Задание 19 ЕГЭ — типичные ошибки в задаче на числа и их свойства

Задание 19 стоит 4 первичных балла, стоит последним в варианте и слывёт «непосильным». Но половину этих баллов реально взять, даже не решив задание полностью. Большинство сдающих теряют их не из-за сложности теории, а из-за пяти конкретных ошибок: пропущенный пункт «а», пример вместо доказательства, оценка без обоснования. Вот они подробно.

Структура задания 19 и как распределены баллы

Задание 19 — задача на числа и их свойства: делимость, остатки от деления, целочисленные уравнения, числовые неравенства. Три подпункта с разным весом (ФИПИ, 2026):

• Пункт а (1 первичный балл): найти пример или доказать частное утверждение
• Пункт б (2 первичных балла): доказать, что выражение принимает все значения из заданного множества, или оценить его сверху/снизу
• Пункт в (1 первичный балл): доказать отдельное свойство или найти все решения уравнения

По шкале перевода (ФИПИ, 2026) четыре первичных балла дают около пяти тестовых. При прицеле на 70–80 это ощутимо.

Пункты оцениваются независимо. Нет ответа на «б» — не теряешь «а» и «в». Именно поэтому частичное решение всегда лучше пустого листа.

Ошибка №1 — пример вместо оценки в пункте «б»

Пункт «б» просит доказательство: что выражение принимает все целые значения из заданного множества, или что не превышает определённого числа. Это не то же самое, что привести пример.

Внимание. Подставить конкретные числа и проверить — это пункт «а», не «б». Пункт «б» требует доказательства для всех значений переменной, а не для одного частного случая.

Типичная картина: экзаменуемый честно подбирает три-четыре пары чисел, показывает, что выражение принимает разные значения, и считает пункт закрытым. Проверяющий снимает оба балла. Пример показывает, что утверждение верно в частном случае, но не доказывает его для всех значений.

Как делать правильно: строй алгебраическое рассуждение. Если нужно показать, что выражение принимает все натуральные значения, покажи: для любого натурального $n$ можно явно указать, при каком целом $k$ выражение равно $n$. Это доказательство, а не подбор.

Ошибка №2 — оценка без обоснования

Другой частый сценарий в пункте «б»: ты правильно нашёл ответ, написал «выражение не превышает 5» и остановился. Без цепочки неравенств или ссылки на числовые свойства это не зачтут.

Проверяющий обязан видеть логику: откуда берётся граница. Если доказываешь, что $f(a, b) \leq 5$ при целых $a$ и $b$, нужна последовательность: $f(a, b) = \ldots \leq \ldots \leq 5$ с явным указанием, почему произошло каждое неравенство.

Правило простое: любое «очевидно» и «понятно, что» — сигнал, что здесь нужно ещё одно предложение с обоснованием. Не для проверяющего, а для получения балла.

Ошибка №3 — путаница «существует» и «для всех»

В задании 19 часто фигурируют формулировки «докажи, что существует...» и «докажи, что для любых... верно...». Это принципиально разные задачи.

«Докажи, что существует целое $n$ такое, что...» — достаточно одного явного примера. Здесь пример полноценный ответ.

«Докажи, что для любых целых $a$ и $b$ верно...» — пример не работает. Нужен общий аргумент.

Внешне оба пункта похожи. Внимательно читай квантор: «существует» или «для любого». Если не уверен, перечитай условие ещё раз перед тем, как начать писать.

Ошибка №4 — арифметические ляпы и нет финального вывода

Задание 19 работает с целыми числами: остатками от деления, чётностью, свойствами степеней. Арифметические ошибки здесь стоят дорого: они обрушивают всю цепочку рассуждений, а не только один шаг.

Два момента, которые часто проваливают работу.

Переменные без подписей. Если вводишь $n$, $k$, $m$, в начале решения напиши, что они означают. «Пусть $n$ — произвольное целое число» — одна строка, которая защищает от вопроса проверяющего «откуда взялось $n$».

Нет итогового вывода. После цепочки рассуждений многие забывают написать финальное предложение: «Таким образом, выражение принимает все натуральные значения» или «следовательно, уравнение не имеет целых решений». Без этой строки последний шаг может не засчитаться.

Формат записи: «а)», «б)», «в)» — явно и с новой строки. Не пиши три пункта слитно.

Ошибка №5 — пропуск пункта «а»

Совет. Пункт «а» это 1 балл почти за бесплатно. Чаще всего нужен один пример. Даже если не умеешь делать «б» и «в», пункт «а» доступен почти всегда.

Типичная история: ученик видит задание 19, пугается объёма и переходит к следующему. Или начинает с «б», тонет, тратит время и уходит с нулём по всему заданию, хотя пункт «а» требовал только подставить числа.

Алгоритм работы с заданием 19 на экзамене: сначала читаешь все три пункта целиком, потом пишешь «а» (даже если это занимает минуту), потом переходишь к «б». Системный подход, а не азарт.

Стратегия — как набрать 2 балла из 4, не решая задание полностью

Если времени мало или пункт «б» не идёт, вот минимальная стратегия.

1. Пункт «а» — пример. Читаешь условие, подбираешь подходящие числа (целые, натуральные — в зависимости от условия), проверяешь вручную, записываешь аккуратно с ответом. Это 1 балл.

2. Пример в пункте «б» — даже если не можешь доказать общий случай, подстановка нескольких значений с проверкой покажет проверяющему, что ты понимаешь задачу. Полные 2 балла это не даст, но при частичном зачёте иногда приносит 1 балл.

Итог: пункт «а» плюс частичный разбор «б» — реалистичные 2 балла за 15–20 минут работы. По шкале перевода это около 2–3 дополнительных тестовых баллов.

Если запаса времени больше 90 минут — берись за полное решение. Меньше 20 — фиксируй «а» и уходи с тем, что есть.

Как готовиться к заданию 19

Задание 19 не требует знаний за пределами школьной программы. Оно проверяет умение работать с делимостью, остатками от деления, чётностью и нечётностью, простыми свойствами степеней целых чисел. Весь этот материал — девятый-десятый класс.

Что реально помогает:

• Разбери 10–15 задач на остатки от деления. Это ядро большинства сюжетов задания 19.
• Отработай схему записи: условие → обозначения → цепочка → вывод. Без схемы рассуждения расползаются.
• Читай чужие решения вслух и ищи места, где написано «понятно, что»: это незакрытый переход.
• Решай пункт «а» отдельно, не читая «б» и «в». Тренируй скорость набора одного балла.

Слабые места в задании 19 часто совпадают со слабыми местами в задании 12 на уравнения с отбором корней: формальная запись и явные ссылки на свойства. Подробнее об этом в разборе задания 12 ЕГЭ.

Работу над ошибками в части 2 удобно вести в отдельном конспекте: фиксируешь ошибку, причину, правильный шаг. Подробнее о том, как строить такой конспект, читай в гайде по тетради ошибок.

Что дальше

Задание 19 — финальный рубеж части 2. Если ты уже уверенно берёшь задания №13–17, именно здесь находится ресурс для прыжка с 75 до 80+.

Разбери смежные темы, которые пересекаются с заданием 19:

• Задание 12 ЕГЭ — уравнения с отбором корней: формальная запись и аргументация, которой не хватает в задании 19
• Тетрадь ошибок для ЕГЭ — как вести и что фиксировать: система разбора части 2

Часто задаваемые вопросы

Источники

• ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения ЕГЭ по математике (профильный уровень), 2026. — fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory
• ФИПИ. Кодификатор элементов содержания и требований к уровню подготовки обучающихся для проведения ЕГЭ по математике, 2026.