Как построить сечение многогранника плоскостью

В задании 14 ЕГЭ часто появляется «построить сечение и найти его площадь». Многие пропускают эту тему — построение кажется хитрым. На самом деле всё сводится к двум методам и одному правилу. Разбираем на конкретных примерах.

Что такое сечение

Возьми многогранник (куб, призма, пирамида). Проведи через него плоскость — она «разрежет» тело. То, что получится в самом сечении, — многоугольник, и есть искомое сечение.

Куб с секущей плоскостью — треугольное сечение MNK

Каждая сторона сечения лежит в одной из граней многогранника. То есть стороны сечения — это отрезки пересечения плоскости с гранями.

Базовое правило

Две точки лежат на одной грани → соедини их прямой. Это сторона сечения.

Это основа всего. Если в задаче даны три точки, и две из них на одной грани, начни с этой пары. Остальное — последующее построение.

Когда основное правило не работает: метод следов

Если три точки на трёх разных гранях, прямая через две из них «уйдёт в воздух» — не будет стороной сечения. Тогда применяем метод следов.

Идея: продли сторону сечения до пересечения с какой-нибудь опорной плоскостью (обычно — плоскостью основания). Точка пересечения — след. Дальше работай со следом.

Алгоритм метода следов:

Найди две точки на одной грани — построй первую сторону сечения.
Продли эту сторону до пересечения с плоскостью основания (или другой опорной плоскостью).
Аналогично с другой стороны (если есть).
Соедини найденные точки на основании — это след секущей плоскости на основании.
Из следа проводи прямые через оставшиеся точки — это новые стороны сечения.

Метод вспомогательных плоскостей

Альтернатива методу следов. Идея: вместо «продления до основания» использовать другую вспомогательную плоскость (например, диагональное сечение куба).

В школьной программе метод вспомогательных плоскостей встречается реже метода следов. Достаточно знать о его существовании.

Параллельные грани → параллельные стороны

Если плоскость пересекает две параллельные грани, то линии пересечения параллельны.

Это следствие теоремы о параллельных плоскостях. Очень полезно в кубе и призмах.

Пример: в кубе плоскость пересекает нижнее и верхнее основание. Линии пересечения параллельны (потому что основания параллельны).

Пример 1: треугольное сечение куба

Треугольное сечение MNK куба — середины рёбер из одной вершины

Условие. В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ построить сечение через три середины рёбер, выходящих из одной вершины ( $M$ — середина $A B$ , $N$ — середина $A D$ , $K$ — середина $A A_{1}$ ).

Решение.

Точки $M, N$ — обе на одной грани $A B C D$ . Соединяем: $M N$ — первая сторона.

Точки $M, K$ — обе на грани $A B B_{1} A_{1}$ . Соединяем: $M K$ — вторая сторона.

Точки $N, K$ — обе на грани $A D D_{1} A_{1}$ . Соединяем: $N K$ — третья сторона.

Сечение — треугольник $M N K$ .

Все стороны: $M N = M K = N K = a 2 /2$ (если ребро куба $a$ ). Это равносторонний треугольник.

Площадь: $S = \frac{( a 2 /2 ) ^{2} 3}{4} = \frac{a ^{2} 3}{8}$ .

Пример 2: шестиугольное сечение куба (вариант через метод следов)

Шестиугольное сечение куба через середины шести рёбер P₁–P₆

Условие. В кубе $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ построить сечение плоскостью через середины рёбер $A B$ , $B C$ , $C C_{1}$ .

Решение. Обозначим $M$ — середина $A B$ , $N$ — середина $B C$ , $K$ — середина $C C_{1}$ .

$M, N$ — обе в основании. Соединяем: $M N$ — сторона. Это первая.

$N, K$ — обе в грани $B C C_{1} B_{1}$ . Соединяем: $N K$ .

$M$ и $K$ — на скрещивающихся гранях ( $M$ на $A B B_{1} A_{1}$ , $K$ на $B C C_{1} B_{1}$ ). Прямая $M K$ не лежит в одной грани — её нельзя сразу проводить.

Метод следов: продли $M N$ до пересечения с прямой $D C$ (продолжение ребра $D C$ , в основании). Точка пересечения — $P$ .

Аналогично, $N K$ — это сторона. Продли её до пересечения с плоскостью верхнего основания (продолжение ребра $C_{1} D_{1}$ ). Точка пересечения — $Q$ .

В верхнем основании из $Q$ проводим прямую — это даст ещё одну сторону.

Полное построение — несколько шагов. Получается шестиугольное сечение. В частном случае середин рёбер это правильный шестиугольник со стороной $a 2 /2$ .

Площадь правильного шестиугольника: $S = \frac{3 s ^{2} 3}{2}$ , где $s$ — сторона.

Подставив $s = a 2 /2$ : $S = \frac{3 \cdot a ^{2} /2 \cdot 3}{2} = \frac{3 a ^{2} 3}{4}$ .

Это классический результат — «шестиугольное сечение куба».

Пример 3: сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида $S A B C D$ , плоскость проходит через точку на ребре $S A$ (например, на расстоянии 1/3 от $A$ ) параллельно основанию. Что получится?

Решение. Плоскость параллельна основанию → пересекает каждое боковое ребро в точке, делящей это ребро в том же отношении (по теореме о подобии).

Сечение — квадрат, подобный основанию с коэффициентом $2/3$ (расстояние от $A$ — это $1/3$ , значит до вершины $S$ остаётся $2/3$ , а параллельное сечение от вершины — это «с верха» $1/3$ , значит сторона сечения = $1/3$ стороны основания... в зависимости от того, как мерить).

Точное соотношение зависит от того, на каком расстоянии от вершины проходит плоскость. Если от основания — на расстоянии $h_{0}$ — то сторона сечения $a_{0} = a \cdot (1 - h_{0} / h)$ .

Площадь сечения = площадь подобного квадрата.

Пример 4: сечение призмы

Условие. Прямая треугольная призма $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ . Построить сечение через ребро $A_{1} B_{1}$ и середину ребра $C C_{1}$ .

Решение. $A_{1}, B_{1}$ — на верхнем основании. $M$ — середина $C C_{1}$ .

$A_{1}, B_{1}$ — соединяем: $A_{1} B_{1}$ — сторона сечения (это ребро призмы, лежит в плоскости верхнего основания).

$A_{1}, M$ — на гранях $A C C_{1} A_{1}$ . $A_{1}$ — вершина грани, $M$ — точка в этой же грани. Соединяем: $A_{1} M$ .

$B_{1}, M$ — на гранях $B C C_{1} B_{1}$ . Соединяем: $B_{1} M$ .

Сечение — треугольник $A_{1} B_{1} M$ .

Площадь: через формулу площади треугольника по сторонам / формулу через основание $A_{1} B_{1} = a$ (сторона правильного треугольника), и высоту = расстояние от $M$ до $A_{1} B_{1}$ .

Алгоритм решения задачи 14 с сечением

Запиши данные точки и многогранник.
Найди пары точек на одной грани → соедини, получи стороны.
Если оставшиеся точки требуют построения — применяй метод следов (продление до основания).
Определи форму сечения (треугольник, четырёхугольник, пятиугольник, шестиугольник).
Считай площадь через стандартные формулы для известной фигуры.

Типичные ошибки

Ошибка 1: соединяют точки, не лежащие на одной грани. Полученная прямая пройдёт через тело многогранника, не по поверхности. Это не сторона сечения.

Ошибка 2: не применяют правило параллельных граней. В кубе если сечение проходит и через нижнюю, и через верхнюю грань — эти стороны параллельны. Без этого правила решение усложняется.

Ошибка 3: путают линию пересечения с диагональю. Сторона сечения — это отрезок в грани, не в пространстве.

Ошибка 4: считают площадь сечения как сумму площадей проекций. Площадь сечения и площадь проекции связаны через косинус угла: $S_{проекции} = S_{сечения} \cdot cos α$ .

Какие сечения встречаются в ЕГЭ

Тело	Возможные сечения
Куб	от треугольника до шестиугольника
Призма треугольная	треугольник, четырёхугольник, пятиугольник
Пирамида треугольная (тетраэдр)	треугольник, четырёхугольник
Пирамида четырёхугольная	треугольник, четырёхугольник, пятиугольник

Чем больше граней у тела, тем больше возможных форм сечения.

Ресурсы

Учебник Сот: Сечение многогранника, Тетраэдр, Правильная пирамида.
Сборник задач: ФИПИ профиль №14 за 2024–2025 — задачи на сечения.

Что в итоге

Построение сечений — навык, который тренируется. Главное — освоить базовое правило «две точки на одной грани → сторона» и метод следов. После 5–7 разобранных задач сечения перестают казаться сложной темой.

В №14 ЕГЭ сечения — типичная задача на 3–4 первичных балла. Подготовка окупается.

Удачи на экзамене.

Как построить сечение многогранника: пошаговое руководство