Формула Байеса простыми словами: как решать №5 ЕГЭ

Формула Байеса звучит страшно, но за ней — простая логика «часть и целое». Если ты разобрал формулу полной вероятности, Байес — следующий шаг, который занимает 5 минут. Разберём на типичных задачах ЕГЭ.

Что Байес вообще делает

Полная вероятность отвечает на прямой вопрос: «Какова вероятность, что случится $A$ ?». Например: «Какова вероятность, что случайная деталь бракованная?».

Байес отвечает на обратный: « $A$ случилось — какова вероятность что причиной была гипотеза $B$ ?». Например: «Деталь оказалась бракованной — какова вероятность что она с фабрики Б?».

Чувствуешь разницу? В одном случае ты предсказываешь будущее. В другом — реконструируешь прошлое.

Формула

P (B_{i} ∣ A) = \frac{P ( B _{i} ) \cdot P ( A ∣ B _{i} )}{P ( A )}

Где:

$B_{i}$ — одна из гипотез (например, «деталь с фабрики Б»).
$A$ — наблюдённое событие («деталь бракованная»).
$P (B_{i})$ — априорная вероятность гипотезы (что знаем до наблюдения).
$P (A ∣ B_{i})$ — вероятность $A$ при условии $B_{i}$ .
$P (A)$ — полная вероятность $A$ , считается через сумму: $P (A) = \sum P (B_{j}) P (A ∣ B_{j})$ .

Простыми словами

Логика Байеса: «вес одной гипотезы / сумма весов всех гипотез». Где «вес» = «априорная вероятность × условная вероятность $A$ ».

Шаги:

Выпиши все гипотезы и их веса (умножение априорной на условную).
Сложи все веса — это полная вероятность $A$ .
Поделили одну часть на сумму — получили апостериорную.

Это как доля «нашего» куска в большом пироге.

Задача 1: две фабрики (классика)

Условие. Завод закупает у двух фабрик. Фабрика А поставляет 70% всех деталей, у неё 1% брака. Фабрика Б — 30% деталей, 3% брака. Бракованную деталь нашли на сборке. Какова вероятность, что она с фабрики Б?

Решение по шагам.

Шаг 1. Гипотезы:

$B_{1}$ = «деталь от А». $P (B_{1}) = 0, 7$ .
$B_{2}$ = «деталь от Б». $P (B_{2}) = 0, 3$ .

Шаг 2. Условные вероятности брака:

$P (A ∣ B_{1}) = 0, 01$ (вероятность брака если от А).
$P (A ∣ B_{2}) = 0, 03$ .

Шаг 3. Веса:

Вес гипотезы $B_{1}$ : $0, 7 \cdot 0, 01 = 0, 007$ .
Вес гипотезы $B_{2}$ : $0, 3 \cdot 0, 03 = 0, 009$ .

Шаг 4. Сумма весов = полная вероятность брака: $0, 007 + 0, 009 = 0, 016$ .

Шаг 5. Байес для Б:

P (B_{2} ∣ A) = \frac{0 , 009}{0 , 016} = 0, 5625

Ответ: $0, 5625$ .

Что произошло интересного

До анализа вероятность фабрики Б была 30%. После того как мы узнали, что деталь бракованная — стала 56,25%. Брак повысил подозрение на Б, потому что у неё процент брака в 3 раза выше, чем у А.

Это работа Байеса: пересчёт вероятности гипотезы после нового факта.

Задача 2: тест на болезнь (классика парадокса)

Условие. Болезнью болеет 1% людей. Тест на эту болезнь даёт правильный результат в 95% случаев у больных и в 90% у здоровых. Случайному человеку сделали тест, он положительный. Какова вероятность, что человек реально болен?

Решение.

Гипотезы:

$B_{1}$ = «болен», $P (B_{1}) = 0, 01$ .
$B_{2}$ = «здоров», $P (B_{2}) = 0, 99$ .

Условные вероятности положительного теста:

$P (+ ∣ B_{1}) = 0, 95$ (тест видит болезнь).
$P (+ ∣ B_{2}) = 0, 10$ (ложно-положительный у здоровых: 10%).

Веса:

Вес «болен»: $0, 01 \cdot 0, 95 = 0, 0095$ .
Вес «здоров»: $0, 99 \cdot 0, 10 = 0, 099$ .

Сумма (полная вероятность «+»): $0, 1085$ .

Байес для «болен»:

P (болен ∣ +) = \frac{0 , 0095}{0 , 1085} \approx 0, 0876

Ответ: $\approx 8, 76%$ .

Парадокс точного теста

Тест точный (95% / 90%), но при положительном результате реальная вероятность болезни — всего 8,76%. Парадоксально? Нет.

Болезнь редкая (1% людей). Из 1000 человек: 10 реально больных, 990 здоровых. Тест:

10 больных × 95% = 9,5 положительных (правильных).
990 здоровых × 10% = 99 положительных (ложных).

Из 108,5 положительных результатов только 9,5 — реальные. Доля: $9, 5/108, 5 \approx 8, 76%$ . Совпадает с Байесом.

Этот пример важен: интуиция «тест точный → значит почти точно болен» — неверна. Байес даёт правильный ответ.

Задача 3: два стрелка (типичная №5)

Условие. Два стрелка: первый попадает с вероятностью 0,8, второй — 0,5. Случайно выбирают одного и делают выстрел. Выстрел попал. Какова вероятность что стрелял первый?

Решение.

Гипотезы (равновероятный выбор):

$B_{1}$ = «первый», $P (B_{1}) = 0, 5$ .
$B_{2}$ = «второй», $P (B_{2}) = 0, 5$ .

Условные вероятности попадания:

$P (+ ∣ B_{1}) = 0, 8$ .
$P (+ ∣ B_{2}) = 0, 5$ .

Веса: $0, 5 \cdot 0, 8 = 0, 4$ и $0, 5 \cdot 0, 5 = 0, 25$ .

Полная вероятность попадания: $0, 65$ .

Байес для первого: $\frac{0 , 4}{0 , 65} \approx 0, 6154$ .

Ответ: $\approx 0, 6154$ .

До факта попадания априорная вероятность первого 50%. После — 61,5%. Логично: точный стрелок — более вероятная причина попадания.

Как читать «Байес» в условии

В условии задачи №5 ЕГЭ Байес выглядит так:

«Деталь оказалась бракованной — какова вероятность что от X?»
«Случайный тест положительный — какова вероятность болезни?»
«Игрок выиграл — какова вероятность что играл вторым ходом?»
«При условии $A$ произошло, найти вероятность гипотезы $B_{i}$ .»

Ключевые слова: «при условии», «оказалось», «найти вероятность гипотезы», «обратная вероятность».

Если в задаче «найти вероятность брака / попадания / выигрыша» — это полная вероятность, не Байес.

Алгоритм для экзамена

Прочитай условие. Определи: прямой вопрос или обратный.
Если прямой — формула полной вероятности.
Если обратный — формула Байеса.
Выпиши гипотезы $B_{i}$ с априорными $P (B_{i})$ . Проверь сумму = 1.
Выпиши условные $P (A ∣ B_{i})$ .
Сосчитай веса $P (B_{i}) \cdot P (A ∣ B_{i})$ . Сложи — получи $P (A)$ .
Для Байеса: подели нужный вес на сумму.

Типичные ошибки

Ошибка 1: путают $P (A ∣ B)$ и $P (B ∣ A)$ . Это разные вещи. «Тест положительный если болен» — это $P (+ ∣ B)$ , очень высокое. «Болен если тест положительный» — это $P (B ∣ +)$ , может быть низким.

Ошибка 2: применяют Байес к прямому вопросу. Если в задаче «найти вероятность брака» — это полная вероятность. Байес не нужен.

Ошибка 3: забывают полную вероятность в знаменателе. $P (B_{i} ∣ A)$ — не просто $P (B_{i}) \cdot P (A ∣ B_{i})$ , а ещё делить на $P (A)$ .

Ошибка 4: сумма апостериорных не 1. Самопроверка: $\sum P (B_{i} ∣ A) = 1$ . Если не получилось — ошибка в счёте.

Что в итоге

Байес — это инструмент для «обратных» вопросов. Не страшно, не сложно: одна формула, четыре шага, типичные задачи повторяются год от года. За 2–3 разобранные задачи приходит уверенность.

Главное — не путать «прямой / обратный» вопрос, и делить на полную вероятность в знаменателе.

Ресурсы

Учебник Сот: Формула Байеса, Формула полной вероятности, Условная вероятность.
Сборник задач: ФИПИ №5 за 2024–2025 — 20 задач с разбором.

Удачи на экзамене.

Формула Байеса простыми словами