Задание 16 — 6 баллов за планиметрию. Структура та же, что в задании 14: а) доказательство + б) вычисление. Темы — окружности, четырёхугольники, подобие, вписанные/описанные фигуры. Разбираем типы и алгоритм.

Структура задания 16

Пункт а) — доказательство (2–3 балла):

  • Доказать, что точки лежат на одной окружности
  • Доказать, что прямые параллельны или перпендикулярны
  • Доказать подобие треугольников
  • Доказать равенство отрезков или углов

Пункт б) — вычисление (3–4 балла):

  • Длина отрезка (хорды, касательной, стороны)
  • Угол (вписанный, между хордами, касательной)
  • Площадь фигуры (треугольника, четырёхугольника, кругового сегмента)
  • Радиус вписанной/описанной окружности

Ключевые теоремы для а) и б)

Теоремы об окружностях

Вписанный угол: ∠=12⋅дуга\angle = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга}

Следствие: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Вписанный угол в полуокружности = 90° (угол, опирающийся на диаметр).

Теорема о пересекающихся хордах: AC⋅CB=DC⋅CEAC \cdot CB = DC \cdot CE

Теорема о касательной и секущей: AT2=AB⋅ACAT^2 = AB \cdot AC

Вписанный четырёхугольник: Сумма противоположных углов = 180°.

Подобие треугольников

Признаки:

  • Два угла (AA)
  • Две стороны и угол между ними
  • Три стороны (пропорциональны)

При доказательстве через окружность: общий вписанный угол + угол в полуокружности даёт два общих угла.

Тип 1: Доказательство через вписанные углы

Типичная задача: Дан треугольник, вписанный в окружность. Доказать, что некоторые прямые параллельны.

Алгоритм:

  1. Найти пары равных вписанных углов (опираются на одну дугу)
  2. Использовать признак параллельности (равные накрест лежащие или соответственные углы)

Пример. В окружности вписан четырёхугольник ABCDABCD. Диагонали пересекаются в точке EE. Доказать, что треугольники AEBAEB и DECDEC подобны.

Решение:

  • ∠DAB+∠BCD=180°\angle DAB + \angle BCD = 180° (вписанный четырёхугольник)
  • ∠AEB=∠DEC\angle AEB = \angle DEC (вертикальные углы)
  • ∠ABD=∠ACD\angle ABD = \angle ACD (вписанные, опираются на ADAD) — из этого два угла треугольников AEB и DEC равны → подобие.

Тип 2: Доказательство через метрические соотношения

Типичная задача: Доказать, что AB⋅CD=AC⋅BDAB \cdot CD = AC \cdot BD (теорема Птолемея для вписанного четырёхугольника).

Чаще всего опирается на подобие треугольников: находишь два подобных треугольника, составляешь пропорцию сторон, перемножаешь.

Тип 3: Нахождение длин и углов (пункт б)

Алгоритм для стандартных задач б):

  1. Обозначь известные и неизвестные (сделай рисунок)
  2. Запиши уравнения из теорем (пересекающиеся хорды, касательная и секущая, Пифагор)
  3. Реши систему
  4. Проверь ответ на физический смысл

Пример. Две хорды ACAC и BDBD пересекаются в точке EE внутри окружности. AE=3AE = 3, EC=6EC = 6, BE=4BE = 4. Найти EDED.

По теореме пересекающихся хорд: AE⋅EC=BE⋅EDAE \cdot EC = BE \cdot ED 3⋅6=4⋅ED3 \cdot 6 = 4 \cdot ED ED=184=4,5ED = \frac{18}{4} = 4{,}5

Тип 4: Площадь через вписанные/описанные окружности

Формулы:

  • Площадь треугольника: S=r⋅sS = r \cdot s (где rr — радиус вписанной, ss — полупериметр)
  • Площадь треугольника: S=abc4RS = \frac{abc}{4R} (где RR — радиус описанной)
  • Для правильного nn-угольника: S=12P⋅rS = \frac{1}{2} P \cdot r (где PP — периметр, rr — апофема/радиус вписанной)

Типичные ошибки в задании 16

Ошибка 1. Доказательство «на глаз» без ссылки на теоремы. Пишешь «очевидно» — теряешь баллы.

Ошибка 2. Перепутать вписанный угол и центральный (вписанный = половина центрального).

Ошибка 3. Применить теорему пересекающихся хорд к отрезкам снаружи окружности (там другая теорема: секущая и касательная).

Ошибка 4. Не нарисовать рисунок — без рисунка сложно не запутаться.

Ошибка 5. В пункте а) написать только «ответ» без цепочки рассуждений.

Чек-лист по заданию 16

  • Знаю теорему о вписанном угле и следствия
  • Знаю теорему о пересекающихся хордах
  • Знаю теорему о касательной и секущей
  • Умею доказывать подобие треугольников через вписанные углы
  • Знаю свойства вписанного четырёхугольника

Связанные темы

Соты дают задание 16 поэтапно: сначала простое доказательство через вписанный угол, потом сложные четырёхугольники. Доказательство разбирается пошагово с обоснованием каждого шага.