Тетраэдр и правильные многогранники: что важно для ЕГЭ

В задании 3 и 14 ЕГЭ профиль регулярно появляются «правильные многогранники» — куб, тетраэдр, иногда октаэдр. Все они подчиняются особой симметрии и закону Эйлера. Разберём всю пятёрку и подробно — самый частый в ЕГЭ тетраэдр.

Пять правильных многогранников

В пространстве существует ровно пять правильных многогранников (это доказывает Эйклид в «Началах»):

Название	Грани	Граней	Вершин	Рёбер
Тетраэдр	равносторонний $\triangle$	4	4	6
Куб	квадрат	6	8	12
Октаэдр	равносторонний $\triangle$	8	6	12
Додекаэдр	правильный пятиугольник	12	20	30
Икосаэдр	равносторонний $\triangle$	20	12	30

Эти пять — единственные. Других правильных многогранников в пространстве не существует.

Формула Эйлера

Для любого выпуклого многогранника:

V - E + F = 2

где $V$ — число вершин, $E$ — рёбер, $F$ — граней.

Проверим на тетраэдре: $4 - 6 + 4 = 2$ . ✓ Куб: $8 - 12 + 6 = 2$ . ✓ Октаэдр: $6 - 12 + 8 = 2$ . ✓ Додекаэдр: $20 - 30 + 12 = 2$ . ✓ Икосаэдр: $12 - 30 + 20 = 2$ . ✓

Эта формула — изящная, и в задачах ЕГЭ иногда позволяет быстро посчитать недостающую величину.

Правильный тетраэдр (главный для ЕГЭ)

Правильный тетраэдр ABCD в аксонометрии с высотой h и ребром a

Простейший из правильных многогранников. Четыре равносторонних треугольника-грани со стороной $a$ .

Высота:

h = a \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}

Объём:

V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}

Площадь поверхности:

S = a^2 \sqrt{3}

Апофема (высота боковой грани):

m = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Двугранный угол между соседними гранями:

\arccos \frac{1}{3} \approx 70{,}53°

Откуда формула объёма тетраэдра

Прямоугольный треугольник AOB для вывода высоты и объёма тетраэдра

Опустим высоту $h$ из вершины $A$ в центр основания. Центр правильного треугольника со стороной $a$ — точка пересечения медиан, на расстоянии $\dfrac{a}{\sqrt{3}}$ от вершины основания.

В прямоугольном $\triangle AOB$ : гипотенуза $AB = a$ (ребро), катет $OB = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$ . По Пифагору:

h^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3} \Rightarrow h = a\sqrt{\frac{2}{3}}

Площадь основания: $S = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ .

Объём:

V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12}

Куб как правильный многогранник

Куб — самый «знакомый» правильный многогранник. Особенности:

Все 6 граней — квадраты со стороной $a$ .
12 рёбер, 8 вершин.
Объём: $V = a^3$ .
Полная поверхность: $S = 6 a^2$ .
Пространственная диагональ: $d = a\sqrt{3}$ .

Куб лежит в основе большинства задач №14 (планиметрия + стерео).

Октаэдр (правильный многогранник с 8 гранями)

Восемь равносторонних треугольников. Можно представить как «два пирамиды, склеенные основаниями» (две правильные четырёхугольные пирамиды с квадратным основанием).

Объём: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{2}}{3}$ .
Площадь поверхности: $S = 2 a^2 \sqrt{3}$ .

В ЕГЭ октаэдр встречается реже, обычно как иллюстрация.

Додекаэдр и икосаэдр

Эти два — самые «экзотические». Состоят из пятиугольников и треугольников соответственно. В ЕГЭ практически не появляются — слишком сложная геометрия. Достаточно знать про их существование.

Задача 1: объём тетраэдра

Условие. Найди объём правильного тетраэдра с ребром 6.

Решение. $V = \dfrac{6^3 \sqrt{2}}{12} = \dfrac{216 \sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2}$ .

Ответ: $18\sqrt{2} \approx 25{,}46$ .

Задача 2: расстояние от вершины тетраэдра до плоскости противоположной грани

Условие. В правильном тетраэдре с ребром $a$ найти расстояние от любой вершины до плоскости противоположной грани.

Решение. Это и есть высота $h = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ .

Ответ: $\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$ .

Используется свойство симметрии: в правильном тетраэдре любая грань может быть «основанием», все четыре высоты равны.

Задача 3: тетраэдр внутри куба

Условие. В кубе с ребром $a$ соединили четыре «несоседние» вершины (то есть 4 из 8 вершин куба, по 2 на противоположных гранях). Что получилось?

Решение. Получился правильный тетраэдр со стороной $a\sqrt{2}$ (диагональ грани куба).

Объём такого тетраэдра: $V_T = \dfrac{(a\sqrt{2})^3 \sqrt{2}}{12} = \dfrac{2a^3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{12} = \dfrac{4 a^3}{12} = \dfrac{a^3}{3}$ .

Это треть объёма куба ( $a^3$ ). Это интересный факт: тетраэдр, вписанный в куб таким способом, занимает 1/3 объёма куба.

Ответ: правильный тетраэдр, объём $a^3/3$ .

Задача 4: формула Эйлера в обратную сторону

Условие. Многогранник имеет 30 рёбер и 20 вершин. Сколько граней?

Решение. По формуле Эйлера: $V - E + F = 2 \Rightarrow 20 - 30 + F = 2 \Rightarrow F = 12$ .

Ответ: 12 граней.

Может оказаться, что это додекаэдр. ✓

Задача 5: двугранный угол

Условие. Найти двугранный угол между двумя соседними гранями правильного тетраэдра.

Решение. Это известный факт: $\arccos(1/3) \approx 70{,}53°$ .

Вывод: рассмотри две соседние грани с общим ребром $AB$ . Из середины $AB$ опусти высоты в обеих гранях — они идут в противоположные вершины с расстоянием $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ каждая. Расстояние между этими вершинами — ребро $a$ . По теореме косинусов в полученном треугольнике: $\cos \alpha = 1/3$ .

Ответ: $\arccos(1/3)$ .

Когда в ЕГЭ

В заданиях ЕГЭ профиль:

Задание 3: объём тетраэдра / куба / октаэдра — прямая подстановка.
Задание 14: расстояние от вершины до грани, угол между гранями, сечения — почти всегда тетраэдр или куб.

Знание формул тетраэдра — обязательный минимум для №3. Понимание симметрии — большая помощь в №14.

Типичные ошибки

Ошибка 1: считают высоту тетраэдра как ребро. $h = \dfrac{a\sqrt{6}}{3} \approx 0{,}816 a$ , меньше ребра.

Ошибка 2: путают апофему и высоту тетраэдра. Апофема — высота боковой грани (плоский отрезок $a\sqrt{3}/2$ ). Высота тетраэдра — пространственный отрезок ( $a\sqrt{6}/3$ ).

Ошибка 3: применяют формулу куба к тетраэдру. $V \neq a^3$ для тетраэдра, $V = a^3 \sqrt{2}/12$ .

Ошибка 4: для октаэдра считают как «два тетраэдра». Октаэдр — это две пирамиды (а не два тетраэдра) с квадратным основанием.

Ресурсы

Учебник Сот: Тетраэдр: свойства и формулы, Правильная пирамида формулы.
Сборник задач: ФИПИ профиль №3 и №14 за 2024–2025 — задачи на тетраэдр и куб.

Что в итоге

Пять правильных многогранников — изящная классика. На ЕГЭ практическое значение имеют тетраэдр, куб и (реже) октаэдр. Формула Эйлера — полезный инструмент проверки. Все остальные многогранники в обычной программе не нужны.

Удачи на экзамене.

Тетраэдр и правильные многогранники для ЕГЭ