Задание 16 ЕГЭ профиль — вклады, кредиты, финансовые задачи

Что такое задание 17 ЕГЭ

Задание 17 — финансовая задача (3 балла, часть 2). Это одна из наиболее «доступных» задач части 2: алгоритм понятен, ошибки чаще всего в арифметике.

Основная тематика: вклады, кредиты, аннуитет (равные ежемесячные выплаты).

Ключевые формулы

Рост вклада без пополнений

После $n$ периодов при ставке $r$ за период:

$S_n = P \cdot (1 + r)^n$

Где $P$ — начальная сумма, $r$ — ставка за период (доли), $n$ — число периодов.

Пример: вклад 100 000 ₽ под 10 % годовых на 3 года: $S = 100000 \cdot (1.1)^3 = 100000 \cdot 1.331 = 133100$ ₽.

Вклад с ежегодным пополнением

Каждый год в конце года добавляют сумму $a$. После $n$ лет:

$S_n = P \cdot (1+r)^n + a \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}$

Второй член — сумма геометрической прогрессии вкладов.

Задача на «когда сумма достигнет X»

$P \cdot (1 + r)^n \geq X$ → $n \geq \log_{1+r}\!\left(\dfrac{X}{P}\right)$.

Тип 1: рост вклада

Задача 1. В банк положили 200 000 ₽ под 12 % годовых с капитализацией ежегодно. Сколько будет через 2 года?

$S = 200000 \cdot (1.12)^2 = 200000 \cdot 1.2544 = 250880$ ₽.

Тип 2: когда достигнет суммы

Задача 2. Положили 50 000 ₽ под 15 % годовых. Через сколько лет сумма превысит 100 000 ₽?

$50000 \cdot (1.15)^n > 100000$ $(1.15)^n > 2$

Проверяем: $(1.15)^5 \approx 2.011 > 2$, $(1.15)^4 \approx 1.749 < 2$.

Ответ: через 5 лет.

Тип 3: вклад с ежегодным пополнением

Задача 3. Каждый год в начале года кладут 10 000 ₽ под 8 % годовых. Сколько накопится за 3 года?

Первый вклад (в год 1): к концу 3-го года это $10000 \cdot (1.08)^3 = 12597$ ₽. Второй вклад (в год 2): $10000 \cdot (1.08)^2 = 11664$ ₽. Третий вклад (в год 3): $10000 \cdot (1.08)^1 = 10800$ ₽.

Сумма: $12597 + 11664 + 10800 = 35061$ ₽.

(Здесь пополнение в начале года, поэтому каждый вклад работает 3, 2, 1 год соответственно.)

Тип 4: кредит и ежемесячный платёж (аннуитет)

При аннуитете заёмщик платит каждый месяц одинаковую сумму $a$. Ключевая формула:

$a = P \cdot \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}$

Где $P$ — долг, $r$ — ставка за период, $n$ — число платежей.

Задача 4. Кредит 300 000 ₽ под 12 % годовых (=1 % в месяц) на 12 месяцев. Найти ежемесячный платёж.

$r = 0.01$, $n = 12$:

$a = 300000 \cdot \dfrac{0.01 \cdot (1.01)^{12}}{(1.01)^{12} - 1}$.

$(1.01)^{12} \approx 1.1268$.

$a = 300000 \cdot \dfrac{0.01 \cdot 1.1268}{1.1268 - 1} = 300000 \cdot \dfrac{0.011268}{0.1268} \approx 300000 \cdot 0.08885 \approx 26655$ ₽.

Тип 5: выбор выгодного варианта

Задача 5. Банк А предлагает 10 % годовых с капитализацией раз в год. Банк Б — 9.5 % с ежеквартальной капитализацией. Что выгоднее для вклада на 1 год?

Банк А: $S_A = P \cdot 1.10$.

Банк Б: квартальная ставка $r = 9.5\%/4 = 2.375\%$. За 4 квартала: $S_{\text{Б}} = P \cdot (1.02375)^4 \approx P \cdot 1.0978$.

$S_A = 1.100P > S_{\text{Б}} = 1.0978P$.

Вывод: банк А выгоднее.

Типичные ошибки в задании 17

Что запомнить

1. Вклад без пополнений: $S = P(1+r)^n$.
2. Когда достигнет суммы $X$: $(1+r)^n \geq X/P$ → перебирай $n$.
3. Пополнение в конце каждого периода — сумма геометрической прогрессии.
4. Аннуитет: формула с $r(1+r)^n / [(1+r)^n - 1]$.

Связанные темы: Финансовые задачи, Геометрическая прогрессия.