Задание 17 ЕГЭ профиль — задачи по планиметрии с доказательством

Что такое задание 16 ЕГЭ

Задание 16 — планиметрическая задача (4 балла, часть 2). Структура задания:

• Два пункта: доказательство (пункт а) и вычисление (пункт б), или два пункта вычисления.
• Фигуры: треугольник (в т.ч. прямоугольный), трапеция, окружность, их комбинации.
• Используемые теоремы: подобие, синусов, косинусов, вписанный угол, свойства трапеции.

Ключевые теоремы для задания 16

Алгоритм решения задания 16

1. Начерти фигуру — аккуратно, с подписями всех элементов из условия.
2. Отметь искомое и выпиши что надо найти/доказать.
3. Найди ключевую связь — какая теорема или свойство свяжет заданное с искомым.
4. Запиши решение последовательно — каждый шаг с обоснованием (название теоремы или свойства).
5. Проверь — подставь ответ и убедись что он разумен (например, длина положительна, угол в пределах 0°–180°).

Тип 1: подобие треугольников

Задача. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 90°$. Высота $AH$ опущена на гипотенузу. Докажите что $AH^2 = BH \cdot HC$.

Решение.

Рассмотрим $\triangle ABH$ и $\triangle CAH$.

$\angle BHA = \angle AHC = 90°$ (так как $AH$ — высота).

$\angle ABH = \angle CAH$ (каждый равен $90° - \angle ACB = 90° - \angle B$).

По двум углам: $\triangle ABH \sim \triangle CAH$.

Из подобия: $\dfrac{AH}{HС} = \dfrac{BH}{AH}$, откуда $AH^2 = BH \cdot HC$. ч.т.д.

Тип 2: трапеция с окружностью

Задача. В равнобедренной трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) вписана окружность. $AD = 10$, $BC = 4$. Найти боковую сторону.

Решение.

Для вписанной окружности: сумма оснований = сумма боковых сторон. $AD + BC = AB + CD$. $10 + 4 = 2 \cdot AB$ (трапеция равнобедренная, $AB = CD$). $AB = 7$.

Ответ: боковая сторона = 7.

Тип 3: вписанный угол и хорды

Задача. В окружности с центром $O$ хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. $AP = 3$, $PB = 8$, $CP = 4$. Найти $PD$.

Решение.

По теореме о пересекающихся хордах: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$.

$3 \cdot 8 = 4 \cdot PD$.

$PD = 6$.

Ответ: $PD = 6$.

Тип 4: угол в треугольнике через теорему косинусов

Задача. В треугольнике $ABC$: $AB = 7$, $BC = 5$, $AC = 6$. Найти $\cos(\angle BAC)$.

Решение.

По теореме косинусов: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$.

$25 = 49 + 36 - 2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cos(\angle BAC)$.

$25 = 85 - 84 \cos(\angle BAC)$.

$\cos(\angle BAC) = \dfrac{85 - 25}{84} = \dfrac{60}{84} = \dfrac{5}{7}$.

Ответ: $\cos(\angle BAC) = \dfrac{5}{7}$.

Типичные ошибки в задании 16

Что запомнить

1. Всегда чертёж с подписями — без этого задание 16 решить крайне сложно.
2. Ключевые теоремы: подобие, Пифагора, синусов/косинусов, вписанный угол, пересекающиеся хорды.
3. Каждый шаг — обоснование (название теоремы).
4. Доказательство = цепочка «из X следует Y потому что Z».