Задание 17 ЕГЭ профиль: планиметрия с доказательством

Задание 16 — 6 баллов за планиметрию. Структура та же, что в задании 14: а) доказательство + б) вычисление. Темы — окружности, четырёхугольники, подобие, вписанные/описанные фигуры. Разбираем типы и алгоритм.

Структура задания 16

Пункт а) — доказательство (2–3 балла):

Доказать, что точки лежат на одной окружности
Доказать, что прямые параллельны или перпендикулярны
Доказать подобие треугольников
Доказать равенство отрезков или углов

Пункт б) — вычисление (3–4 балла):

Длина отрезка (хорды, касательной, стороны)
Угол (вписанный, между хордами, касательной)
Площадь фигуры (треугольника, четырёхугольника, кругового сегмента)
Радиус вписанной/описанной окружности

Ключевые теоремы для а) и б)

Теоремы об окружностях

Вписанный угол: $∠ = \frac{1}{2} \cdot дуга$

Следствие: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Вписанный угол в полуокружности = 90° (угол, опирающийся на диаметр).

Теорема о пересекающихся хордах: $A C \cdot C B = D C \cdot C E$

Теорема о касательной и секущей: $A T^{2} = A B \cdot A C$

Вписанный четырёхугольник: Сумма противоположных углов = 180°.

Подобие треугольников

Признаки:

Два угла (AA)
Две стороны и угол между ними
Три стороны (пропорциональны)

При доказательстве через окружность: общий вписанный угол + угол в полуокружности даёт два общих угла.

Тип 1: Доказательство через вписанные углы

Типичная задача: Дан треугольник, вписанный в окружность. Доказать, что некоторые прямые параллельны.

Алгоритм:

Найти пары равных вписанных углов (опираются на одну дугу)
Использовать признак параллельности (равные накрест лежащие или соответственные углы)

Пример. В окружности вписан четырёхугольник $A B C D$ . Диагонали пересекаются в точке $E$ . Доказать, что треугольники $A E B$ и $D E C$ подобны.

Решение:

$∠ D A B + ∠ B C D = 180°$ (вписанный четырёхугольник)
$∠ A E B = ∠ D E C$ (вертикальные углы)
$∠ A B D = ∠ A C D$ (вписанные, опираются на $A D$ ) — из этого два угла треугольников AEB и DEC равны → подобие.

Тип 2: Доказательство через метрические соотношения

Типичная задача: Доказать, что $A B \cdot C D = A C \cdot B D$ (теорема Птолемея для вписанного четырёхугольника).

Чаще всего опирается на подобие треугольников: находишь два подобных треугольника, составляешь пропорцию сторон, перемножаешь.

Тип 3: Нахождение длин и углов (пункт б)

Алгоритм для стандартных задач б):

Обозначь известные и неизвестные (сделай рисунок)
Запиши уравнения из теорем (пересекающиеся хорды, касательная и секущая, Пифагор)
Реши систему
Проверь ответ на физический смысл

Пример. Две хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $E$ внутри окружности. $A E = 3$ , $E C = 6$ , $B E = 4$ . Найти $E D$ .

По теореме пересекающихся хорд: $A E \cdot E C = B E \cdot E D$ $3 \cdot 6 = 4 \cdot E D$ $E D = \frac{18}{4} = 4, 5$

Тип 4: Площадь через вписанные/описанные окружности

Формулы:

Площадь треугольника: $S = r \cdot s$ (где $r$ — радиус вписанной, $s$ — полупериметр)
Площадь треугольника: $S = \frac{ab c}{4 R}$ (где $R$ — радиус описанной)
Для правильного $n$ -угольника: $S = \frac{1}{2} P \cdot r$ (где $P$ — периметр, $r$ — апофема/радиус вписанной)

Типичные ошибки в задании 16

Ошибка 1. Доказательство «на глаз» без ссылки на теоремы. Пишешь «очевидно» — теряешь баллы.

Ошибка 2. Перепутать вписанный угол и центральный (вписанный = половина центрального).

Ошибка 3. Применить теорему пересекающихся хорд к отрезкам снаружи окружности (там другая теорема: секущая и касательная).

Ошибка 4. Не нарисовать рисунок — без рисунка сложно не запутаться.

Ошибка 5. В пункте а) написать только «ответ» без цепочки рассуждений.

Чек-лист по заданию 16

Знаю теорему о вписанном угле и следствия
Знаю теорему о пересекающихся хордах
Знаю теорему о касательной и секущей
Умею доказывать подобие треугольников через вписанные углы
Знаю свойства вписанного четырёхугольника

Связанные темы

Соты дают задание 16 поэтапно: сначала простое доказательство через вписанный угол, потом сложные четырёхугольники. Доказательство разбирается пошагово с обоснованием каждого шага.