Комбинаторика для ЕГЭ: все формулы за один пост

В заданиях 4 и 5 ЕГЭ комбинаторика — рабочий инструмент. Без неё считать вероятности через сочетания не получится. К счастью, формул всего пять, и все они выводятся из одного принципа — правила умножения.

Пять базовых формул

1. Правило умножения

Если первое действие можно сделать $n_{1}$ способами, второе $n_{2}$ способами, ..., $k$ -е $n_{k}$ способами, то общее число способов выполнить всю последовательность: $n_{1} \cdot n_{2} \cdot \dots \cdot n_{k}$ .

Пример: в кафе 5 бутербродов и 4 напитка. Сколько обедов? $5 \cdot 4 = 20$ .

2. Факториал

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n, 0! = 1

Несколько значений:

$1! = 1$ , $2! = 2$ , $3! = 6$ , $4! = 24$ , $5! = 120$ , $6! = 720$ , $7! = 5040$ .

3. Перестановки

«Сколькими способами можно упорядочить $n$ предметов?»

P_{n} = n!

Пример: $5$ человек в очереди = $5! = 120$ способов.

4. Размещения

«Сколькими способами можно выбрать $k$ предметов из $n$ , с учётом порядка?»

A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)

Пример: 10 человек, выбрать председателя, секретаря, казначея = $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ .

5. Сочетания

«Сколькими способами можно выбрать $k$ предметов из $n$ , без учёта порядка?»

C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! \cdot ( n - k )!}

Пример: 10 человек, выбрать команду из 3 (без ролей) = $\frac{10 !}{3 ! \cdot 7 !} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120$ .

Главный вопрос: важен ли порядок?

Если «да» — размещения. Если «нет» — сочетания.

Маркеры в условии:

Сочетания	Размещения
выбрать команду / группу / комитет	распределить роли / места / должности
выборка предметов	по очереди / в порядке
какие именно $k$ предметов	кто на каком месте
без учёта порядка	с учётом порядка

Простой проверочный вопрос: «если поменять выбранных местами, считается ли это другим вариантом?». Да — размещения. Нет — сочетания.

Полезные тождества

Симметрия сочетаний:

C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}

То есть «выбрать $k$ предметов» = «выбрать кого не брать ( $n - k$ предметов)». Экономит счёт при больших $k$ .

Пример: $C_{20}^{17} = C_{20}^{3} = 1140$ .

Связь A и C:

A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!

Любое сочетание упорядочивается $k!$ способами — поэтому размещений в $k!$ раз больше, чем сочетаний.

Задача 1: распределить роли

Условие. В классе 12 учеников. Тренер выбирает 4-х: капитан, защитник, нападающий, вратарь. Сколько вариантов?

Решение. Роли разные — размещения.

A_{12}^{4} = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 = 11880

Ответ: $11880$ .

Задача 2: выбрать команду

Условие. Тот же класс, выбираем команду из 4 человек (без распределения ролей). Сколько вариантов?

Решение. Порядок не важен — сочетания.

C_{12}^{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 !} = \frac{11 880}{24} = 495

Ответ: $495$ .

Видишь связь? $A_{12}^{4} /4! = C_{12}^{4}$ .

Задача 3: вероятность через сочетания (типовая №4)

Условие. В коробке 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Достают 3 шара одновременно. Найди вероятность, что среди них ровно 2 белых.

Решение. «Одновременно» = без порядка. Сочетания.

Общее число способов: $C_{10}^{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120$ .

Благоприятные: 2 белых из 6 ( $C_{6}^{2} = 15$ ) × 1 чёрный из 4 ( $C_{4}^{1} = 4$ ) = $60$ .

P = \frac{60}{120} = 0, 5

Ответ: $0, 5$ .

Задача 4: цифровой код

Условие. Цифровой код из 4 цифр (0–9). Сколько кодов: (а) с возможными повторами, (б) без повторов?

Решение.

(а) Каждую позицию заполняешь 10 цифрами: $1 0^{4} = 10000$ (правило умножения).

(б) Без повторов: $A_{10}^{4} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$ (размещения).

Ответы: (а) $10000$ , (б) $5040$ .

Задача 5: «слово из букв»

Условие. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «КОЛЕСО»?

Решение. Шесть букв, повторяется буква «О» (дважды). Перестановки с повторениями:

P = \frac{n !}{n _{1} ! n _{2} ! \dots} = \frac{6 !}{2 !} = \frac{720}{2} = 360

Ответ: $360$ .

Задача 6: чемпионат

Условие. В чемпионате 8 команд. Сколько вариантов распределения золото / серебро / бронза?

Решение. Порядок важен — размещения.

A_{8}^{3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336

Ответ: $336$ .

Как считать без калькулятора

При сокращении факториалов: пиши развёрнуто и сокращай. Не считай $20!$ напрямую.

Пример: $C_{20}^{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6} = \frac{6840}{6} = 1140$ . Без $20!$ — это огромное число.

Алгоритм для №4

Прочитай условие.
Определи: важен порядок или нет?
Если задача на вероятность — найди $C_{n}^{k}$ для общего и благоприятного, поделили.
Если задача на «сколько способов» — выбери формулу: $C, A$ или правило умножения.

Типичные ошибки

Ошибка 1: путают $C$ и $A$ . Это даёт ответ в $k!$ раз неверный (обычно меньший).

Ошибка 2: считают факториал целиком. $C_{20}^{3}$ через $20!$ — лишний труд. Сразу сокращай.

Ошибка 3: для «без повторов» используют $n^{k}$ . Если повторы запрещены — размещения, не правило умножения.

Ошибка 4: считают $C_{n}^{0} = 0$ . $C_{n}^{0} = 1$ (один способ не выбрать ничего).

Три контрольных вопроса, чтобы выбрать формулу

Когда в условии много слов, а времени мало, легко схватиться не за ту формулу. Чтобы не гадать, прогоняй задачу через три коротких вопроса — они однозначно выводят на нужный инструмент.

Первый вопрос: выбираю предметы или просто расставляю всё по местам? Если ничего не выбираем, а упорядочиваем уже имеющийся набор целиком (например, «сколькими способами рассадить пятерых»), это перестановки, и ответ — факториал.

Второй вопрос: если выбираю, важен ли порядок выбранных? Маркер прост: поменяй двух выбранных местами. Стало ли это другим вариантом? Если «капитан и вратарь» поменялись ролями — это новый расклад, значит порядок важен, и нужны размещения. Если «двое в команде» просто поменялись местами в списке, а команда та же — порядок не важен, и нужны сочетания.

Третий вопрос: разрешены ли повторы? Если один и тот же предмет можно брать несколько раз (как цифру в коде), формулы сочетаний и размещений не подходят — работает чистое правило умножения, и каждую позицию ты заполняешь полным набором вариантов.

Эти три вопроса покрывают практически все задачи комбинаторики в ЕГЭ. Привыкнув задавать их по порядку, ты перестанешь путать сочетания с размещениями — а именно эта путаница даёт большинство неверных ответов в задании 4.

Ресурсы

Учебник Сот: Комбинаторика основы, Сочетания и размещения, Классическая вероятность.
Сборник задач: ФИПИ профиль №4 за 2024–2025 — задачи на вероятность через комбинаторику.

Что в итоге

Комбинаторика — это пять формул и один главный вопрос «важен ли порядок». Без неё №4 ЕГЭ решается с трудом. С формулами — за 2–3 минуты. Прорабатывай по 3 задачи в день, и за неделю комбинаторная часть закрыта на 100%.

Удачи на экзамене.

Комбинаторика для ЕГЭ: формулы и правила выбора