Как построить сечение многогранника: пошаговое руководство

В задании 14 ЕГЭ часто появляется «построить сечение и найти его площадь». Многие пропускают эту тему — построение кажется хитрым. На самом деле всё сводится к двум методам и одному правилу. Разбираем на конкретных примерах.

Что такое сечение

Возьми многогранник (куб, призма, пирамида). Проведи через него плоскость — она «разрежет» тело. То, что получится в самом сечении, — многоугольник, и есть искомое сечение.

Каждая сторона сечения лежит в одной из граней многогранника. То есть стороны сечения — это отрезки пересечения плоскости с гранями.

Базовое правило

Две точки лежат на одной грани → соедини их прямой. Это сторона сечения.

Это основа всего. Если в задаче даны три точки, и две из них на одной грани, начни с этой пары. Остальное — последующее построение.

Когда основное правило не работает: метод следов

Если три точки на трёх разных гранях, прямая через две из них «уйдёт в воздух» — не будет стороной сечения. Тогда применяем метод следов.

Идея: продли сторону сечения до пересечения с какой-нибудь опорной плоскостью (обычно — плоскостью основания). Точка пересечения — след. Дальше работай со следом.

Алгоритм метода следов:

1. Найди две точки на одной грани — построй первую сторону сечения.
2. Продли эту сторону до пересечения с плоскостью основания (или другой опорной плоскостью).
3. Аналогично с другой стороны (если есть).
4. Соедини найденные точки на основании — это след секущей плоскости на основании.
5. Из следа проводи прямые через оставшиеся точки — это новые стороны сечения.

Метод вспомогательных плоскостей

Альтернатива методу следов. Идея: вместо «продления до основания» использовать другую вспомогательную плоскость (например, диагональное сечение куба).

В школьной программе метод вспомогательных плоскостей встречается реже метода следов. Достаточно знать о его существовании.

Параллельные грани → параллельные стороны

Если плоскость пересекает две параллельные грани, то линии пересечения параллельны.

Это следствие теоремы о параллельных плоскостях. Очень полезно в кубе и призмах.

Пример: в кубе плоскость пересекает нижнее и верхнее основание. Линии пересечения параллельны (потому что основания параллельны).

Пример 1: треугольное сечение куба

Условие. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ построить сечение через три середины рёбер, выходящих из одной вершины ($M$ — середина $AB$, $N$ — середина $AD$, $K$ — середина $AA_1$).

Решение.

Точки $M, N$ — обе на одной грани $ABCD$. Соединяем: $MN$ — первая сторона.

Точки $M, K$ — обе на грани $ABB_1A_1$. Соединяем: $MK$ — вторая сторона.

Точки $N, K$ — обе на грани $ADD_1A_1$. Соединяем: $NK$ — третья сторона.

Сечение — треугольник $MNK$.

Все стороны: $MN = MK = NK = a\sqrt{2}/2$ (если ребро куба $a$). Это равносторонний треугольник.

Площадь: $S = \dfrac{(a\sqrt{2}/2)^2 \sqrt{3}}{4} = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{8}$.

Пример 2: шестиугольное сечение куба (вариант через метод следов)

Условие. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ построить сечение плоскостью через середины рёбер $AB$, $BC$, $CC_1$.

Решение. Обозначим $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $BC$, $K$ — середина $CC_1$.

$M, N$ — обе в основании. Соединяем: $MN$ — сторона. Это первая.

$N, K$ — обе в грани $BCC_1B_1$. Соединяем: $NK$.

$M$ и $K$ — на скрещивающихся гранях ($M$ на $ABB_1A_1$, $K$ на $BCC_1B_1$). Прямая $MK$ не лежит в одной грани — её нельзя сразу проводить.

Метод следов: продли $MN$ до пересечения с прямой $DC$ (продолжение ребра $DC$, в основании). Точка пересечения — $P$.

Аналогично, $NK$ — это сторона. Продли её до пересечения с плоскостью верхнего основания (продолжение ребра $C_1D_1$). Точка пересечения — $Q$.

В верхнем основании из $Q$ проводим прямую — это даст ещё одну сторону.

Полное построение — несколько шагов. Получается шестиугольное сечение. В частном случае середин рёбер это правильный шестиугольник со стороной $a\sqrt{2}/2$.

Площадь правильного шестиугольника: $S = \dfrac{3 s^2 \sqrt{3}}{2}$, где $s$ — сторона.

Подставив $s = a\sqrt{2}/2$: $S = \dfrac{3 \cdot a^2/2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \dfrac{3 a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Это классический результат — «шестиугольное сечение куба».

Пример 3: сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию

Условие. Правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, плоскость проходит через точку на ребре $SA$ (например, на расстоянии 1/3 от $A$) параллельно основанию. Что получится?

Решение. Плоскость параллельна основанию → пересекает каждое боковое ребро в точке, делящей это ребро в том же отношении (по теореме о подобии).

Сечение — квадрат, подобный основанию с коэффициентом $2/3$ (расстояние от $A$ — это $1/3$, значит до вершины $S$ остаётся $2/3$, а параллельное сечение от вершины — это «с верха» $1/3$, значит сторона сечения = $1/3$ стороны основания... в зависимости от того, как мерить).

Точное соотношение зависит от того, на каком расстоянии от вершины проходит плоскость. Если от основания — на расстоянии $h_0$ — то сторона сечения $a_0 = a \cdot (1 - h_0/h)$.

Площадь сечения = площадь подобного квадрата.

Пример 4: сечение призмы

Условие. Прямая треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Построить сечение через ребро $A_1B_1$ и середину ребра $CC_1$.

Решение. $A_1, B_1$ — на верхнем основании. $M$ — середина $CC_1$.

$A_1, B_1$ — соединяем: $A_1B_1$ — сторона сечения (это ребро призмы, лежит в плоскости верхнего основания).

$A_1, M$ — на гранях $ACC_1A_1$. $A_1$ — вершина грани, $M$ — точка в этой же грани. Соединяем: $A_1M$.

$B_1, M$ — на гранях $BCC_1B_1$. Соединяем: $B_1M$.

Сечение — треугольник $A_1B_1M$.

Площадь: через формулу площади треугольника по сторонам / формулу через основание $A_1B_1 = a$ (сторона правильного треугольника), и высоту = расстояние от $M$ до $A_1B_1$.

Алгоритм решения задачи 14 с сечением

1. Запиши данные точки и многогранник.
2. Найди пары точек на одной грани → соедини, получи стороны.
3. Если оставшиеся точки требуют построения — применяй метод следов (продление до основания).
4. Определи форму сечения (треугольник, четырёхугольник, пятиугольник, шестиугольник).
5. Считай площадь через стандартные формулы для известной фигуры.

Типичные ошибки

Ошибка 1: соединяют точки, не лежащие на одной грани. Полученная прямая пройдёт через тело многогранника, не по поверхности. Это не сторона сечения.

Ошибка 2: не применяют правило параллельных граней. В кубе если сечение проходит и через нижнюю, и через верхнюю грань — эти стороны параллельны. Без этого правила решение усложняется.

Ошибка 3: путают линию пересечения с диагональю. Сторона сечения — это отрезок в грани, не в пространстве.

Ошибка 4: считают площадь сечения как сумму площадей проекций. Площадь сечения и площадь проекции связаны через косинус угла: $S_{проекции} = S_{сечения} \cdot \cos \alpha$.

Какие сечения встречаются в ЕГЭ

Чем больше граней у тела, тем больше возможных форм сечения.

Ресурсы

• Учебник Сот: Сечение многогранника, Тетраэдр, Правильная пирамида.
• Сборник задач: ФИПИ профиль №14 за 2024–2025 — задачи на сечения.

Что в итоге

Построение сечений — навык, который тренируется. Главное — освоить базовое правило «две точки на одной грани → сторона» и метод следов. После 5–7 разобранных задач сечения перестают казаться сложной темой.

В №14 ЕГЭ сечения — типичная задача на 3–4 первичных балла. Подготовка окупается.

Удачи на экзамене.