Задание 5 ЕГЭ профильная математика — сложная вероятность

Задание 5 ЕГЭ профиль — вероятность с двумя событиями. Нужно применить формулу умножения: независимые или зависимые. Разберём три типичных сюжета с полными решениями.

Независимые события

Определение: события $A$ и $B$ независимы, если исход $A$ не влияет на вероятность $B$.

$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$

Признаки: события происходят в разных «экспериментах» (бросок монеты дважды, стрельба двух стрелков независимо, отдельные детали в партии).

Задача. Два стрелка стреляют по мишени независимо. Вероятность попасть у первого 0,9, у второго 0,7. Найди вероятность, что оба промажут.

Решение. Вероятность промаха: $P(\bar{A}) = 0{,}1$, $P(\bar{B}) = 0{,}3$.

$P(\bar{A}\bar{B}) = 0{,}1 \cdot 0{,}3 = 0{,}03$

Зависимые события (без возврата)

Определение: события $A$ и $B$ зависимы, если исход $A$ меняет вероятность $B$.

$P(AB) = P(A) \cdot P(B|A)$

где $P(B|A)$ — условная вероятность $B$ при условии, что $A$ уже произошло.

Признаки: ключевые слова «без возврата», «не возвращая», «из оставшихся».

Задача. В урне 4 красных и 6 синих шара. Вытаскивают два шара без возврата. Найди вероятность, что оба красных.

Решение.

• $P(A)$: первый красный = $\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$.
• $P(B|A)$: после извлечения красного осталось 3 красных из 9 = $\dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.

$P(AB) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$

Три типичных сюжета

Сюжет 1: шары/урны (зависимые события)

Вытаскивают несколько шаров без возврата. Для каждого следующего шара пересчитывай знаменатель (общее количество уменьшается) и числитель нужного цвета.

Задача. В урне 5 красных и 3 синих. Два шара без возврата. Вероятность: первый красный, второй синий?

$P = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{56}$

Сюжет 2: стрельба/попадание (независимые события)

Два или несколько стрелков стреляют независимо. Каждый — своя вероятность. Применяй независимость.

Задача. Два стрелка, $P_1 = 0{,}8$, $P_2 = 0{,}6$. Найди вероятность, что хотя бы один попадёт.

Через дополнение: $P = 1 - P(\text{оба промазали}) = 1 - 0{,}2 \cdot 0{,}4 = 1 - 0{,}08 = 0{,}92$.

Сюжет 3: дефектные детали/контроль

Задача. В партии 80% бездефектных деталей. Проверяют деталь. Если бездефектная, вероятность прохождения контроля 0,95. Если дефектная — 0,1. Найди вероятность случайного события «деталь и бездефектна, и прошла контроль».

$P = 0{,}8 \cdot 0{,}95 = 0{,}76$

Алгоритм

1. Определи тип. Слова «без возврата», «не возвращая» → зависимые. Независимые эксперименты → независимые.
2. Запиши $P(A)$. Первое событие — из условия задачи.
3. Запиши $P(B|A)$ или $P(B)$. Для зависимых — пересчитай знаменатель.
4. Перемножи. Итоговая вероятность ≤ 1.

Типичные ошибки

Не учесть «без возврата». После первого извлечения общее число элементов уменьшилось на 1, число нужных тоже мог измениться. Не забывай пересчитывать.

Применить формулу независимых к зависимым. «Без возврата» = зависимые события. Нельзя просто перемножать исходные вероятности.

Перепутать $P(B|A)$ и $P(B)$. Условная вероятность — это вероятность после того, как $A$ уже произошло, состав выборки изменился.