Задание 2 ЕГЭ профильная математика — простая вероятность

Задание 2 — самое быстрое в части 1 ЕГЭ профиля. Один балл, классическое определение вероятности, формула $P = m/n$. Но из-за кажущейся простоты его часто решают небрежно: неверно считают исходы или путают «число всех» и «число благоприятных». Разберём пять типичных подтипов.

Что проверяется

Задание 2 проверяет понимание классического определения вероятности: если все исходы равновозможны, то вероятность события $A$ равна

$P(A) = \frac{m}{n}$

где $m$ — число исходов, благоприятных для $A$, а $n$ — общее число исходов.

Баллов: 1. Уровень сложности: базовый. Среднее время решения: 1-2 минуты.

Темы, которые нужно знать

Для уверенного решения задания 2 достаточно этих тем:

• Классическая вероятность — $P = m/n$, равновозможные исходы. Базовый уровень.
• Комбинаторика (начала) — в задачах с «выбором» нужно уметь считать количество вариантов. Для задания 2 обычно достаточно прямого подсчёта без формул сочетаний.
• Условная вероятность — нужна для задания 10, но полезна и здесь для понимания структуры вероятностных задач.

Разбор типичного задания

Подтип 1: случайный выбор из множества

Классика: из набора предметов выбирают один случайно. Найти вероятность события.

Пример. В пакете 10 яблок, из которых 3 гнилых. Наугад берут одно яблоко. Найти вероятность того, что оно гнилое.

Решение. $n = 10$ (всего яблок), $m = 3$ (гнилых).

$P = \frac{3}{10} = 0.3$

Ответ: $0.3$.

Подтип 2: «не» и дополнение

Используй: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

Пример. Вероятность того, что деталь с конвейера бракованная, равна 0.04. Найти вероятность того, что случайно взятая деталь качественная.

Решение. $P(\text{качественная}) = 1 - 0.04 = 0.96$.

Ответ: $0.96$.

Подтип 3: числовые множества и делимость

Выбирают случайное число из диапазона. Нужно найти вероятность делимости на что-то или другого числового свойства.

Пример. Наугад выбирают целое число от 1 до 30. Найти вероятность того, что оно кратно 6.

Решение. $n = 30$. Кратные 6 в диапазоне 1-30: $6, 12, 18, 24, 30$ — это 5 чисел. $m = 5$.

$P = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \approx 0.167$

Ответ: $1/6$.

Подтип 4: случайный выбор из группы людей

Пример. В группе 15 юношей и 10 девушек. Один человек выбирается случайно. Найти вероятность, что выбрана девушка.

Решение. $n = 15 + 10 = 25$. $m = 10$.

$P = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0.4$

Ответ: $0.4$.

Подтип 5: вероятность в сюжетной задаче (лотерея, коды, сообщения)

Современные КИМ оформляют задание через реальные сюжеты.

Пример. На сервере хранится 200 файлов, из них 40 повреждённых. Сервер случайно выбирает один файл для резервного копирования. Найти вероятность, что выбранный файл повреждён.

Решение. $n = 200$, $m = 40$.

$P = \frac{40}{200} = 0.2$

Ответ: $0.2$.

Частые ошибки

Ошибка 1. Путать $m$ и $n$: $P = n/m$ вместо $P = m/n$. Проверяй: вероятность должна быть от 0 до 1.

Ошибка 2. Неверный подсчёт $n$. В задаче «число от 1 до 30» именно 30 чисел, не 29 и не 31.

Ошибка 3. В подтипе «не» не вычитать из 1: $P(\text{качественная}) = 1 - P(\text{брак})$, а не $P(\text{брак})$.

Ошибка 4. Записывать ответ как процент (30%) вместо дроби (0.3), если задача про вероятность, не про процент.

Ошибка 5. В задачах с делимостью не проверять крайние значения диапазона.

Как готовиться

Задание 2 решается через прямое применение одной формулы. Единственная техника — правильно считать исходы. Если ты уверенно справляешься с задачами из открытого банка ФИПИ на это задание за 1-2 минуты, переходи к более сложным.

Для углублённого понимания вероятности — теория в разделе Теория вероятностей.

Часто задаваемые вопросы