A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)\ldots(n-k+1)

Пример: 10 человек, выбрать председателя, секретаря, казначея = $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ .

5. Сочетания

«Сколькими способами можно выбрать $k$ предметов из $n$ , без учёта порядка?»

C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}

Пример: 10 человек, выбрать команду из 3 (без ролей) = $\dfrac{10!}{3! \cdot 7!} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120$ .

Главный вопрос: важен ли порядок?

Если «да» — размещения. Если «нет» — сочетания.

Маркеры в условии:

Сочетания	Размещения
выбрать команду / группу / комитет	распределить роли / места / должности
выборка предметов	по очереди / в порядке
какие именно $k$ предметов	кто на каком месте
без учёта порядка	с учётом порядка

Простой проверочный вопрос: «если поменять выбранных местами, считается ли это другим вариантом?». Да — размещения. Нет — сочетания.

Полезные тождества

Симметрия сочетаний:

C_n^k = C_n^{n-k}

То есть «выбрать $k$ предметов» = «выбрать кого не брать ( $n-k$ предметов)». Экономит счёт при больших $k$ .

Пример: $C_{20}^{17} = C_{20}^3 = 1140$ .

Связь A и C:

A_n^k = C_n^k \cdot k!

Любое сочетание упорядочивается $k!$ способами — поэтому размещений в $k!$ раз больше, чем сочетаний.

Задача 1: распределить роли

Условие. В классе 12 учеников. Тренер выбирает 4-х: капитан, защитник, нападающий, вратарь. Сколько вариантов?

Решение. Роли разные — размещения.

A_{12}^4 = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 = 11\,880

Ответ: $11\,880$ .

Задача 2: выбрать команду

Условие. Тот же класс, выбираем команду из 4 человек (без распределения ролей). Сколько вариантов?

Решение. Порядок не важен — сочетания.

C_{12}^4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4!} = \frac{11\,880}{24} = 495

Ответ: $495$ .

Видишь связь? $A_{12}^4 / 4! = C_{12}^4$ .

Задача 3: вероятность через сочетания (типовая №4)

Условие. В коробке 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Достают 3 шара одновременно. Найди вероятность, что среди них ровно 2 белых.

Решение. «Одновременно» = без порядка. Сочетания.

Общее число способов: $C_{10}^3 = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120$ .

Благоприятные: 2 белых из 6 ( $C_6^2 = 15$ ) × 1 чёрный из 4 ( $C_4^1 = 4$ ) = $60$ .

P = \frac{60}{120} = 0{,}5

Ответ: $0{,}5$ .

Задача 4: цифровой код

Условие. Цифровой код из 4 цифр (0–9). Сколько кодов: (а) с возможными повторами, (б) без повторов?

Решение.

(а) Каждую позицию заполняешь 10 цифрами: $10^4 = 10\,000$ (правило умножения).

(б) Без повторов: $A_{10}^4 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5\,040$ (размещения).

Ответы: (а) $10\,000$ , (б) $5\,040$ .

Задача 5: «слово из букв»

Условие. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «КОЛЕСО»?

Решение. Шесть букв, повторяется буква «О» (дважды). Перестановки с повторениями:

P = \frac{n!}{n_1! n_2! \ldots} = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360

Ответ: $360$ .

Задача 6: чемпионат

Условие. В чемпионате 8 команд. Сколько вариантов распределения золото / серебро / бронза?

Решение. Порядок важен — размещения.

A_8^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336

Ответ: $336$ .

Как считать без калькулятора

При сокращении факториалов: пиши развёрнуто и сокращай. Не считай $20!$ напрямую.

Пример: $C_{20}^3 = \dfrac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6} = \dfrac{6840}{6} = 1140$ . Без $20!$ — это огромное число.

Алгоритм для №4

Прочитай условие.
Определи: важен порядок или нет?
Если задача на вероятность — найди $C_n^k$ для общего и благоприятного, поделили.
Если задача на «сколько способов» — выбери формулу: $C, A$ или правило умножения.

Типичные ошибки

Ошибка 1: путают $C$ и $A$ . Это даёт ответ в $k!$ раз неверный (обычно меньший).

Ошибка 2: считают факториал целиком. $C_{20}^3$ через $20!$ — лишний труд. Сразу сокращай.

Ошибка 3: для «без повторов» используют $n^k$ . Если повторы запрещены — размещения, не правило умножения.

Ошибка 4: считают $C_n^0 = 0$ . $C_n^0 = 1$ (один способ не выбрать ничего).

Ресурсы

Учебник Сот: Комбинаторика основы, Сочетания и размещения, Классическая вероятность.
Сборник задач: ФИПИ профиль №4 за 2024–2025 — задачи на вероятность через комбинаторику.

Что в итоге

Комбинаторика — это пять формул и один главный вопрос «важен ли порядок». Без неё №4 ЕГЭ решается с трудом. С формулами — за 2–3 минуты. Прорабатывай по 3 задачи в день, и за неделю комбинаторная часть закрыта на 100%.

Удачи на экзамене.

Комбинаторика для ЕГЭ: формулы и правила выбора